Espaço metrizável - Metrizable space
Em topologia e áreas afins de matemática , um espaço metrizáveis é um espaço topológico que é homeomorfo a um espaço métrico . Ou seja, um espaço topológico é considerado metrizável se houver uma métrica tal que a topologia induzida por is Teoremas de metrização são teoremas que fornecem condições suficientes para um espaço topológico ser metrizável.
Propriedades
Os espaços metrizáveis herdam todas as propriedades topológicas dos espaços métricos. Por exemplo, eles são Hausdorff paracompact espaços (e, consequentemente, normais e Tychonoff ) e primeira contáveis . No entanto, algumas propriedades da métrica, como integridade, não podem ser consideradas herdadas. Isso também se aplica a outras estruturas vinculadas à métrica. Um espaço uniforme metrizável , por exemplo, pode ter um conjunto diferente de mapas de contração do que um espaço métrico ao qual é homeomórfico.
Teoremas de metrização
Um dos primeiros teoremas de metrização amplamente reconhecidos foi Teorema da metrização de Urysohn . Isso afirma que todo espaçoregular desegunda contagem de Hausdorffé metrizável. Assim, por exemplo, cadavariedade desegunda contagemé metrizável. (Nota histórica: a forma do teorema mostrado aqui foi de fato provada porTychonoffem 1926. O queUrysohnhavia mostrado, em um artigo publicado postumamente em 1925, era que todoespaço de Hausdorff normal segundo contávelé metrizável). O inverso não é válido: existem espaços métricos que não são contáveis em segundos, por exemplo, um conjunto incontável dotado de métrica discreta. Oteorema de metrização de Nagata-Smirnov, descrito abaixo, fornece um teorema mais específico onde o inverso é válido.
Vários outros teoremas de metrização seguem como simples corolários do teorema de Urysohn. Por exemplo, um espaço compacto de Hausdorff é metrizável se e somente se for contável em segundos.
O Teorema de Urysohn pode ser reformulado como: Um espaço topológico é separável e metrizável se e somente se for regular, Hausdorff e segundo contável. O teorema da metrização de Nagata-Smirnov estende isso ao caso não separável. Ele afirma que um espaço topológico é metrizável se e somente se for regular, Hausdorff, e tem uma base σ-localmente finita. Uma base σ-localmente finita é uma base que é uma união de muitas coleções localmente finitas de conjuntos abertos. Para um teorema intimamente relacionado, consulte o teorema de metrização do Bing .
Espaços metrizáveis separáveis também podem ser caracterizados como aqueles espaços que são homeomórficos a um subespaço do cubo de Hilbert, isto é, o produto infinito contável do intervalo unitário (com sua topologia subespaço natural dos reais) consigo mesmo, dotado da topologia do produto .
Um espaço é considerado localmente metrizável se cada ponto tiver uma vizinhança metrizável . Smirnov provou que um espaço localmente metrizável é metrizável se e somente se for Hausdorff e paracompacto . Em particular, um coletor é metrizável se e somente se for paracompacto.
Exemplos
O grupo de operadores unitários em um espaço de Hilbert separável dotado de topologia de operador forte é metrizável (ver Proposição II.1 em).
Exemplos de espaços não metrizáveis
Espaços não normais não podem ser metrizáveis; exemplos importantes incluem
- a topologia de Zariski em uma variedade algébrica ou no espectro de um anel , usada em geometria algébrica ,
- o espaço vetorial topológico de todas as funções da reta real até ela mesma, com a topologia de convergência pontual .
A linha real com a topologia de limite inferior não é metrizável. A função de distância usual não é uma métrica neste espaço porque a topologia que ela determina é a topologia usual, não a topologia de limite inferior. Este espaço é de Hausdorff, paracompacto e primeiro contável.
A linha longa é localmente metrizável, mas não metrizável; em certo sentido, é "muito longo".
Veja também
- Métrica apolínea - matemático e poeta romeno
- Teorema de metrização do Bing - Caracteriza quando um espaço topológico é metrizável
- Espaço vetorial topológico metrizável - Um espaço vetorial topológico cuja topologia pode ser definida por uma métrica
- Espaço de Moore (topologia)
- Teorema da metrização de Nagata-Smirnov - Caracteriza-se quando um espaço topológico é metrizável
- Uniformizabilidade , a propriedade de um espaço topológico ser homeomórfico a um espaço uniforme , ou equivalentemente a topologia sendo definida por uma família de pseudometria
Referências
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