Fórmula de adição de velocidade - Velocity-addition formula

A teoria da relatividade especial, formulada em 1905 por Albert Einstein , implica que a adição de velocidades não se comporta de acordo com a simples adição de vetores .

Na física relativística , uma fórmula de adição de velocidade é uma equação tridimensional que relaciona as velocidades de objetos em diferentes referenciais . Essas fórmulas se aplicam a transformações de Lorentz sucessivas , portanto, elas também relacionam quadros diferentes. A adição de velocidade acompanha um efeito cinemático conhecido como precessão de Thomas , por meio do qual sucessivos impulsos de Lorentz não colineares se tornam equivalentes à composição de uma rotação do sistema de coordenadas e um impulso.

Aplicações padrão de fórmulas velocidade de adição incluem o deslocamento de Doppler , navegação Doppler , a aberração de luz , e o arrastar de luz em água observado no 1851 movendo Fizeau experimento .

A notação emprega $u$ como a velocidade de um corpo dentro de um quadro de Lorentz $S$ , e $v$ como a velocidade de um segundo quadro de $S'$ , tal como medido em $S$ , e $L'$ como a velocidade transformada do corpo no interior da segunda estrutura.

História

A velocidade da luz em um fluido é mais lenta do que a velocidade da luz no vácuo e muda se o fluido estiver se movendo junto com a luz. Em 1851, Fizeau mediu a velocidade da luz em um fluido que se movia paralelamente à luz usando um interferômetro . Os resultados de Fizeau não estavam de acordo com as teorias então prevalentes. Fizeau experimentalmente determinou corretamente o termo zero de uma expansão da lei de adição relativisticamente correta em termos de $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} V ⁄ c$ como descrito abaixo. O resultado de Fizeau levou os físicos a aceitar a validade empírica da teoria bastante insatisfatória de Fresnel de que um fluido em movimento em relação ao éter estacionário arrasta parcialmente a luz com ele, ou seja, a velocidade é $c ⁄ n + (1 - 1 ⁄ n 2) V em$ vez de $c ⁄ n + V$ , onde $c$ é a velocidade da luz no éter, $n$ é o índice de refração do fluido e $V$ é a velocidade do fluido em relação ao éter.

A aberração da luz , cuja explicação mais fácil é a fórmula relativística de adição de velocidade, juntamente com o resultado de Fizeau, desencadeou o desenvolvimento de teorias como a teoria do eletromagnetismo do éter de Lorentz em 1892. Em 1905, Albert Einstein , com o advento da relatividade especial , derivou a fórmula de configuração padrão ( $V$ na direção $x$ ) para a adição de velocidades relativísticas. As questões envolvendo o éter foram, gradualmente, ao longo dos anos, resolvidas em favor da relatividade especial.

Relatividade galileana

Foi observado por Galileu que uma pessoa em um navio em movimento uniforme tem a impressão de estar em repouso e vê um corpo pesado caindo verticalmente para baixo. Esta observação é agora considerada como a primeira declaração clara do princípio da relatividade mecânica. Galileu viu que, do ponto de vista de uma pessoa em pé na praia, o movimento de queda do navio seria combinado ou adicionado ao movimento de avanço do navio. Em termos de velocidades, pode-se dizer que a velocidade do corpo em queda em relação à costa é igual à velocidade desse corpo em relação ao navio mais a velocidade do navio em relação à costa.

Em geral, para três objetos A (por exemplo, Galileo na costa), B (por exemplo, navio), C (por exemplo, corpo em queda no navio), o vetor de velocidade de C em relação a A (velocidade do objeto em queda como Galileu o vê) é a soma de a velocidade de C em relação a B (velocidade do objeto em queda em relação ao navio) mais a velocidade $v$ de B em relação a A (velocidade do navio para longe da costa). A adição aqui é a adição vetorial de álgebra vetorial e a velocidade resultante é geralmente representada na forma ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u '}}$

{\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v} + \ mathbf {u '}.}

O cosmos de Galileu consiste em espaço e tempo absolutos e a adição de velocidades corresponde à composição das transformações galileanas . O princípio da relatividade é chamado de relatividade galileana . É obedecido pela mecânica newtoniana .

Relatividade especial

De acordo com a teoria da relatividade especial , a estrutura do navio tem uma taxa de clock e medida de distância diferentes, e a noção de simultaneidade na direção do movimento é alterada, então a lei de adição para velocidades é alterada. Esta mudança não é perceptível em velocidades baixas, mas à medida que a velocidade aumenta em direção à velocidade da luz, torna-se importante. A lei de adição também é chamada de lei de composição para velocidades . Para movimentos colineares, a velocidade do objeto (por exemplo, uma bala de canhão disparada horizontalmente para o mar) medida a partir do navio seria medida por alguém em pé na costa e observando toda a cena através de um telescópio como

{\ displaystyle u = {v + u '\ over 1+ (vu' / c ^ {2})}.}

A fórmula de composição pode assumir uma forma algébrica equivalente, que pode ser facilmente derivada usando apenas o princípio de constância da velocidade da luz,

{\ displaystyle {cu \ over c + u} = \ left ({cu '\ over c + u'} \ right) \ left ({cv \ over c + v} \ right).}

O cosmos da relatividade especial consiste no espaço-tempo de Minkowski e a adição de velocidades corresponde à composição das transformações de Lorentz . Na teoria da relatividade especial, a mecânica newtoniana é modificada para a mecânica relativística .

Configuração padrão

As fórmulas para aumentos na configuração padrão seguem mais diretamente da obtenção de diferenciais do aumento de Lorentz inverso na configuração padrão. Se o quadro inicializado está viajando com velocidade com fator de Lorentz na direção $x$ positiva em relação ao quadro não inicializado, então os diferenciais são ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {_ {v}} = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$

{\ displaystyle dx = \ gamma _ {_ {v}} (dx '+ vdt'), \ quad dy = dy ', \ quad dz = dz', \ quad dt = \ gamma _ {_ {v}} \ esquerda (dt '+ {\ frac {v} {c ^ {2}}} dx' \ direita).}

Divida as três primeiras equações pela quarta,

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {\ gamma _ {_ {v}} (dx '+ vdt')} {\ gamma _ {_ {v}} (dt '+ { \ frac {v} {c ^ {2}}} dx ')}}, \ quad {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {dy'} {\ gamma _ {_ {v}} ( dt '+ {\ frac {v} {c ^ {2}}} dx')}}, \ quad {\ frac {dz} {dt}} = {\ frac {dz '} {\ gamma _ {_ { v}} (dt '+ {\ frac {v} {c ^ {2}}} dx')}},}

ou

{\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {{\ frac {dx '} {dt'}} + v} {(1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} {\ frac {dx '} {dt'}})}}, \ quad u_ {y} = {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {\ frac {dy '} {dt '}} {\ gamma _ {_ {v}} \ (1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} {\ frac {dx'} {dt '}})}}, \ quad u_ {z} = {\ frac {dz} {dt}} = {\ frac {\ frac {dz '} {dt'}} {\ gamma _ {_ {v}} \ (1 + {\ frac { v} {c ^ {2}}} {\ frac {dx '} {dt'}})}},}

qual é

Transformação de velocidade ( componentes cartesianos )

{\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {u_ {x} '+ v} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}'}}, \ quad u_ {x } '= {\ frac {u_ {x} -v} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}}},}

{\ displaystyle u_ {y} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {y} '} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} '}}, \ quad u_ {y}' = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {y}} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}}},}

{\ displaystyle u_ {z} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {z} '} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} '}}, \ quad u_ {z}' = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {z}} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}}},}

em que as expressões para as velocidades iniciadas foram obtidas usando a receita padrão, substituindo $v$ por $- v$ e trocando as coordenadas iniciadas e não iniciadas. Se as coordenadas são escolhidas de modo que todas as velocidades estejam em um plano $x - y$ (comum) , então as velocidades podem ser expressas como

{\ displaystyle u_ {x} = u \ cos \ theta, u_ {y} = u \ sin \ theta, \ quad u_ {x} '= u' \ cos \ theta ', \ quad u_ {y}' = u '\ sin \ theta',}

(veja as coordenadas polares ) e se encontra

Transformação de velocidade ( componentes polares planos )

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} u & = {\ frac {\ sqrt {u '^ {2} + v ^ {2} + 2vu' \ cos \ theta '- ({\ frac {vu' \ sin \ theta '} {c}}) ^ {2}}} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u' \ cos \ theta '}}, \\\ tan \ theta & = {\ frac {u_ {y}} {u_ {x}}} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {y} ' } {u_ {x} '+ v}} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u' \ sin \ theta '} {u '\ cos \ theta' + v}}. \ end {alinhado}}}

Detalhes para você

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} u & = {\ sqrt {u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {(u_ {x} '+ v ) ^ {2} + (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}) u_ {y} '^ {2}}} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} '}} = {\ frac {\ sqrt {u_ {x}' ^ {2} + v ^ {2} + 2u_ {x} 'v + (1 - {\ frac { v ^ {2}} {c ^ {2}}}) u_ {y} '^ {2}}} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}'}} \\ & = {\ frac {\ sqrt {u '^ {2} \ cos ^ {2} \ theta' + v ^ {2} + 2vu '\ cos \ theta' + u '^ {2} \ sin ^ {2} \ theta '- {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} u' ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta '}} {1 + {\ frac {v } {c ^ {2}}} u_ {x} '}} \\ & = {\ frac {\ sqrt {u' ^ {2} + v ^ {2} + 2vu '\ cos \ theta' - ({ \ frac {vu '\ sin \ theta'} {c}}) ^ {2}}} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u '\ cos \ theta'}} \ end {alinhado}}}

A prova apresentada é altamente formal. Existem outras provas mais complicadas que podem ser mais esclarecedoras, como a que se segue.

Uma prova usando

4

vetores e matrizes de transformação de Lorentz

Uma vez que um espaço roda de transformação relativista e tempo uns nos outros tanto quanto rotações geométricas no plano girar o $x$ - e $y$ -axes, é conveniente usar-se as mesmas unidades de espaço e tempo, caso contrário, uma unidade de conversão de factor aparece ao longo fórmulas relativistas, sendo a velocidade da luz . Em um sistema onde comprimentos e tempos são medidos nas mesmas unidades, a velocidade da luz é adimensional e igual a $1$ . A velocidade é então expressa como fração da velocidade da luz.

Para encontrar a lei de transformação relativística, é útil introduzir as quatro velocidades $V = (V 0, V 1, 0, 0)$ , que é o movimento do navio para longe da costa, medido a partir da costa, e $U ' = (U ' 0, U ' 1, U ' 2, U ' 3)$ que é o movimento da mosca para longe do navio, medido a partir do navio. A velocidade de quatro é definida como um vetor de quatro com comprimento relativístico igual a $1$ , direcionado para o futuro e tangente à linha de mundo do objeto no espaço-tempo. Aqui, $V 0$ corresponde à componente de tempo e $V 1$ à componente $x$ da velocidade do navio vista da costa. É conveniente tomar o eixo $x$ para ser a direção do movimento do navio para longe da costa, e o eixo $y$ para que o plano $x - y$ seja o plano medido pelo movimento do navio e da mosca. Isso resulta em vários componentes das velocidades sendo zero: $V 2 = V 3 = U ' 3 = 0$

A velocidade normal é a razão da taxa na qual as coordenadas do espaço estão aumentando para a taxa na qual a coordenada do tempo está aumentando:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} & = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}) = (V_ {1} / V_ {0}, 0,0), \ \\ mathbf {u '} & = (u' _ {1}, u '_ {2}, u' _ {3}) = (U '_ {1} / U' _ {0}, U'_ {2} / U '_ {0}, 0) \ end {alinhado}}}

Uma vez que o comprimento relativístico de $V$ é $1$ ,

{\ displaystyle V_ {0} ^ {2} -V_ {1} ^ {2} = 1,}

assim

{\ displaystyle V_ {0} = 1 / {\ sqrt {1-v_ {1} ^ {2}}} \ = \ gamma, \ quad V_ {1} = v_ {1} / {\ sqrt {1-v_ {1} ^ {2}}} = v_ {1} \ gamma.}

A matriz de transformação de Lorentz que converte as velocidades medidas na estrutura do navio para a estrutura da costa é o inverso da transformação descrita na página de transformação de Lorentz , portanto, os sinais de menos que aparecem nela devem ser invertidos aqui:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ gamma & v_ {1} \ gamma & 0 & 0 \\ v_ {1} \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Essa matriz gira o vetor do eixo do tempo puro $(1, 0, 0, 0)$ para $(V 0, V 1, 0, 0)$ e todas as suas colunas são ortogonais relativisticamente entre si, portanto, define uma transformação de Lorentz.

Se uma mosca está se movendo com quatro velocidades $U '$ na estrutura do navio, e é impulsionada pela multiplicação pela matriz acima, a nova quatro velocidades na estrutura da costa é $U = (U 0, U 1, U 2, U 3)$ ,

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} U_ {0} & = V_ {0} U '_ {0} + V_ {1} U' _ {1}, \\ U_ {1} & = V_ {1} U '_ {0} + V_ {0} U' _ {1}, \\ U_ {2} & = U '_ {2}, \\ U_ {3} & = U' _ {3}. \ End { alinhado}}}

Dividindo pelo componente de tempo $U 0$ e substituindo os componentes dos quatro vetores $U '$ e $V$ em termos dos componentes dos três vetores $u '$ e $v,$ obtém-se a lei de composição relativística como

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} u_ {1} & = {v_ {1} + u '_ {1} \ over 1 + v_ {1} u' _ {1}}, \\ u_ {2} & = {u '_ {2} \ over (1 + v_ {1} u' _ {1})} {1 \ over V_ {0}} = {u '_ {2} \ over 1 + v_ {1} u '_ {1}} {\ sqrt {1-v_ {1} ^ {2}}}, \\ u_ {3} & = 0 \ end {alinhado}}}

A forma da lei de composição relativística pode ser entendida como um efeito do fracasso da simultaneidade à distância. Para o componente paralelo, a dilatação do tempo diminui a velocidade, a contração do comprimento a aumenta e os dois efeitos se cancelam. O fracasso da simultaneidade significa que a mosca está mudando fatias de simultaneidade como a projeção de $u '$ em $v$ . Como esse efeito é inteiramente devido ao fatiamento do tempo, o mesmo fator multiplica o componente perpendicular, mas para o componente perpendicular não há contração do comprimento, então a dilatação do tempo se multiplica por um fator de $1 ⁄ V 0 = \sqrt (1 - v 12)$ .

Configuração geral

Decomposição da velocidade

u

de 3 em componentes paralelas e perpendiculares e cálculo das componentes. O procedimento para

u'

é idêntico.

Começando com a expressão em coordenadas para $v$ paralelo ao eixo $x$ , expressões para as componentes perpendiculares e paralelas podem ser lançadas na forma vetorial como segue, um truque que também funciona para transformações de Lorentz de outras grandezas físicas 3d originalmente na configuração padrão definida . Introduza o vetor velocidade $u$ no quadro não iniciado e $u'$ no quadro inicializado e divida-os em componentes paralelos (∥) e perpendiculares (⊥) ao vetor velocidade relativa $v$ (consulte a caixa oculta abaixo).

{\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {\ parallel} + \ mathbf {u} _ {\ perp}, \ quad \ mathbf {u} '= \ mathbf {u}' _ {\ parallel } + \ mathbf {u} '_ {\ perp},}

em seguida, com os vetores de base unitária cartesiana usuais $e x, e y, e z$ , defina a velocidade no quadro não programado como

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ parallel} = u_ {x} \ mathbf {e} _ {x}, \ quad \ mathbf {u} _ {\ perp} = u_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + u_ {z} \ mathbf {e} _ {z}, \ quad \ mathbf {v} = v \ mathbf {e} _ {x},}

que dá, usando os resultados da configuração padrão,

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ parallel} = {\ frac {\ mathbf {u} _ {\ parallel} '+ \ mathbf {v}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} _ {\ parallel} '} {c ^ {2}}}}}, \ quad \ mathbf {u} _ {\ perp} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac { v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {u} _ {\ perp} '} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} _ {\ paralelo} '} {c ^ {2}}}}}.}

onde · é o produto escalar . Como essas são equações vetoriais, elas ainda têm a mesma forma para $v$ em qualquer direção. A única diferença das expressões de coordenadas é que as expressões acima se referem a vetores , não componentes.

Obtém-se

{\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {\ parallel} + \ mathbf {u} _ {\ perp} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ left [\ alpha _ {v} \ mathbf {u}' + \ mathbf {v} + (1- \ alpha _ {v}) {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ')} {v ^ {2}}} \ mathbf {v} \ right] \ equiv \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} ',}

onde $α v = 1 / γ v$ é o recíproco do fator de Lorentz . A ordem dos operandos na definição é escolhida para coincidir com a da configuração padrão da qual a fórmula é derivada.

A álgebra

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathbf {u} '_ {\ parallel} + \ mathbf {v}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} + {\ frac {\ alpha _ {v} \ mathbf {u}' _ {\ perp}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} & = {\ frac {\ mathbf {v} + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {v ^ { 2}}} \ mathbf {v}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} + {\ frac {\ alpha _ { v} \ mathbf {u} '- \ alpha _ {v} {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {v ^ {2}}} \ mathbf {v}} {1+ {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \\ & = {\ frac {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {v ^ {2}}} (1- \ alpha _ {v})} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ { 2}}}}} \ mathbf {v} + \ alpha _ {v} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2 }}}}} \ mathbf {u} '\\ & = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}} }} \ mathbf {v} + \ alpha _ {v} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}} } \ mathbf {u} '+ {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}}}} {\ frac {\ mathb f {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {v ^ {2}}} (1- \ alpha _ {v}) \ mathbf {v} \\ & = {\ frac {1} {1+ { \ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {v} + \ alpha _ {v} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {u}' + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {v ^ {2} / c ^ {2}}} (1- \ alpha _ {v}) \ mathbf {v} \\ & = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {v} + \ alpha _ {v} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf { v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {u}' + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {(1 - \ alpha _ {v}) (1+ \ alpha _ {v})}} (1- \ alpha _ {v}) \ mathbf {v} \\ & = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ left [\ alpha _ {v} \ mathbf {u}' + \ mathbf {v} + (1 - \ alpha _ {v}) {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ')} {v ^ {2}}} \ mathbf {v} \ right]. \ end {alinhado} }}

Decomposição em componentes paralelos e perpendiculares em termos de

V

A componente paralela ou perpendicular de cada vetor precisa ser encontrada, uma vez que a outra componente será eliminada pela substituição dos vetores completos.

O componente paralelo de $u'$ pode ser encontrado projetando o vetor completo na direção do movimento relativo

{\ displaystyle \ mathbf {u} '_ {\ parallel} = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {v ^ {2}}} \ mathbf {v},}

e o componente perpendicular de $u ''$ pode ser encontrado pelas propriedades geométricas do produto vetorial (ver figura acima à direita),

{\ displaystyle \ mathbf {u} '_ {\ perp} = - {\ frac {\ mathbf {v} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u}')} {v ^ {2}} }.}

Em cada caso, $v / v$ é um vetor unitário na direção do movimento relativo.

As expressões para $u ||$ e $u ⊥$ podem ser encontrados da mesma maneira. Substituindo o componente paralelo em

{\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {\ mathbf {u} _ {\ parallel} '+ \ mathbf {v}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} _ {\ parallel} '} {c ^ {2}}}}} + {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} (\ mathbf {u} - \ mathbf {u} _ {\ parallel} ')} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} _ {\ parallel}'} {c ^ {2} }}}},}

resulta na equação acima.

Usando uma identidade em e , ${\ displaystyle \ alpha _ {v}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {v}}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '\ equiv \ mathbf {u} & = {\ frac {1} {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u}' \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} \ left [\ mathbf {v} + {\ frac {\ mathbf {u} '} {\ gamma _ {v}}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ right] \\ & = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} \ left [\ mathbf {v} + \ mathbf {u} '+ {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} \ mathbf {v} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} ') \ right], \ end {alinhado}}}

e na direção para frente (v positivo, S → S ')

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} \ equiv \ mathbf {u} '& = {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} \ left [{\ frac {\ mathbf {u}} {\ gamma _ {v}}} - \ mathbf {v} + {\ frac { 1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v } \ right] \\ & = {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} \ left [\ mathbf { u} - \ mathbf {v} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} \ mathbf {v} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u}) \ right] \ end {alinhado}}}

onde a última expressão é pela fórmula de análise vetorial padrão $v \times (v \times u) = (v \cdot u) v - (v \cdot v) u$ . A primeira expressão se estende a qualquer número de dimensões espaciais, mas o produto vetorial é definido apenas em três dimensões. Os objetos $A, B, C$ com $B$ tendo velocidade $v em$ relação a $A$ e $C$ tendo velocidade $u em$ relação a $A$ podem ser qualquer coisa. Em particular, eles podem ser três quadros ou podem ser o laboratório, uma partícula em decomposição e um dos produtos de decomposição da partícula em decomposição.

Propriedades

A adição relativística de 3 velocidades não é linear

{\ displaystyle (\ lambda \ mathbf {v}) \ oplus (\ mu \ mathbf {u}) \ neq \ lambda \ mu (\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}),}

para quaisquer números reais $λ$ e $μ$ , embora seja verdade que

{\ displaystyle (- \ mathbf {v}) \ oplus (- \ mathbf {u}) = - (\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}),}

Além disso, devido aos últimos termos, em geral não é comutativo

{\ displaystyle \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} \ neq \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v},}

nem associativo

{\ displaystyle \ mathbf {v} \ oplus (\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {w}) \ neq (\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}) \ oplus \ mathbf {w}.}

Merece especial destaque que, se $u$ e $v '$ referem-se a velocidades de quadros de pares paralelos (preparado paralelo ao sem primer e duplamente injetado paralelo ao aprontado), então, de acordo com o princípio da velocidade reciprocidade de Einstein, a moldura não imunizadas se move com velocidade $- u$ em relação ao quadro inicializado, e o quadro inicializado se move com velocidade $- v ' em$ relação ao quadro duplamente inicializado, portanto $(- v ' \oplus - u)$ é a velocidade do quadro não ativado em relação ao quadro duplamente inicializado, e pode-se esperar que $u \oplus v ' = - (- v ' \oplus - u)$ pela aplicação ingênua do princípio da reciprocidade. Isso não é válido, embora as magnitudes sejam iguais. Os quadros sem primer e duplamente primer não são paralelos, mas relacionados por meio de uma rotação. Isso está relacionado ao fenômeno da precessão de Thomas e não será tratado mais aqui.

As normas são dadas por

{\ displaystyle | \ mathbf {u} | ^ {2} \ equiv | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '| ^ {2} = {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} \ left [\ left (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} '\ right) ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u}' \ right) ^ {2} \ right] = | \ mathbf {u} '\ oplus \ mathbf {v} | ^ {2}.}

e

{\ displaystyle | \ mathbf {u} '| ^ {2} \ equiv | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} | ^ {2} = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} \ left [\ left (\ mathbf {u} - \ mathbf {v} \ direita) ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} \ right) ^ {2} \ right] = | \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} | ^ {2}.}

Para comprovar, clique aqui.

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2} | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '| ^ {2} & = \ left [\ mathbf {v} + \ mathbf {u}' + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} \ mathbf {v} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} ') \ right] ^ {2} \ \ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf { u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] + {\ frac {1} {c ^ {4}}} \ left ({\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v } +1}} \ right) ^ {2} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) ^ {2} (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf { u} ') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [( \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u}' \ cdot \ mathbf {u} ') \ direita] + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {4}}} \ esquerda ({\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ ri ght) ^ {2} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u}') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v } \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] + {\ frac {(1- \ alpha _ {v}) (1+ \ alpha _ { v})} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ right) ^ {2} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} { \ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] + {\ frac {(\ gamma _ {v} -1)} {c ^ {2} (\ gamma _ {v} +1)}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v }} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] + {\ frac {(1- \ gamma _ {v})} {c ^ {2} (\ gamma _ {v} +1 )}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u}' \ cdot \ mathbf {u} ') \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u}') ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac { \ gamma _ {v} +1} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} - { \ frac {1} {c ^ {2}}} | \ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} '| ^ {2} \ end {alinhado}}}

Fórmula reversa encontrada usando o procedimento padrão de troca de $v$ por $-v$ e $u$ por $u '$ .

É claro que a não comutatividade se manifesta como uma rotação adicional do referencial de coordenadas quando dois reforços estão envolvidos, uma vez que a norma ao quadrado é a mesma para ambas as ordens de reforços.

Os fatores gama para as velocidades combinadas são calculados como

{\ displaystyle \ gamma _ {u} = \ gamma _ {\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '} = \ left [1 - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ left ((\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} (v ^ {2} u' ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2}) \ right) \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ gamma _ {v} \ gamma _ {u}' \ left (1+ { \ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} \ right), \ quad \ quad \ gamma _ {u}' = \ gamma _ {v} \ gamma _ {u} \ left (1 - {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right)}

Clique para obter provas detalhadas

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ gamma _ {\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '} & = \ left [{\ frac {c ^ {3} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}) ^ {2}} {c ^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u } '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {(\ mathbf {v} + \ mathbf {u}' ) ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} (v ^ {2} u '^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}') ^ { 2})} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {c ^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2 }}}) ^ {2} - (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} (v ^ {2} u' ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2})} {c ^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u } '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {c ^ {2 } (1 + 2 {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} + {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}' ) ^ {2}} {c ^ {4}}}) - v ^ {2} -u '^ {2} -2 (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}') + {\ frac { 1} {c ^ {2}}} (v ^ {2} u '^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}') ^ {2})} {c ^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {1 + 2 {\ frac { \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} + {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}') ^ {2}} {c ^ {4}}} - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {u '^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {2 } {c ^ {2}}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') + {\ frac {1} {c ^ {4}}} (v ^ {2} u' ^ {2 } - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2})} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2 }}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {1 + {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2}} {c ^ {4}}} - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {u' ^ { 2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {1} {c ^ {4}}} (v ^ {2} u '^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf { u} ') ^ {2})} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {(1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}) (1- {\ frac {u '^ {2}} {c ^ {2}}})} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}} }) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {1} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ gamma _ {u} '^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ gamma _ {v} \ gamma _ {u} '(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}}) \ end {alinhado}}}

Fórmula reversa encontrada usando o procedimento padrão de troca de $v$ por $-v$ e $u$ por $u '$ .

Convenções de notação

As notações e convenções para a adição de velocidade variam de autor para autor. Símbolos diferentes podem ser usados para a operação, ou para as velocidades envolvidas, e os operandos podem ser trocados para a mesma expressão, ou os símbolos podem ser trocados para a mesma velocidade. Um símbolo completamente separado também pode ser usado para a velocidade transformada, ao invés do principal usado aqui. Como a adição de velocidade não é comutativa, não se pode trocar os operandos ou símbolos sem mudar o resultado.

Exemplos de notação alternativa incluem:

Nenhum operando específico

Landau & Lifshitz (2002) (usando unidades onde c = 1)

{\ displaystyle | \ mathbf {v_ {rel}} | ^ {2} = {\ frac {1} {(1- \ mathbf {v_ {1}} \ cdot \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2 }}} \ left [(\ mathbf {v_ {1}} - \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2} - (\ mathbf {v_ {1}} \ times \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2} \ right]}

Ordem de operandos da esquerda para a direita

Mocanu (1992)

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} }} \ left [\ mathbf {v} + \ mathbf {u} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}}} {\ gamma _ {\ mathbf {u}} +1}} \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) \ right]}

Ungar (1988)

{\ displaystyle \ mathbf {u} * \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}} } \ left [\ mathbf {v} + \ mathbf {u} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}}} {\ gamma _ { \ mathbf {u}} +1}} \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) \ right]}

Ordenação da direita para a esquerda dos operandos

Sexl e Urbantke (2001)

{\ displaystyle \ mathbf {w} \ circ \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}} {c ^ {2}}} }} \ left [{\ frac {\ mathbf {w}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}}}} + \ mathbf {v} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} { \ frac {\ gamma _ {\ mathbf {v}}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1}} (\ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ right ]}

Formulários

Algumas aplicações clássicas de fórmulas de adição de velocidade ao deslocamento Doppler, à aberração da luz e ao arrastamento da luz na água em movimento, rendendo expressões relativisticamente válidas para esses fenômenos, são detalhadas a seguir. Também é possível usar a fórmula de adição de velocidade, assumindo a conservação do momento ( recorrendo à invariância rotacional comum), a forma correta da parte de $3$ vetores do quatro vetores de momento , sem recorrer ao eletromagnetismo, ou a priori desconhecido para serem versões relativísticas válidas do formalismo de Lagrange . Isso envolve experimentalistas jogando bolas de bilhar relativísticas entre si. Isto não é detalhado aqui, mas veja como referência Lewis & Tolman (1909) versão do Wikisource (fonte primária) e Sard (1970 , Seção 3.2).

Experimento Fizeau

Hippolyte Fizeau (1819–1896), um físico francês, foi em 1851 o primeiro a medir a velocidade da luz na água corrente.

Quando a luz se propaga em um meio, sua velocidade é reduzida, no quadro de repouso do meio, para $c m = c ⁄ n m$ , onde $n m$ é o índice de refração do meio $m$ . A velocidade da luz em um meio que se move uniformemente com a velocidade $V$ na direção $x$ positiva medida no referencial do laboratório é dada diretamente pelas fórmulas de adição de velocidade. Para a direção direta (configuração padrão, índice de queda $m$ em $n$ ) obtém-se,

{\ displaystyle {\ begin {align} c_ {m} & = {\ frac {V + c_ {m} '} {1 + {\ frac {Vc_ {m}'} {c ^ {2}}}}} = {\ frac {V + {\ frac {c} {n}}} {1 + {\ frac {Vc} {nc ^ {2}}}}} = {\ frac {c} {n}} {\ frac {1 + {\ frac {nV} {c}}} {1 + {\ frac {V} {nc}}}} \\ & = {\ frac {c} {n}} (1 + {\ frac { nV} {c}}) {\ frac {1} {1 + {\ frac {V} {nc}}}} = ({\ frac {c} {n}} + V) \ left (1 - {\ frac {V} {nc}} + \ left ({\ frac {V} {nc}} \ right) ^ {2} - \ cdots \ right). \ end {alinhado}}}

Coletando as maiores contribuições explicitamente,

{\ displaystyle c_ {m} = {\ frac {c} {n}} + V (1 - {\ frac {1} {n ^ {2}}} - {\ frac {V} {nc}} + \ cdots).}

Fizeau encontrou os três primeiros termos. O resultado clássico são os primeiros dois termos.

Aberração de luz

Outra aplicação básica é considerar o desvio da luz, ou seja, a mudança de sua direção, ao se transformar para um novo referencial com eixos paralelos, denominado aberração da luz . Neste caso, $v' = v = c$ , e a inserção na fórmula para $tan θ$ produz

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} c \ sin \ theta '} {c \ cos \ theta '+ V}} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta'} {\ cos \ theta '+ {\ frac {V} {c}}}}.}

Para este caso, também se pode calcular $sen θ$ e $cos θ a$ partir das fórmulas padrão,

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sin \ theta & = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta ' } {1 + {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta '}}, \ end {alinhado}}}

Trigonometria

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {v_ {y}} {v}} & = {\ frac {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} v_ {y} '} {1 + {\ frac {V} {c ^ {2}}} v_ {x}'}} {\ frac {\ sqrt {v '^ {2} + V ^ {2} + 2Vv '\ cos \ theta' - ({\ frac {Vv '\ sin \ theta'} {c}}) ^ {2}}} {1 + {\ frac {V} {c ^ {2}}} v '\ cos \ theta'}}} \\ & = {\ frac {c {\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}} } \ sin \ theta '} {\ sqrt {c ^ {2} + V ^ {2} + 2Vc \ cos \ theta' -V ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta '}}} \\ & = {\ frac {c {\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta '} {\ sqrt {c ^ {2} + V ^ {2} + 2Vc \ cos \ theta '-V ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta')}}} = {\ frac {c {\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta '} {\ sqrt {c ^ {2} + 2Vc \ cos \ theta' + V ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta '}}} \\ & = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta'} {1 + {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta '}}, \ end {alinhado}}}

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {{\ frac {V} {c}} + \ cos \ theta '} {1 + {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta'}}, }

James Bradley (1693–1762) FRS , forneceu uma explicação da aberração da luz correta no nível clássico, em desacordo com as teorias posteriores prevalecentes no século XIX baseadas na existência do éter .

as manipulações trigonométricas sendo essencialmente idênticas no caso do $cos$ às manipulações no caso do $pecado$ . Considere a diferença,

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sin \ theta - \ sin \ theta '& = \ sin \ theta' \ left ({\ frac {\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} {1 + {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta '}} - 1 \ direita) \\ & \ approx \ sin \ theta' \ left (1 - {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta '-1 \ right) = - {\ frac {V} {c}} \ sin \ theta' \ cos \ theta ', \ end {alinhado}}}

corrija para pedir $v ⁄ c$ . Empregue, a fim de fazer pequenas aproximações de ângulos, uma fórmula trigonométrica,

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sin \ theta '- \ sin \ theta & = 2 \ sin {\ frac {1} {2}} (\ theta' - \ theta) \ cos {\ frac {1} {2}} (\ theta + \ theta ') \ approx (\ theta' - \ theta) \ cos \ theta ', \ end {alinhado}}}

onde $cos.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/2( θ + θ ′) ≈ cos θ ′, sen1/2( θ - θ ′) ≈1/2( θ - θ ′)$ foram usados.

Portanto, a quantidade

{\ displaystyle \ Delta \ theta \ equiv \ theta '- \ theta = {\ frac {V} {c}} \ sin \ theta',}

o ângulo de aberração clássico , é obtido no limite $V ⁄ c \to 0$ .

Mudança Doppler relativística

Christian Doppler (1803-1853) foi um matemático e físico austríaco que descobriu que a frequência observada de uma onda depende da velocidade relativa da fonte e do observador.

Aqui, os componentes de velocidade serão usados em oposição à velocidade para maior generalidade e para evitar, talvez, introduções aparentemente ad hoc de sinais negativos. Sinais negativos que ocorrem aqui servirão, em vez disso, para iluminar recursos quando velocidades menores que a da luz são consideradas.

Para ondas de luz no vácuo, a dilatação do tempo junto com uma simples observação geométrica por si só é suficiente para calcular o deslocamento Doppler na configuração padrão (velocidade relativa colinear do emissor e do observador, bem como da onda de luz observada).

Todas as velocidades no que segue são paralelas à direção $x$ positiva comum , então os subscritos nos componentes de velocidade são eliminados. No quadro de observadores, introduza a observação geométrica

{\ displaystyle \ lambda = -sT + VT = (- s + V) T}

como a distância espacial, ou comprimento de onda , entre dois pulsos (cristas de onda), onde $T$ é o tempo decorrido entre a emissão de dois pulsos. O tempo decorrido entre a passagem de dois pulsos no mesmo ponto no espaço é o período de tempo $τ$ , e seu inverso $ν = 1 ⁄ τ$ é a frequência observada (temporal) . As quantidades correspondentes no quadro de emissores são dotadas de primos.

Para ondas de luz

{\ displaystyle s = s '= - c,}

e a frequência observada é

{\ displaystyle \ nu = {- s \ over \ lambda} = {- s \ over (Vs) T} = {c \ over (V + c) \ gamma _ {_ {V}} T '} = \ nu '{\ frac {c {\ sqrt {1- {V ^ {2} \ over c ^ {2}}}}} {c + V}} = \ nu' {\ sqrt {\ frac {1- \ beta } {1+ \ beta}}} \ ,.}

onde $T = γ V T'$ é a fórmula de dilatação no tempo padrão .

Suponha, em vez disso, que a onda não seja composta de ondas de luz com velocidade $c$ , mas, para facilitar a visualização, balas disparadas de uma metralhadora relativística, com velocidade $s'$ no referencial do emissor. Então, em geral, a observação geométrica é precisamente a mesma . Mas agora, $s' \neq s$ e $s$ é dado pela adição de velocidade,

{\ displaystyle s = {\ frac {s '+ V} {1+ {s'V \ over c ^ {2}}}}.}

O cálculo é então essencialmente o mesmo, exceto que aqui é mais fácil realizado de cabeça para baixo com $τ = 1 ⁄ ν em$ vez de $ν$ . Um encontra

${\ displaystyle \ tau = {1 \ over \ gamma _ {_ {V}} \ nu '} \ left ({\ frac {1} {1+ {V \ over s'}}} \ right), \ quad \ nu = \ gamma _ {_ {V}} \ nu '\ left (1+ {V \ over s'} \ right)}$

Detalhes na derivação

{\ displaystyle {\ begin {align} {L \ over -s} & = {\ frac {\ left ({\ frac {-s'-V} {1+ {s'V \ over c ^ {2}} }} + V \ direita) T} {\ frac {-s'-V} {1+ {s'V \ over c ^ {2}}}}} \\ & = {\ gamma _ {_ {V} } \ over \ nu '} {\ frac {-s'-V + V (1+ {s'V \ over c ^ {2}})} {- s'-V}} \\ & = {\ gamma _ {_ {V}} \ over \ nu '} \ left ({\ frac {s' \ left (1- {V ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right)} {s '+ V }} \ right) \\ & = {\ gamma _ {_ {V}} \ over \ nu '} \ left ({\ frac {s' \ gamma ^ {- 2}} {s '+ V}} \ direita) \\ & = {1 \ over \ gamma _ {_ {V}} \ nu '} \ left ({\ frac {1} {1+ {V \ over s'}}} \ right). \\ \ end {alinhado}}}

Observe que no caso típico, o $s'$ que entra é negativo . A fórmula tem validade geral. Quando $s' = - c$ , a fórmula se reduz à fórmula calculada diretamente para as ondas de luz acima,

{\ displaystyle \ nu = \ nu '\ gamma _ {_ {V}} (1- \ beta) = \ nu' {\ frac {1- \ beta} {{\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1+ \ beta}}}} = \ nu '{\ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}} \ ,.}

Se o emissor não está disparando balas no espaço vazio, mas emitindo ondas em um meio, então a fórmula ainda se aplica , mas agora, pode ser necessário primeiro calcular $s' a$ partir da velocidade do emissor em relação ao meio.

Voltando ao caso de um emissor de luz, caso o observador e o emissor não sejam colineares, o resultado tem pouca modificação,

{\ displaystyle \ nu = \ gamma _ {_ {V}} \ nu '\ left (1 + {\ frac {V} {s'}} \ cos \ theta \ right),}

onde $θ$ é o ângulo entre o emissor de luz e o observador. Isso se reduz ao resultado anterior para o movimento colinear quando $θ = 0$ , mas para o movimento transversal correspondente a $θ = π / 2$ , a frequência é deslocada pelo fator de Lorentz . Isso não acontece no efeito Doppler óptico clássico.

Geometria hiperbólica

As funções sinh , cosh e tanh . A função tanh relaciona a rapidez

-\infty < ς <+ \infty

à velocidade relativística

-1 < β <+1

.

Associada à velocidade relativística de um objeto está uma quantidade cuja norma é chamada de rapidez . Estes estão relacionados por meio de ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}}}$

{\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1) \ supset \ mathrm {span} \ {K_ {1}, K_ {2}, K_ {3} \} \ approx \ mathbb {R} ^ {3 } \ ni {\ boldsymbol {\ zeta}} = {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} \ tanh ^ {- 1} \ beta, \ quad {\ boldsymbol {\ beta}} \ in \ mathbb {B } ^ {3},}

onde o vetor é pensado como sendo coordenadas cartesianas em um subespaço tridimensional da álgebra de Lie do grupo de Lorentz medido pelos geradores de impulso . Este espaço, chamado de espaço de rapidez , é isomórfico a $ℝ$ $3$ como um espaço vetorial e é mapeado para a bola unitária aberta , espaço de velocidade , por meio da relação acima. A lei da adição na forma colinear coincide com a lei da adição das tangentes hiperbólicas ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1)}$ ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {B} ^ {3}}$

{\ displaystyle \ tanh (\ zeta _ {v} + \ zeta _ {u '}) = {\ tanh \ zeta _ {v} + \ tanh \ zeta _ {u'} \ over 1+ \ tanh \ zeta _ {v} \ tanh \ zeta _ {u '}}}

com

{\ displaystyle {v \ over c} = \ tanh \ zeta _ {v} \, \ quad {{u '} \ over c} = \ tanh \ zeta _ {u'} \, \ quad \, {u \ sobre c} = \ tanh (\ zeta _ {v} + \ zeta _ {u '}).}

O elemento de linha no espaço de velocidade segue da expressão para velocidade relativa relativística em qualquer quadro, ${\ displaystyle \ mathbb {B} ^ {3}}$

{\ displaystyle v_ {r} = {\ sqrt {\ frac {(\ mathbf {v_ {1}} - \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2} - (\ mathbf {v_ {1}} \ times \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2}} {1- \ mathbf {v_ {1}} \ cdot \ mathbf {v_ {2}}}}},}

onde a velocidade da luz é definida para a unidade de modo que e concordar. É esta expressão, e são velocidades de dois objetos em qualquer um determinado quadro. A quantidade é a velocidade de um ou outro objeto em relação ao outro objeto, conforme visto no quadro fornecido . A expressão é invariante de Lorentz, isto é, independente de qual quadro é o quadro dado, mas a quantidade que ela calcula não é . Por exemplo, se o quadro dado for o quadro restante do objeto um, então . ${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2}}$ ${\ displaystyle v_ {r}}$ ${\ displaystyle v_ {r} = v_ {2}}$

O elemento de linha é encontrado colocando ou equivalentemente , ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = \ mathbf {v} _ {1} + d \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} + d {\ boldsymbol {\ beta}}}$

{\ displaystyle dl _ {\ boldsymbol {\ beta}} ^ {2} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ beta}} ^ {2} - ({\ boldsymbol {\ beta}} \ times d {\ boldsymbol {\ beta}}) ^ {2}} {(1- \ beta ^ {2}) ^ {2}}} = {\ frac {d \ beta ^ {2}} {(1- \ beta ^ {2 }) ^ {2}}} + {\ frac {\ beta ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2}),}

com $θ$ e $φ$ as coordenadas de ângulos esféricos usuais para tomadas na direção $z$ . Agora introduza $ζ$ através ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$

{\ displaystyle \ zeta = | {\ boldsymbol {\ zeta}} | = \ tanh ^ {- 1} \ beta,}

e o elemento de linha no espaço de rapidez torna-se ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle dl _ {\ boldsymbol {\ zeta}} ^ {2} = d \ zeta ^ {2} + \ sinh ^ {2} \ zeta (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2}).}

Colisões de partículas relativísticas

Em experimentos de espalhamento, o objetivo principal é medir a seção transversal de espalhamento invariante . Isso insere a fórmula para o espalhamento de dois tipos de partículas em um estado final assumido como tendo duas ou mais partículas, ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle dN_ {f} = R_ {f} dVdt = \ sigma FdVdt \ quad ({\ text {dado como}} \ sigma n_ {1} n_ {2} v_ {r} dVdt {\ text {na maioria dos livros }}),}

Onde

${\ displaystyle dVdt}$ é o volume do espaço-tempo. É um invariante sob as transformações de Lorentz.
${\ displaystyle dN_ {f}}$ é o número total de reações que resultam no estado final no volume do espaço-tempo . Sendo um número, é invariável quando o mesmo volume do espaço-tempo é considerado. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle dVdt}$
${\ displaystyle R_ {f} = F \ sigma}$ é o número de reações que resultam no estado final por unidade de espaço-tempo, ou taxa de reação . Isso é invariável. ${\ displaystyle f}$
${\ displaystyle F = n_ {1} n_ {2} v_ {r}}$ é chamado de fluxo de incidentes . É necessário que seja invariável, mas não está na configuração mais geral.
${\ displaystyle \ sigma}$ é a seção transversal de espalhamento. É necessário ser invariável.
${\ displaystyle n_ {1}, n_ {2}}$ são as densidades de partículas nos feixes incidentes. Estes não são invariantes, como fica claro devido à contração do comprimento .
${\ displaystyle v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1} |}$ é a velocidade relativa dos dois feixes incidentes. Isso não pode ser invariável, pois é necessário que seja assim. ${\ displaystyle F = n_ {1} n_ {2} v_ {r}}$

O objetivo é encontrar uma expressão correta para a velocidade relativa relativística e uma expressão invariante para o fluxo incidente. ${\ displaystyle v_ {rel}}$

Não relativisticamente, usa-se para velocidade relativa . Se o sistema em que as velocidades são medidas for o quadro de repouso do tipo de partícula , é necessário que Definindo a velocidade da luz , a expressão para segue imediatamente da fórmula para a norma (segunda fórmula) na configuração geral como ${\ displaystyle v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1} |}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle v_ {rel} = v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {2} |.}$ ${\ displaystyle c = 1}$ ${\ displaystyle v_ {rel}}$

{\ displaystyle v_ {rel} = {\ sqrt {\ frac {(\ mathbf {v_ {1}} - \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2} - (\ mathbf {v_ {1}} \ times \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2}} {1- \ mathbf {v_ {1}} \ cdot \ mathbf {v_ {2}}}}}.}

A fórmula reduz no limite clássico como deveria, e dá o resultado correto nos quadros restantes das partículas. A velocidade relativa é fornecida incorretamente na maioria, talvez em todos os livros sobre física de partículas e teoria quântica de campos. Isso é principalmente inofensivo, pois se um tipo de partícula é estacionário ou o movimento relativo é colinear, então o resultado correto é obtido a partir das fórmulas incorretas. A fórmula é invariável, mas não manifestamente. Pode ser reescrito em termos de quatro velocidades como ${\ displaystyle v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2} |}$

{\ displaystyle v_ {rel} = {\ frac {\ sqrt {(u_ {1} \ cdot u_ {2}) ^ {2} -1}} {u_ {1} \ cdot u_ {2}}}.}

A expressão correta para o fluxo, publicada por Christian Møller em 1945, é dada por

{\ displaystyle F = n_ {1} n_ {1} {\ sqrt {(\ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2}) ^ {2} - (\ mathbf {v} _ {1} \ times \ mathbf {v} _ {2}) ^ {2}}} \ equiv n_ {1} n_ {2} {\ bar {v}}.}

Nota-se que para velocidades colineares ,. A fim de obter uma expressão invariante de Lorentz manifestamente, escreve-se com , onde está a densidade no quadro de repouso, para os fluxos de partículas individuais e chega a ${\ displaystyle F = n_ {1} n_ {2} | \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1} | = n_ {1} n_ {2} v_ {r}}$ ${\ displaystyle J_ {i} = (n_ {i}, n_ {i} \ mathbf {v} _ {i})}$ ${\ displaystyle n_ {i} = \ gamma _ {i} n_ {i} ^ {0}}$ ${\ displaystyle n_ {i} ^ {0}}$

{\ displaystyle F = (J_ {1} \ cdot J_ {2}) v_ {rel}.}

Na literatura, tanto a quantidade quanto são chamadas de velocidade relativa. Em alguns casos (física estatística e literatura sobre matéria escura), é referida como a velocidade de Møller , caso em que significa velocidade relativa. A verdadeira velocidade relativa é em qualquer taxa . A discrepância entre e é relevante, embora na maioria dos casos as velocidades sejam colineares. No LHC, o ângulo de cruzamento é pequeno, cerca de 300 $μ$ rad, mas no antigo Anel de Armazenamento de Intersecção no CERN , era cerca de 18 ^◦ . ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle v_ {r}}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle v_ {r}}$ ${\ displaystyle v_ {rel}}$ ${\ displaystyle v_ {rel}}$ ${\ displaystyle v_ {r}}$

Veja também

Observações

Notas

Referências

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Histórico

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links externos

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