Espaço Minkowski - Minkowski space

Hermann Minkowski (1864-1909) descobriu que a teoria da relatividade especial, introduzida por seu ex-aluno Albert Einstein , poderia ser mais bem entendida como um espaço quadridimensional, conhecido como espaço-tempo de Minkowski.

Em física matemática , espaço Minkowski (ou Minkowski espaço-tempo ) ( / m ɪ ŋ k ɔː f s k i , - k ɒ f - / ) é uma combinação de tridimensional espaço euclidiano e tempo em um de quatro dimensões colector onde o intervalo de espaço-tempo entre quaisquer dois eventos é independente do referencial inercial em que são registrados. Embora inicialmente desenvolvida pelo matemático Hermann Minkowski para as equações de eletromagnetismo de Maxwell, a estrutura matemática do espaço-tempo de Minkowski mostrou estar implícita nos postulados da relatividade especial .

Espaço Minkowski está intimamente associada de Einstein teorias da relatividade especial e relatividade geral e é a estrutura matemática comum mais em que a relatividade especial é formulado. Enquanto os componentes individuais no espaço e tempo euclidianos podem diferir devido à contração do comprimento e dilatação do tempo , no espaço-tempo de Minkowski, todos os referenciais concordarão na distância total no espaço-tempo entre os eventos. Por tratar o tempo de maneira diferente do que trata as três dimensões espaciais, o espaço de Minkowski difere do espaço euclidiano quadridimensional .

No espaço euclidiano tridimensional (por exemplo, simplesmente espaço na relatividade galileana ), o grupo de isometria (os mapas preservando a distância euclidiana regular ) é o grupo euclidiano . É gerado por rotações , reflexos e translações . Quando o tempo é emendado como uma quarta dimensão, as transformações posteriores das traduções no tempo e impulsos galileanos são adicionados, e o grupo de todas essas transformações é chamado de grupo Galileu . Todas as transformações de Galileu preservam a distância euclidiana tridimensional . Essa distância é puramente espacial. As diferenças de tempo também são preservadas separadamente . Isso muda no espaço-tempo da relatividade especial, onde espaço e tempo estão interligados.

O espaço-tempo está equipado com uma forma bilinear indefinida não degenerada , variadamente chamada de métrica de Minkowski , a norma de Minkowski ao quadrado ou produto interno de Minkowski, dependendo do contexto. O produto interno de Minkowski é definido de modo a produzir o intervalo de espaço-tempo entre dois eventos quando dado seu vetor de diferença de coordenadas como argumento. Equipado com esse produto interno, o modelo matemático do espaço-tempo é chamado de espaço de Minkowski. O análogo do grupo galileu para o espaço de Minkowski, preservando o intervalo do espaço-tempo (em oposição à distância euclidiana espacial), é o grupo de Poincaré .

Como variedades, o espaço-tempo galileu e o espaço-tempo de Minkowski são iguais . Eles diferem em que outras estruturas são definidos no -las. O primeiro possui a função de distância euclidiana e intervalo de tempo (separadamente) junto com referenciais inerciais cujas coordenadas são relacionadas por transformações galileanas, enquanto o último possui a métrica de Minkowski juntamente com referenciais inerciais cujas coordenadas são relacionadas por transformações de Poincaré.

História

Espaço-tempo complexo de Minkowski

Na sua segunda papel relatividade em 1905-1906 Henri Poincaré mostrou como, tomando o tempo para ser um quarto imaginário espaço-tempo de coordenadas ito , em que c é a velocidade da luz e i é a unidade imaginária , transformações de Lorentz pode ser visualizado como rotações ordinárias da esfera euclidiana de quatro dimensões

Poincaré definiu c = 1 por conveniência. As rotações em planos abrangidos por dois vetores de unidades espaciais aparecem no espaço de coordenadas, bem como no espaço-tempo físico, como rotações euclidianas e são interpretadas no sentido comum. A "rotação" em um plano medido por um vetor de unidade de espaço e um vetor de unidade de tempo, embora formalmente ainda uma rotação no espaço de coordenadas, é um aumento de Lorentz no espaço-tempo físico com coordenadas inerciais reais . A analogia com as rotações euclidianas é apenas parcial, uma vez que o raio da esfera é realmente imaginário, o que transforma as rotações em rotações no espaço hiperbólico. (ver rotação hiperbólica )

Esta ideia, que foi mencionada apenas muito brevemente por Poincaré, foi elaborada em grande detalhe por Minkowski em um extenso e influente artigo na Alemanha em 1908 chamado "As Equações Fundamentais para Processos Eletromagnéticos em Corpos em Movimento". Minkowski, usando essa formulação, reafirmou a então recente teoria da relatividade de Einstein. Em particular, ao reafirmar as equações de Maxwell como um conjunto simétrico de equações nas quatro variáveis ( x , y , z , ict ) combinadas com variáveis ​​vetoriais redefinidas para grandezas eletromagnéticas, ele foi capaz de mostrar direta e simplesmente sua invariância sob a transformação de Lorentz . Ele também fez outras contribuições importantes e usou a notação de matriz pela primeira vez neste contexto. De sua reformulação, ele concluiu que o tempo e o espaço deveriam ser tratados igualmente, e assim surgiu seu conceito de eventos ocorrendo em um continuum de espaço - tempo quadridimensional unificado .

Espaço-tempo real de Minkowski

Em um desenvolvimento posterior em sua palestra "Espaço e Tempo" de 1908, Minkowski deu uma formulação alternativa desta ideia que usava uma coordenada em tempo real em vez de uma imaginária, representando as quatro variáveis ( x , y , z , t ) do espaço e tempo na forma de coordenadas em um espaço vetorial real quadridimensional . Os pontos neste espaço correspondem a eventos no espaço-tempo. Neste espaço, há um cone de luz definido associado a cada ponto, e eventos fora do cone de luz são classificados por sua relação com o ápice como espacial ou temporal . É principalmente essa visão do espaço-tempo que é corrente hoje em dia, embora a visão mais antiga envolvendo o tempo imaginário também tenha influenciado a relatividade especial.

Na tradução para o inglês do artigo de Minkowski, a métrica de Minkowski conforme definida abaixo é chamada de elemento de linha . O produto interno de Minkowski abaixo aparece sem nome quando se refere à ortogonalidade (que ele chama de normalidade ) de certos vetores, e a norma de Minkowski ao quadrado é referida (um tanto enigmaticamente, talvez seja dependente da tradução) como "soma".

A principal ferramenta de Minkowski é o diagrama de Minkowski , e ele o usa para definir conceitos e demonstrar propriedades das transformações de Lorentz (por exemplo, tempo adequado e contração de comprimento ) e para fornecer interpretação geométrica para a generalização da mecânica newtoniana para a mecânica relativística . Para esses tópicos especiais, consulte os artigos referenciados, pois a apresentação abaixo será principalmente confinada à estrutura matemática (métrica de Minkowski e das quantidades derivadas dela e o grupo de Poincaré como grupo de simetria do espaço-tempo) seguindo a invariância do intervalo do espaço-tempo no variedade do espaço-tempo como conseqüência dos postulados da relatividade especial, não para a aplicação específica ou derivação da invariância do intervalo do espaço-tempo. Essa estrutura fornece o cenário de fundo de todas as teorias relativísticas atuais, exceto a relatividade geral, para a qual o espaço-tempo plano de Minkowski ainda fornece um trampolim, já que o espaço-tempo curvo é localmente Lorentziano.

Minkowski, ciente da reformulação fundamental da teoria que ele havia feito, disse

As visões do espaço e do tempo que desejo apresentar a vocês surgiram do solo da física experimental e é aí que reside sua força. Eles são radicais. Doravante, o espaço em si, e o tempo em si, estão condenados a desaparecer em meras sombras, e apenas uma espécie de união dos dois preservará uma realidade independente.

-  Hermann Minkowski, 1908, 1909

Embora Minkowski tenha dado um passo importante para a física, Albert Einstein viu sua limitação:

Numa época em que Minkowski dava a interpretação geométrica da relatividade especial ao estender o trespaço euclidiano a um quatrespaço quase euclidiano que incluía o tempo, Einstein já sabia que isso não é válido, pois exclui o fenômeno da gravitação . Ele ainda estava longe do estudo das coordenadas curvilíneas e da geometria Riemanniana , e do pesado aparato matemático que isso implicava.

Para obter mais informações históricas, consulte as referências Galison (1979) , Corry (1997) e Walter (1999) .

Estrutura causal

Subdivisão do espaço-tempo de Minkowski com respeito a um evento em quatro conjuntos disjuntos. O cone de luz , o futuro absoluto , o passado absoluto e outros lugares . A terminologia é de Sard (1970) .

Onde v é a velocidade e x , y e z são coordenadas cartesianas no espaço tridimensional e c é a constante que representa o limite de velocidade universal e t é o tempo, o vetor quadridimensional v = ( ct , x , y , z ) = ( ct , r ) é classificado de acordo com o sinal de c 2 t 2 - r 2 . Um vetor é semelhante ao tempo se c 2 t 2 > r 2 , ao espaço se c 2 t 2 < r 2 e nulo ou semelhante à luz se c 2 t 2 = r 2 . Isso também pode ser expresso em termos do sinal de η ( v , v ) , que depende da assinatura. A classificação de qualquer vetor será a mesma em todos os referenciais relacionados por uma transformação de Lorentz (mas não por uma transformação de Poincaré geral, porque a origem pode então ser deslocada) devido à invariância do intervalo.

O conjunto de todos os vetores nulos em um evento do espaço de Minkowski constitui o cone de luz desse evento. Dado um vetor semelhante ao tempo v , existe uma linha de mundo de velocidade constante associada a ele, representada por uma linha reta em um diagrama de Minkowski.

Uma vez que uma direção de tempo é escolhida, vetores semelhantes ao tempo e nulos podem ser decompostos em várias classes. Para vetores semelhantes ao tempo, tem-se

  1. vetores semelhantes ao tempo direcionados para o futuro, cujo primeiro componente é positivo, (ponta do vetor localizada no futuro absoluto na figura) e
  2. vetores do tipo tempo dirigidos pelo passado, cujo primeiro componente é negativo (passado absoluto).

Os vetores nulos se enquadram em três classes:

  1. o vetor zero, cujos componentes em qualquer base são (0, 0, 0, 0) (origem),
  2. vetores nulos direcionados para o futuro, cujo primeiro componente é positivo (cone de luz superior), e
  3. vetores nulos direcionados para o passado cujo primeiro componente é negativo (cone de luz inferior).

Junto com vetores espaciais, existem 6 classes no total.

Uma base ortonormal para o espaço de Minkowski consiste necessariamente em um vetor de unidade semelhante ao tempo e três vetores de unidade espacial. Se se deseja trabalhar com bases não ortonormais, é possível ter outras combinações de vetores. Por exemplo, pode-se facilmente construir uma base (não ortonormal) consistindo inteiramente de vetores nulos, chamada de base nula .

Os campos vetoriais são chamados de tipo temporal, espacial ou nulo se os vetores associados forem semelhantes a tempo, espaço ou nulos em cada ponto onde o campo é definido.

Propriedades de vetores semelhantes ao tempo

Os vetores do tipo tempo têm importância especial na teoria da relatividade, pois correspondem a eventos que são acessíveis ao observador em (0, 0, 0, 0) com uma velocidade menor que a da luz. De maior interesse são os vetores semelhantes ao tempo, que são direcionados de forma semelhante em todos os cones para a frente ou para trás. Esses vetores têm várias propriedades não compartilhadas por vetores semelhantes a espaços. Eles surgem porque os cones para a frente e para trás são convexos, ao passo que a região semelhante ao espaço não é convexa.

Produto escalar

O produto escalar de dois vetores semelhantes ao tempo u 1 = ( t 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) e u 2 = ( t 2 , x 2 , y 2 , z 2 ) é

Positividade do produto escalar : uma propriedade importante é que o produto escalar de dois vetores semelhantes ao tempo dirigidos de forma semelhante é sempre positivo. Isso pode ser visto na desigualdade Cauchy-Schwarz invertida abaixo. Segue-se que, se o produto escalar de dois vetores é zero, pelo menos um deles deve ser semelhante ao espaço. O produto escalar de dois vetores espaciais pode ser positivo ou negativo, como pode ser visto considerando o produto de dois vetores espaciais com componentes espaciais ortogonais e tempos de sinais diferentes ou iguais.

Usando a propriedade de positividade de vetores semelhantes ao tempo, é fácil verificar que uma soma linear com coeficientes positivos de vetores semelhantes ao tempo direcionados de forma semelhante também é semelhante ao tempo direcionado da mesma forma (a soma permanece dentro do cone de luz por causa da convexidade).

Norma e desigualdade de Cauchy invertida

A norma de um vetor semelhante ao tempo u = ( ct , x , y , z ) é definida como

A desigualdade de Cauchy invertida é outra consequência da convexidade de qualquer um dos cones de luz. Para dois vetores distintos semelhantes ao tempo, dirigidos de forma semelhante, u 1 e u 2, essa desigualdade é

ou algebricamente,

A partir disso, a propriedade de positividade do produto escalar pode ser vista.

A desigualdade do triângulo invertido

Para dois vetores semelhantes ao tempo direcionados de forma semelhante u e w , a desigualdade é

onde a igualdade é mantida quando os vetores são linearmente dependentes .

A prova usa a definição algébrica com a desigualdade de Cauchy invertida:

O resultado agora segue tirando a raiz quadrada de ambos os lados.

Estrutura matemática

Assume-se a seguir que o espaço-tempo é dotado de um sistema de coordenadas correspondente a um referencial inercial . Isso fornece uma origem , que é necessária para poder se referir ao espaço-tempo como sendo modelado como um espaço vetorial. Isso não é realmente motivado fisicamente , pois uma origem canônica (evento "central" no espaço-tempo) deve existir. Pode-se escapar com menos estrutura, a de um espaço afim , mas isso complicaria desnecessariamente a discussão e não refletiria como o espaço-tempo plano é normalmente tratado matematicamente na literatura introdutória moderna.

Para uma visão geral, espaço Minkowski é um 4 -dimensional verdadeiro espaço vetorial equipado com um não degenerado, forma bilinear simétrica sobre o espaço tangente em cada ponto no espaço-tempo, aqui chamada simplesmente o produto interno Minkowski , com assinatura métrica quer (+ - - -) ou (- + + +) . O espaço tangente em cada evento é um espaço vetorial da mesma dimensão que o espaço-tempo, 4 .

Vetores tangentes

Uma representação pictórica do espaço tangente em um ponto, x , em uma esfera . Esse espaço vetorial pode ser considerado um subespaço do próprio 3 . Então, os vetores nele seriam chamados de vetores tangentes geométricos . Pelo mesmo princípio, o espaço tangente em um ponto no espaço-tempo plano pode ser pensado como um subespaço do espaço-tempo que passa a ser todo o espaço-tempo.

Na prática, não é necessário se preocupar com os espaços tangentes. A natureza do espaço vetorial do espaço de Minkowski permite a identificação canônica de vetores em espaços tangentes em pontos (eventos) com vetores (pontos, eventos) no próprio espaço de Minkowski. Veja, por exemplo, Lee (2003 , Proposição 3.8.) Ou Lee (2012 , Proposição 3.13.) Essas identificações são feitas rotineiramente em matemática. Eles podem ser expressos formalmente em coordenadas cartesianas como

com vetores de base nos espaços tangentes definidos por

Aqui p e q são dois eventos quaisquer e a segunda identificação do vetor de base é referida como transporte paralelo . A primeira identificação é a identificação canônica de vetores no espaço tangente em qualquer ponto com vetores no próprio espaço. O aparecimento de vetores de base em espaços tangentes como operadores diferenciais de primeira ordem se deve a esta identificação. É motivado pela observação de que um vetor tangente geométrico pode ser associado de maneira um-para-um a um operador derivado direcional no conjunto de funções suaves. Isso é promovido a uma definição de vetores tangentes em variedades não necessariamente embutidos em R n . Esta definição de vetores tangentes não é a única possível, pois também podem ser usadas n- duplas comuns .

Definições de vetores tangentes como vetores comuns

Um vetor tangente em um ponto p pode ser definido, aqui especializado em coordenadas cartesianas em quadros de Lorentz, como vetores de coluna 4 × 1 v associados a cada quadro de Lorentz relacionado pela transformação de Lorentz Λ tal que o vetor v em um quadro relacionado a algum quadro por Λ se transforma de acordo com v → Λ v . É da mesma forma que as coordenadas x μ se transformam. Explicitamente,

Esta definição é equivalente à definição dada acima sob um isomorfismo canônico.

Para alguns propósitos, é desejável identificar vetores tangentes em um ponto p com vetores de deslocamento em p , o que é, obviamente, admissível essencialmente pela mesma identificação canônica. As identificações de vetores referidos acima no cenário matemático podem ser correspondentemente encontrados em um cenário mais físico e explicitamente geométrico em Misner, Thorne & Wheeler (1973) . Eles oferecem vários graus de sofisticação (e rigor), dependendo de qual parte do material a pessoa escolhe ler.

Assinatura métrica

A assinatura métrica refere-se a qual sinal o produto interno de Minkowski produz quando recebe espaço (como espaço para ser específico, definido mais abaixo) e vetores de base de tempo (tipo tempo ) como argumentos. Uma discussão mais aprofundada sobre esta escolha teoricamente inconseqüente, mas praticamente necessária para fins de consistência interna e conveniência, é adiada para a caixa de ocultação abaixo.

A escolha da assinatura métrica

Em geral, mas com várias exceções, matemáticos e relativistas gerais preferem vetores semelhantes a espaços para produzir um sinal positivo, (- + + +) , enquanto os físicos de partículas tendem a preferir vetores semelhantes ao tempo para produzir um sinal positivo, (+ - - -) . Autores que cobrem várias áreas da física, por exemplo, Steven Weinberg e Landau e Lifshitz ( (- + + +) e (+ - - -) respectivamente) optam por uma escolha, independentemente do tópico. Os argumentos para a convenção anterior incluem "continuidade" do caso euclidiano correspondente ao limite não relativístico c → ∞ . Os argumentos para o último incluem que os sinais de menos, de outra forma onipresentes na física de partículas, desaparecem. No entanto, outros autores, especialmente de textos introdutórios, por exemplo, Kleppner & Kolenkow (1978) , não escolhem uma assinatura, mas, em vez disso, optam por coordenar o espaço-tempo de forma que a coordenada do tempo (mas não o próprio tempo!) Seja imaginária. Isso remove a necessidade da introdução explícita de um tensor métrico (que pode parecer uma carga extra em um curso introdutório), e não é necessário se preocupar com vetores covariantes e vetores contravariantes (ou índices de aumento e redução) a serem descritos abaixo. O produto interno é, em vez disso, efetuado por uma extensão direta do produto escalar em 3 a 3 × ℂ . Isso funciona no espaço-tempo plano da relatividade especial, mas não no espaço-tempo curvo da relatividade geral, ver Misner, Thorne & Wheeler (1973 , Caixa 2.1, Farewell to ict ) (quem, a propósito, usa (- + + +) ) . MTW também argumenta que esconde a verdadeira natureza indefinida da métrica e a verdadeira natureza dos impulsos de Lorentz, que não são rotações. Também complica desnecessariamente o uso de ferramentas de geometria diferencial que, de outra forma, estão imediatamente disponíveis e são úteis para descrição e cálculos geométricos - mesmo no espaço-tempo plano da relatividade especial, por exemplo, do campo eletromagnético.

Terminologia

Associado matematicamente à forma bilinear está um tensor do tipo (0,2) em cada ponto do espaço-tempo, denominado métrica de Minkowski . A métrica de Minkowski, a forma bilinear e o produto interno de Minkowski são todos o mesmo objeto; é uma função bilinear que aceita dois vetores (contravariantes) e retorna um número real. Em coordenadas, esta é a matriz 4 × 4 que representa a forma bilinear.

Para efeitos de comparação, em relatividade geral , um colector de Lorentz L é igualmente equipado com um tensor métrico g , que é uma forma simétrica bilinear não degenerada no espaço tangente T P G em cada ponto P de L . Em coordenadas, pode ser representado por uma matriz 4 × 4 dependendo da posição do espaço-tempo . O espaço de Minkowski é, portanto, um caso especial comparativamente simples de uma variedade Lorentziana. Seu tensor métrico está em coordenadas da mesma matriz simétrica em todos os pontos de M , e seus argumentos podem, conforme acima, ser tomados como vetores no próprio espaço-tempo.

Apresentando mais terminologia (mas não mais estrutura), o espaço de Minkowski é, portanto, um espaço pseudo-euclidiano com dimensão total n = 4 e assinatura (3, 1) ou (1, 3) . Os elementos do espaço Minkowski são chamados de eventos . Espaço Minkowski é muitas vezes denotado 3,1 ou 1,3 para enfatizar a assinatura escolhida, ou apenas M . É talvez o exemplo mais simples de uma variedade pseudo-Riemanniana .

Um exemplo interessante de coordenadas não inerciais para (parte do) espaço-tempo de Minkowski são as coordenadas de Born . Outro conjunto útil de coordenadas são as coordenadas do cone de luz .

Métricas pseudo-euclidianas

O produto interno de Minkowski não é um produto interno , uma vez que não é definido positivo , ou seja, a forma quadrática η ( v , v ) não precisa ser positiva para v diferente de zero . A condição positiva definida foi substituída pela condição mais fraca de não degenerescência. A forma bilinear é considerada indefinida . A métrica de Minkowski η é o tensor métrico do espaço de Minkowski. É uma métrica pseudo-Euclidiana, ou mais geralmente uma métrica pseudo-Riemanniana constante em coordenadas cartesianas. Como tal, é uma forma bilinear simétrica não degenerada, um tensor do tipo (0, 2) . Ele aceita dois argumentos u p , v p , vetores em T p M , pM , o espaço tangente em p em M . Devido à identificação canónica do acima mencionado T p H com M em si, ele aceita argumentos u , v com ambos u e v em H .

Como uma convenção notacional, os vetores v em M , chamados de 4 vetores , são denotados em itálico, e não, como é comum no cenário euclidiano, com v negrito . O último é geralmente reservado para a parte do vetor 3 (a ser apresentada a seguir) de um vetor 4 .

A definição

produz uma estrutura semelhante a um produto interno em M , anteriormente e também daqui em diante, chamada de produto interno de Minkowski , semelhante ao produto interno euclidiano , mas descreve uma geometria diferente. É também chamado de produto escalar relativístico . Se os dois argumentos forem iguais,

a quantidade resultante será chamada de norma de Minkowski ao quadrado . O produto interno Minkowski satisfaz as seguintes propriedades.

Linearidade no primeiro argumento
Simetria
Não degenerescência

As duas primeiras condições implicam bilinearidade. A diferença definidora entre um produto pseudo-interno e um produto interno próprio é que o primeiro não precisa ser definido positivamente, ou seja, η ( u , u ) <0 é permitido.

A característica mais importante do produto interno e da norma ao quadrado é que essas são quantidades não afetadas pelas transformações de Lorentz . Na verdade, pode ser considerado como a propriedade definidora de uma transformação de Lorentz que ela preserva o produto interno (isto é, o valor da forma bilinear correspondente em dois vetores). Essa abordagem é adotada de forma mais geral para todos os grupos clássicos definíveis dessa forma no grupo clássico . Nesse caso, a matriz Φ é idêntica no caso O (3, 1) (o grupo de Lorentz) à matriz η a ser exibida abaixo.

Dois vetores v e w são ditos ortogonais se η ( v , w ) = 0 . Para uma interpretação geométrica da ortogonalidade no caso especial quando η ( v , v ) ≤ 0 e η ( w , w ) ≥ 0 (ou vice-versa), consulte ortogonalidade hiperbólica .

Um vetor e é chamado de vetor unitário se η ( e , e ) = ± 1 . Uma base para M que consiste em vetores unitários ortogonais mutuamente é chamada de base ortonormal .

Para um dado referencial inercial , uma base ortonormal no espaço, combinada com o vetor de tempo unitário, forma uma base ortonormal no espaço de Minkowski. O número de vetores unitários positivos e negativos em qualquer uma dessas bases é um par fixo de números, igual à assinatura da forma bilinear associada ao produto interno. Esta é a lei da inércia de Sylvester .

Mais terminologia (mas não mais estrutura): A métrica de Minkowski é uma métrica pseudo-Riemanniana , mais especificamente, uma métrica Lorentziana , ainda mais especificamente, a métrica Lorentz, reservada para um espaço-tempo plano de 4 dimensões com a ambiguidade restante sendo apenas a convenção de assinatura .

Minkowski métrica

Do segundo postulado da relatividade especial , juntamente com a homogeneidade do espaço-tempo e a isotropia do espaço, segue-se que o intervalo do espaço-tempo entre dois eventos arbitrários chamados 1 e 2 é:

Esta quantidade não é mencionada de forma consistente na literatura. O intervalo é algumas vezes referido como a raiz quadrada do intervalo, conforme definido aqui.

A invariância do intervalo sob as transformações de coordenadas entre os referenciais inerciais segue a invariância de

desde que as transformações sejam lineares. Esta forma quadrática pode ser usada para definir uma forma bilinear

através da identidade de polarização . Esta forma bilinear pode, por sua vez, ser escrita como

onde [ η ] é uma matriz 4 × 4 associada a η . Embora possivelmente confuso, é prática comum denotar [ η ] apenas com η . A matriz é lida a partir da forma bilinear explícita como

e a forma bilinear

com a qual esta seção começou por assumir sua existência, agora está identificada.

Para definição e apresentação mais curta, a assinatura (- + + +) é adotada abaixo. Essa escolha (ou a outra escolha possível) não tem implicações físicas (conhecidas). O grupo de simetria preservando a forma bilinear com uma escolha de assinatura é isomórfico (sob o mapa dado aqui ) com o grupo de simetria preservando a outra opção de assinatura. Isso significa que ambas as escolhas estão de acordo com os dois postulados da relatividade. Alternar entre as duas convenções é simples. Se o tensor métrico η foi usado em uma derivação, volte ao ponto mais antigo onde foi usado, substitua η por - η , e retroceda para a fórmula desejada com a assinatura métrica desejada.

Base padrão

Uma base padrão para o espaço de Minkowski é um conjunto de quatro vetores ortogonais mutuamente { e 0 , e 1 , e 2 , e 3 } de modo que

Essas condições podem ser escritas de forma compacta na forma

Em relação a uma base padrão, os componentes de um vetor v são escritos ( v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) onde a notação de Einstein é usada para escrever v = v μ e μ . O componente v 0 é chamado de componente semelhante ao tempo de v, enquanto os outros três componentes são chamados de componentes espaciais . Os componentes espaciais de um vetor 4 v podem ser identificados com um vetor 3 v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) .

Em termos de componentes, o produto interno de Minkowski entre dois vetores v e w é dado por

e

Aqui, a redução de um índice com a métrica foi usada.

Aumento e redução de índices

Funcionais lineares (formas 1) α , β e sua soma σ e vetores u , v , w , no espaço euclidiano 3d . O número de hiperplanos (de uma forma) interceptados por um vetor é igual ao produto interno .

Tecnicamente, uma forma bilinear não degenerada fornece um mapa entre um espaço vetorial e seu dual; Neste contexto, o mapa é entre os espaços tangentes de M e os espaços cotangente de M . Em um ponto em M , os espaços tangente e cotangente são espaços vetoriais duais (então a dimensão do espaço cotangente em um evento também é 4 ). Assim como um produto interno autêntico em um espaço vetorial com um argumento fixado, pelo teorema da representação de Riesz , pode ser expresso como a ação de um funcional linear no espaço vetorial, o mesmo vale para o produto interno de Minkowski do espaço de Minkowski.

Assim, se v μ são os componentes de um vetor em um espaço tangente, então η μν v μ = v ν são os componentes de um vetor no espaço cotangente (um funcional linear). Devido à identificação de vetores em espaços tangentes com vetores no próprio M , isso é quase sempre ignorado, e vetores com índices mais baixos são chamados de vetores covariantes . Nesta última interpretação, os vetores covariantes são (quase sempre implicitamente) identificados com vetores (funcionais lineares) no dual do espaço de Minkowski. Aqueles com índices superiores são vetores contravariantes . Da mesma forma, o inverso do mapa de espaços tangentes para cotangentes, explicitamente dado pelo inverso de η na representação da matriz, pode ser usado para definir o aumento de um índice . Os componentes desse inverso são denotados por η μν . Acontece que η μν = η μν . Esses mapas entre um espaço vetorial e seu dual podem ser denotados η (eta-bemol) e η (eta-sustenido) pela analogia musical.

Os vetores contravariantes e covariantes são objetos geometricamente muito diferentes. A primeira pode e deve ser considerada como flecha. Um funcional linear pode ser caracterizado por dois objetos: seu núcleo , que é um hiperplano que passa pela origem, e sua norma. Assim, geometricamente, os vetores covariantes devem ser vistos como um conjunto de hiperplanos, com espaçamento dependente da norma (maior = menor espaçamento), com um deles (o kernel) passando pela origem. O termo matemático para um vetor covariante é 1-covetor ou 1-forma (embora o último seja normalmente reservado para campos de covetor ).

Misner, Thorne & Wheeler (1973) usa uma analogia vívida com as frentes de onda de uma onda de de Broglie (escalada por um fator da constante reduzida de Planck) associada mecanicamente a um quatro vetor de momento para ilustrar como se poderia imaginar uma versão covariante de um vetor contravariante. O produto interno de dois vetores contravariantes também pode ser pensado como a ação da versão covariante de um deles sobre a versão contravariante do outro. O produto interno é então quantas vezes a flecha perfura os planos. A referência matemática, Lee (2003) , oferece a mesma visão geométrica desses objetos (mas não menciona piercing).

O tensor de campo eletromagnético é uma forma diferencial de 2 , cuja descrição geométrica também pode ser encontrada em MTW.

Pode-se, é claro, ignorar vistas geométricas todas juntas (como é o estilo em, por exemplo, Weinberg (2002) e Landau & Lifshitz 2002 ) e proceder algebricamente de uma forma puramente formal. A robustez comprovada pelo tempo do próprio formalismo, às vezes referido como ginástica de índice , garante que os vetores móveis e a mudança de vetores contravariantes para covariantes e vice-versa (bem como tensores de ordem superior) sejam matematicamente corretos. Expressões incorretas tendem a se revelar rapidamente.

O formalismo da métrica de Minkowski

O presente objetivo é mostrar semirrigorificamente como formalmente se pode aplicar a métrica de Minkowski a dois vetores e obter um número real, ou seja, mostrar o papel dos diferenciais e como eles desaparecem em um cálculo. O cenário é a teoria da variedade suave, e conceitos como campos de convecção e derivados externos são introduzidos.

Uma abordagem formal para a métrica Minkowski

Uma versão completa da métrica de Minkowski em coordenadas como um campo tensorial no espaço-tempo tem a aparência

Explicação: Os diferenciais de coordenadas são campos de 1 formulário. Eles são definidos como a derivada externa das funções de coordenadas x μ . Essas quantidades avaliadas em um ponto p fornecem uma base para o espaço cotangente em p . O produto tensorial (denotado pelo símbolo ) produz um campo tensorial do tipo (0, 2) , ou seja, o tipo que espera dois vetores contravariantes como argumentos. No lado direito, o produto simétrico (denotado pelo símbolo ou por justaposição) foi obtido. A igualdade é válida porque, por definição, a métrica de Minkowski é simétrica. A notação na extrema direita também é usada às vezes para o elemento de linha relacionado, mas diferente . É não um tensor. Para mais detalhes sobre as diferenças e semelhanças, consulte Misner, Thorne & Wheeler (1973 , Caixa 3.2 e seção 13.2.)

Os vetores tangentes são, neste formalismo, dados em termos de uma base de operadores diferenciais de primeira ordem,

onde p é um evento. Este operador aplicado a uma função f fornece a derivada direcional de f em p na direção de aumentar x μ com x ν , νμ fixo. Eles fornecem uma base para o espaço tangente em p .

A derivada externa df de uma função f é um campo covetor , ou seja, uma atribuição de um vetor cotangente a cada ponto p , por definição tal que

para cada campo de vectores X . Um campo vetorial é uma atribuição de um vetor tangente a cada ponto p . Nas coordenadas X pode ser expandido em cada ponto p na base dada por ∂ / ∂ x ν | p . Aplicando isso com f = x μ , a própria função de coordenada, e X = ∂ / ∂ x ν , chamado de campo de vetor de coordenadas , obtém-se

Como essa relação se mantém em cada ponto p , o dx μ | p fornecem uma base para o espaço cotangente em cada p e as bases dx μ | p e ∂ / ∂ x ν | p são duais entre si,

em cada p . Além disso, um tem

para formas únicas gerais em um espaço tangente α , β e vetores tangentes gerais a , b . (Isso pode ser tomado como uma definição, mas também pode ser provado em um ambiente mais geral.)

Assim, quando o tensor métrico é alimentado com dois campos de vetores a , b , ambos expandidos em termos dos campos de vetores de coordenadas de base, o resultado é

onde a μ , b ν são as funções componentes dos campos vetoriais. A equação acima é válida em cada ponto p , e a relação também pode ser interpretada como a métrica de Minkowski em p aplicada a dois vetores tangentes em p .

Como mencionado, em um espaço vetorial, como aquele que modela o espaço-tempo da relatividade especial, vetores tangentes podem ser canonicamente identificados com vetores no próprio espaço e vice-versa. Isso significa que os espaços tangentes em cada ponto são canonicamente identificados entre si e com o próprio espaço vetorial. Isso explica como o lado direito da equação acima pode ser empregado diretamente, independentemente do ponto do espaço-tempo em que a métrica deve ser avaliada e de onde (de qual espaço tangente) os vetores vêm.

Essa situação muda na relatividade geral . Ai tem um

onde agora ηg ( p ) , ou seja, g ainda é um tensor métrico, mas agora depende do espaço-tempo e é uma solução das equações de campo de Einstein . Além disso, a , b devem ser vetores tangentes no ponto do espaço-tempo p e não podem mais ser movidos livremente.

Relações cronológicas e de causalidade

Vamos x , yM . Nós dizemos isso

  1. x cronologicamente precede y se y - x for semelhante ao tempo direcionado para o futuro. Esta relação possui a propriedade transitiva e, portanto, pode ser escrita x < y .
  2. x precede y causalmente se y - x for nulo direcionado para o futuro ou semelhante ao tempo direcionado para o futuro. Ele fornece uma ordenação parcial do espaço-tempo e, portanto, pode ser escrito xy .

Suponha que xM seja semelhante ao tempo. Então, o hiperplano simultâneo para x é. Como esse hiperplano varia na medida em que x varia, há uma relatividade da simultaneidade no espaço de Minkowski.

Generalizações

Uma variedade Lorentziana é uma generalização do espaço de Minkowski de duas maneiras. O número total de dimensões do espaço-tempo não se restringe a 4 ( 2 ou mais) e uma variedade Lorentziana não precisa ser plana, ou seja, permite a curvatura.

Espaço Minkowski complexificado

O espaço de Minkowski complexificado é definido como M c = MiM . Sua parte real é o espaço de Minkowski de quatro vetores , como os quatro velocidades e os quatro momentos , que são independentes da escolha da orientação do espaço. A parte imaginária, por outro lado, pode consistir em quatro pseudovetores, como velocidade angular e momento magnético , que mudam de direção com a mudança de orientação. Introduzimos um pseudoescalar i, que também muda de sinal com uma mudança de orientação. Assim, os elementos de M c são independentes da escolha da orientação.

A estrutura interna semelhante a um produto em M c é definida como u⋅v = η (u, v) para qualquer u, vM c . Um spin puro relativístico de um elétron ou qualquer partícula de meio spin é descrito por ρM c como ρ = u + is , onde u é a velocidade de quatro da partícula, satisfazendo u 2 = 1 e s é o vetor de spin 4D, que também é o Pauli – Lubanski_pseudovetor satisfazendo s 2 = -1 e us = 0 .

Espaço Minkowski generalizado

O espaço de Minkowski se refere a uma formulação matemática em quatro dimensões. No entanto, a matemática pode ser facilmente estendida ou simplificada para criar um espaço de Minkowski generalizado análogo em qualquer número de dimensões. Se n ≥ 2 , o espaço de Minkowski n- dimensional é um espaço vetorial de dimensão real n no qual existe uma métrica de Minkowski constante de assinatura ( n - 1, 1) ou (1, n - 1) . Essas generalizações são usadas em teorias em que se presume que o espaço-tempo tem mais ou menos de 4 dimensões. A teoria das cordas e a teoria M são dois exemplos em que n > 4 . Na teoria das cordas, aparecem teorias de campo conformes com 1 + 1 dimensões de espaço-tempo.

O espaço de Sitter pode ser formulado como uma subvariedade do espaço de Minkowski generalizado, assim como os espaços do modelo da geometria hiperbólica (veja abaixo).

Curvatura

Como um espaço-tempo plano , as três componentes espaciais do espaço-tempo de Minkowski sempre obedecem ao Teorema de Pitágoras . O espaço de Minkowski é uma base adequada para a relatividade especial , uma boa descrição de sistemas físicos em distâncias finitas em sistemas sem gravitação significativa . No entanto, para levar em conta a gravidade, os físicos usam a teoria da relatividade geral , que é formulada na matemática de uma geometria não euclidiana . Quando essa geometria é usada como modelo de espaço físico, ela é conhecida como espaço curvo .

Mesmo no espaço curvo, o espaço de Minkowski ainda é uma boa descrição em uma região infinitesimal em torno de qualquer ponto (exceto singularidades gravitacionais). Mais abstratamente, dizemos que, na presença da gravidade, o espaço-tempo é descrito por uma variedade quadridimensional curva para a qual o espaço tangente a qualquer ponto é um espaço de Minkowski quadridimensional. Assim, a estrutura do espaço de Minkowski ainda é essencial na descrição da relatividade geral.

Geometria

O significado do termo geometria para o espaço de Minkowski depende muito do contexto. O espaço de Minkowski não é dotado de uma geometria euclidiana, e nem de nenhuma das geometrias Riemannianas generalizadas com curvatura intrínseca, aquelas expostas pelos espaços do modelo em geometria hiperbólica (curvatura negativa) e a geometria modelada pela esfera (curvatura positiva). O motivo é a indefinição da métrica de Minkowski. O espaço de Minkowski não é, em particular, um espaço métrico e nem uma variedade Riemanniana com uma métrica Riemanniana. No entanto, o espaço de Minkowski contém subvariedades dotadas de uma métrica Riemanniana que produz geometria hiperbólica.

Espaços de modelo de geometria hiperbólica de baixa dimensão, digamos 2 ou 3 , não podem ser isometricamente embutidos no espaço euclidiano com mais uma dimensão, ou seja, 3 ou 4 respectivamente, com a métrica euclidiana g , não permitindo a fácil visualização. Em comparação, os espaços do modelo com curvatura positiva são apenas esferas no espaço euclidiano de uma dimensão superior. Espaços hiperbólicos podem ser isometricamente embutidos em espaços de mais uma dimensão quando o espaço de embutimento é dotado da métrica de Minkowski η .

Defina H1 ( n )
R
M n +1
para ser a folha superior ( ct > 0 ) do hiperbolóide

no espaço de Minkowski generalizado M n +1 da dimensão do espaço-tempo n + 1 . Esta é uma das superfícies de transitividade do grupo de Lorentz generalizado. A métrica induzida nesta subvariedade,

o recuo da métrica de Minkowski η sob inclusão, é uma métrica Riemanniana . Com esta métrica H1 ( n )
R
é uma variedade Riemanniana . É um dos espaços modelo da geometria de Riemann, o modelo hyperboloid de espaço hiperbólico . É um espaço de curvatura negativa constante -1 / R 2 . O 1 no índice superior se refere a uma enumeração dos diferentes espaços do modelo da geometria hiperbólica e o n para sua dimensão. A 2 (2) corresponde ao modelo do disco de Poincaré , enquanto 3 ( n ) corresponde ao modelo do meio-espaço de Poincaré de dimensão n .

Preliminares

Na definição acima ι : H1 ( n )
R
M n +1
é o mapa de inclusão e a estrela sobrescrita denota o retrocesso . O presente objetivo é descrever esta e outras operações semelhantes como uma preparação para a demonstração real de que H1 ( n )
R
na verdade, é um espaço hiperbólico.

Projeção estereográfica hiperbólica

O arco circular vermelho é geodésico no modelo do disco de Poincaré ; ele se projeta para o geodésico marrom no hiperbolóide verde.

Para exibir a métrica, é necessário retirá-la por meio de uma parametrização adequada . A parametrização de uma subvariedade S de M é um mapa L ⊂ ℝ mH cuja gama é um subconjunto aberto de S . Se S tem a mesma dimensão de M , uma parametrização é apenas o inverso de um mapa de coordenadas φ : MU ⊂ ℝ m . A parametrização a ser usada é o inverso da projeção estereográfica hiperbólica . Isso é ilustrado na figura à esquerda para n = 2 . É instrutivo comparar a projeção estereográfica para esferas.

Projeção estereográfica σ : Hn
R
→ ℝ n
e seu inverso σ −1 : ℝ nHn
R
são dados por

onde, para simplificar, τct . O ( τ , x ) são coordenadas em M n +1 e u são coordenadas em n .

Retirando a métrica

Um tem

e o mapa

A métrica puxada para trás pode ser obtida por métodos diretos de cálculo;

Um calcula de acordo com as regras padrão para diferenciais de computação (embora se esteja realmente computando as derivadas externas rigorosamente definidas),

e substitui os resultados no lado direito. Isso produz

Esta última equação mostra que a métrica da bola é idêntica à métrica Riemanniana h2 ( n )
R
no modelo da bola de Poincaré , outro modelo padrão da geometria hiperbólica.

Veja também

Observações

Notas

Referências

links externos

Mídia relacionada aos diagramas de Minkowski no Wikimedia Commons