Espaço metrizável - Metrizable space

Em topologia e áreas afins de matemática , um espaço metrizáveis é um espaço topológico que é homeomorfo a um espaço métrico . Ou seja, um espaço topológico é considerado metrizável se houver uma métrica tal que a topologia induzida por is Teoremas de metrização são teoremas que fornecem condições suficientes para um espaço topológico ser metrizável.

Propriedades

Os espaços metrizáveis ​​herdam todas as propriedades topológicas dos espaços métricos. Por exemplo, eles são Hausdorff paracompact espaços (e, consequentemente, normais e Tychonoff ) e primeira contáveis . No entanto, algumas propriedades da métrica, como integridade, não podem ser consideradas herdadas. Isso também se aplica a outras estruturas vinculadas à métrica. Um espaço uniforme metrizável , por exemplo, pode ter um conjunto diferente de mapas de contração do que um espaço métrico ao qual é homeomórfico.

Teoremas de metrização

Um dos primeiros teoremas de metrização amplamente reconhecidos foi Teorema da metrização de Urysohn . Isso afirma que todo espaçoregular desegunda contagem de Hausdorffé metrizável. Assim, por exemplo, cadavariedade desegunda contagemé metrizável. (Nota histórica: a forma do teorema mostrado aqui foi de fato provada porTychonoffem 1926. O queUrysohnhavia mostrado, em um artigo publicado postumamente em 1925, era que todoespaço de Hausdorff normal segundo contávelé metrizável). O inverso não é válido: existem espaços métricos que não são contáveis ​​em segundos, por exemplo, um conjunto incontável dotado de métrica discreta. Oteorema de metrização de Nagata-Smirnov, descrito abaixo, fornece um teorema mais específico onde o inverso é válido.

Vários outros teoremas de metrização seguem como simples corolários do teorema de Urysohn. Por exemplo, um espaço compacto de Hausdorff é metrizável se e somente se for contável em segundos.

O Teorema de Urysohn pode ser reformulado como: Um espaço topológico é separável e metrizável se e somente se for regular, Hausdorff e segundo contável. O teorema da metrização de Nagata-Smirnov estende isso ao caso não separável. Ele afirma que um espaço topológico é metrizável se e somente se for regular, Hausdorff, e tem uma base σ-localmente finita. Uma base σ-localmente finita é uma base que é uma união de muitas coleções localmente finitas de conjuntos abertos. Para um teorema intimamente relacionado, consulte o teorema de metrização do Bing .

Espaços metrizáveis ​​separáveis ​​também podem ser caracterizados como aqueles espaços que são homeomórficos a um subespaço do cubo de Hilbert, isto é, o produto infinito contável do intervalo unitário (com sua topologia subespaço natural dos reais) consigo mesmo, dotado da topologia do produto .

Um espaço é considerado localmente metrizável se cada ponto tiver uma vizinhança metrizável . Smirnov provou que um espaço localmente metrizável é metrizável se e somente se for Hausdorff e paracompacto . Em particular, um coletor é metrizável se e somente se for paracompacto.

Exemplos

O grupo de operadores unitários em um espaço de Hilbert separável dotado de topologia de operador forte é metrizável (ver Proposição II.1 em).

Exemplos de espaços não metrizáveis

Espaços não normais não podem ser metrizáveis; exemplos importantes incluem

A linha real com a topologia de limite inferior não é metrizável. A função de distância usual não é uma métrica neste espaço porque a topologia que ela determina é a topologia usual, não a topologia de limite inferior. Este espaço é de Hausdorff, paracompacto e primeiro contável.

A linha longa é localmente metrizável, mas não metrizável; em certo sentido, é "muito longo".

Veja também

Referências

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