Método dos momentos (estatísticas) - Method of moments (statistics)

Em estatística , o método dos momentos é um método de estimativa de parâmetros populacionais .

Ele começa expressando os momentos da população (ou seja, os valores esperados das potências da variável aleatória em consideração) como funções dos parâmetros de interesse. Essas expressões são então definidas como iguais aos momentos de amostra. O número de tais equações é igual ao número de parâmetros a serem estimados. Essas equações são então resolvidas para os parâmetros de interesse. As soluções são estimativas desses parâmetros.

O método dos momentos foi introduzido por Pafnuty Chebyshev em 1887 na demonstração do teorema do limite central. A ideia de combinar momentos empíricos de uma distribuição com os momentos da população remonta pelo menos a Pearson .

Método

Suponha que o problema seja estimar parâmetros desconhecidos que caracterizam a distribuição da variável aleatória . Suponha que os primeiros momentos da distribuição verdadeira (os "momentos populacionais") possam ser expressos como funções de s: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ dots, \ theta _ {k}}$ ${\ displaystyle f_ {W} (w; \ theta)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mu _ {1} & \ equiv \ operatorname {E} [W] = g_ {1} (\ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ ldots, \ theta _ {k}), \\ [4pt] \ mu _ {2} & \ equiv \ operatorname {E} [W ^ {2}] = g_ {2} (\ theta _ {1}, \ theta _ { 2}, \ ldots, \ theta _ {k}), \\ & \, \, \, \ vdots \\\ mu _ {k} & \ equiv \ operatorname {E} [W ^ {k}] = g_ {k} (\ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ ldots, \ theta _ {k}). \ end {alinhado}}}$

Suponha que uma amostra de tamanho seja desenhada, resultando nos valores . Para , vamos ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle w_ {1}, \ dots, w_ {n}}$${\ displaystyle j = 1, \ dots, k}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ mu}} _ {j} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} ^ {j}}$

seja o j -ésimo momento da amostra, uma estimativa de . O método do estimador de momentos para denotado por é definido como a solução (se houver) para as equações: ${\ displaystyle \ mu _ {j}}$${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ ldots, \ theta _ {k}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ theta}} _ {1}, {\ widehat {\ theta}} _ {2}, \ dots, {\ widehat {\ theta}} _ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {\ mu}} _ {1} & = g_ {1} ({\ widehat {\ theta}} _ {1}, {\ widehat {\ theta}} _ {2}, \ ldots, {\ widehat {\ theta}} _ {k}), \\ [4pt] {\ widehat {\ mu}} _ {2} & = g_ {2} ({\ widehat {\ theta}} _ {1}, {\ widehat {\ theta}} _ {2}, \ ldots, {\ widehat {\ theta}} _ {k}), \\ & \, \, \, \ vdots \ \ {\ widehat {\ mu}} _ {k} & = g_ {k} ({\ widehat {\ theta}} _ {1}, {\ widehat {\ theta}} _ {2}, \ ldots, { \ widehat {\ theta}} _ {k}). \ end {alinhado}}}$

Vantagens e desvantagens

O método dos momentos é bastante simples e produz estimadores consistentes (sob suposições muito fracas), embora esses estimadores sejam frequentemente enviesados .

É uma alternativa ao método da máxima verossimilhança .

No entanto, em alguns casos, as equações de probabilidade podem ser intratáveis ​​sem computadores, enquanto os estimadores do método dos momentos podem ser calculados muito mais rápida e facilmente. Devido à fácil computabilidade, as estimativas do método dos momentos podem ser usadas como a primeira aproximação para as soluções das equações de verossimilhança, e sucessivas aproximações melhoradas podem ser encontradas pelo método de Newton-Raphson . Desta forma, o método dos momentos pode ajudar a encontrar estimativas de máxima verossimilhança.

Em alguns casos, infrequentes com grandes amostras, mas não tão infrequentes com pequenas amostras, as estimativas fornecidas pelo método dos momentos estão fora do espaço de parâmetro (como mostrado no exemplo abaixo); então não faz sentido confiar neles. Esse problema nunca surge no método da probabilidade máxima . Além disso, as estimativas pelo método dos momentos não são necessariamente estatísticas suficientes , ou seja, às vezes deixam de levar em consideração todas as informações relevantes da amostra.

Ao estimar outros parâmetros estruturais (por exemplo, parâmetros de uma função de utilidade , em vez de parâmetros de uma distribuição de probabilidade conhecida), as distribuições de probabilidade apropriadas podem não ser conhecidas e estimativas baseadas em momentos podem ser preferidas à estimativa de máxima verossimilhança.

Exemplos

Um exemplo de aplicação do método dos momentos é estimar distribuições de densidade de probabilidade polinomial. Nesse caso, um polinômio aproximado de ordem é definido em um intervalo . O método dos momentos produz então um sistema de equações, cuja solução envolve a inversão de uma matriz de Hankel . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle [a, b]}$

Distribuição uniforme

Considere a distribuição uniforme no intervalo , . Se então nós temos ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle U (a, b)}$${\ displaystyle W \ sim U (a, b)}$

${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ operatorname {E} [W] = {\ frac {1} {2}} (a + b)}$

${\ displaystyle \ mu _ {2} = \ operatorname {E} [W ^ {2}] = {\ frac {1} {3}} (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$

Resolver essas equações dá

${\ displaystyle {\ widehat {a}} = \ mu _ {1} - {\ sqrt {3 \ left (\ mu _ {2} - \ mu _ {1} ^ {2} \ right)}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {b}} = \ mu _ {1} + {\ sqrt {3 \ left (\ mu _ {2} - \ mu _ {1} ^ {2} \ right)}}}$

Dado um conjunto de amostras , podemos usar os momentos de amostra e nessas fórmulas para estimar e . ${\ displaystyle \ {w_ {i} \}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mu}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mu}} _ {2}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Observe, no entanto, que esse método pode produzir resultados inconsistentes em alguns casos. Por exemplo, o conjunto de amostras resulta na estimativa , embora seja impossível que o conjunto tenha sido retirado neste caso. ${\ displaystyle \ {0,0,0,0,1 \}}$${\ displaystyle {\ widehat {a}} = {\ frac {1} {5}} - {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {5}}, {\ widehat {b}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {5}}}$${\ displaystyle {\ widehat {b}} <1}$${\ displaystyle \ {0,0,0,0,1 \}}$${\ displaystyle U ({\ widehat {a}}, {\ widehat {b}})}$

Veja também

• Método generalizado de momentos
• Métodos de decodificação

Referências