Modus ponens -Modus ponens

Na lógica proposicional , ponente modus ( / m d ə s p n ɛ N z / ; MP ), também conhecido como modus ponendo ponente ( Latina por "método de colocar por colocação") ou eliminação implicação ou afirmar o antecedente , é uma forma de argumento dedutiva e uma regra de inferência . Pode ser resumido como " P implica Q. P é verdadeiro. Portanto, Q também deve ser verdadeiro."

O modus ponens está intimamente relacionado a outra forma válida de argumento, o modus tollens . Ambos têm formas aparentemente semelhantes, mas inválidas, como afirmação do conseqüente , negação do antecedente e evidência de ausência . O dilema construtivo é a versão disjuntiva do modus ponens . O silogismo hipotético está intimamente relacionado ao modus ponens e às vezes considerado como " modus ponens duplo ".

A história do modus ponens remonta à antiguidade . O primeiro a descrever explicitamente a forma de argumento modus ponens foi Teofrasto . Ele, junto com o modus tollens , é um dos padrões padrão de inferência que pode ser aplicado para derivar cadeias de conclusões que levam ao objetivo desejado.

Explicação

A forma de um argumento modus ponens assemelha-se a um silogismo , com duas premissas e uma conclusão:

Se P , então Q .
P .
Portanto, Q .

O primeiro é uma premissa condicional ( "se-então") reivindicação, ou seja, que P implica Q . A segunda premissa é uma afirmação de que P , o antecedente da afirmação condicional, é o caso. A partir dessas duas premissas, pode-se concluir logicamente que Q , o consequente da reivindicação condicional, também deve ser o caso.

Um exemplo de argumento que se encaixa na forma modus ponens :

Se hoje for terça-feira, John irá trabalhar.
Hoje é terça-feira.
Portanto, John irá trabalhar.

Este argumento é válido , mas não tem qualquer influência sobre se alguma das afirmações do argumento é realmente verdadeira ; para que o modus ponens seja um argumento sólido , as premissas devem ser verdadeiras para quaisquer exemplos verdadeiros da conclusão. Um argumento pode ser válido, mas ainda assim incorreto se uma ou mais premissas forem falsas; se um argumento é válido e todas as premissas são verdadeiras, então o argumento é válido . Por exemplo, John pode ir trabalhar na quarta-feira. Nesse caso, o raciocínio para que John funcione (porque é quarta-feira) é incorreto. O argumento só é válido às terças-feiras (quando John vai trabalhar), mas válido em todos os dias da semana. Um argumento proposicional que usa o modus ponens é considerado dedutivo .

Em cálculos sequenciais de conclusão única , o modus ponens é a regra de corte. O teorema de eliminação de corte para um cálculo diz que toda prova envolvendo Corte pode ser transformada (geralmente, por um método construtivo) em uma prova sem Corte e, portanto, Corte é admissível .

A correspondência Curry-Howard entre provas e programas refere ponente modus para aplicação função : se f é uma função do tipo PQ e x é de tipo P , em seguida, fx é do tipo Q .

Na inteligência artificial , o modus ponens é freqüentemente chamado de encadeamento direto .

Notação formal

A regra do modus ponens pode ser escrita em notação sequente como

onde P , Q e PQ são declarações (ou proposições) em uma linguagem formal e é um símbolo metalógico que significa que Q é uma consequência sintática de P e PQ em algum sistema lógico .

Justificativa via tabela de verdade

A validade do modus ponens na lógica clássica de dois valores pode ser claramente demonstrada pelo uso de uma tabela verdade .

p q pq
T T T
T F F
F T T
F F T

Em casos de modus ponens , assumimos como premissas que pq é verdadeiro e p é verdadeiro. Apenas uma linha da tabela verdade - a primeira - satisfaz essas duas condições ( p e pq ). Nessa linha, q também é verdadeiro. Portanto, sempre que pq for verdadeiro e p for verdadeiro, q também deve ser verdadeiro.

Status

Embora o modus ponens seja uma das formas de argumento mais comumente usadas na lógica, não deve ser confundido com uma lei lógica; antes, é um dos mecanismos aceitos para a construção de provas dedutivas que incluem a "regra de definição" e a "regra de substituição". O modus ponens permite eliminar uma declaração condicional de uma prova ou argumento lógico (os antecedentes) e, assim, não transportar esses antecedentes em uma seqüência cada vez maior de símbolos; por essa razão, o modus ponens é às vezes chamado de regra do desapego ou lei do desapego . Enderton, por exemplo, observa que "o modus ponens pode produzir fórmulas mais curtas a partir de fórmulas mais longas", e Russell observa que "o processo de inferência não pode ser reduzido a símbolos. Seu único registro é a ocorrência de ⊦q [o consequente]. . uma inferência é o abandono de uma premissa verdadeira; é a dissolução de uma implicação ".

Uma justificativa para a "confiança na inferência é a crença de que se as duas afirmações anteriores [os antecedentes] não estão erradas, a afirmação final [o conseqüente] não está errada". Em outras palavras: se uma declaração ou proposição implica uma segunda, e a primeira declaração ou proposição é verdadeira, então a segunda também é verdadeira. Se P implica Q e P é verdadeiro, então Q é verdadeiro.

Correspondência com outras estruturas matemáticas

Cálculo de probabilidade

Modus ponens representa uma instância da Lei da probabilidade total que, para uma variável binária, é expressa como:

,

onde, por exemplo, denota a probabilidade de e a probabilidade condicional generaliza a implicação lógica . Suponha que isso seja equivalente a ser TRUE e que seja equivalente a ser FALSE. Então, é fácil perceber quando e . Portanto, a lei da probabilidade total representa uma generalização do modus ponens .

Lógica subjetiva

Modus ponens representa uma instância do operador de dedução binomial na lógica subjetiva expressa como:

,

onde denota a opinião subjetiva sobre como expressa pela fonte , e a opinião condicional generaliza a implicação lógica . A opinião marginal deduzida sobre é denotada por . O caso em que é uma opinião VERDADEIRA absoluta sobre é equivalente à fonte dizendo que é VERDADEIRO, e o caso em que é uma opinião FALSA absoluta sobre é equivalente à fonte dizendo que é FALSO. O operador de dedução da lógica subjetiva produz uma opinião deduzida VERDADEIRA absoluta quando a opinião condicional é VERDADEIRA absoluta e a opinião antecedente é VERDADEIRA absoluta. Conseqüentemente, a dedução lógica subjetiva representa uma generalização do modus ponens e da Lei da probabilidade total .

Casos alegados de falha

Filósofos e linguistas identificaram uma variedade de casos em que o modus ponens parece falhar. Um famoso contra-exemplo putativo foi identificado por Vann McGee , que argumentou que o modus ponens pode falhar para condicionais cujos consequentes são eles próprios condicionais.

  1. Tanto Shakespeare quanto Hobbes escreveram Hamlet .
  2. Se Shakespeare ou Hobbes escreveu Hamlet , então, se Shakespeare não o fez, foi Hobbes.
  3. Portanto, se Shakespeare não escreveu Hamlet , foi Hobbes.

Como Shakespeare escreveu Hamlet , a primeira premissa é verdadeira. A segunda premissa também é verdadeira, uma vez que partir de um conjunto de possíveis autores limitados apenas a Shakespeare e Hobbes e eliminando um deles deixa apenas o outro. No entanto, a conclusão pode parecer falsa, pois descartar Shakespeare como autor de Hamlet deixaria vários candidatos possíveis, muitos deles alternativas mais plausíveis do que Hobbes.

A forma geral dos contra-exemplos do tipo McGee para o modus ponens é simplesmente , portanto ; não é essencial que seja uma disjunção, como no exemplo dado. Que esses tipos de casos constituem falhas do modus ponens continua sendo uma opinião minoritária entre os lógicos, mas as opiniões variam sobre como os casos devem ser resolvidos.

Na lógica deôntica , alguns exemplos de obrigação condicional também levantam a possibilidade de falha do modus ponens . Estes são os casos em que a premissa condicional descreve uma obrigação baseada em uma ação imoral ou imprudente, por exemplo, "Se Doe assassina sua mãe, ele deve fazê-lo suavemente", para o qual a conclusão incondicional duvidosa seria "Doe deve assassinar suavemente seu mãe." Parece que se segue que, se Doe está de fato matando gentilmente sua mãe, então, pelo modus ponens, ele está fazendo exatamente o que deveria, incondicionalmente, estar fazendo. Aqui, novamente, a falha do modus ponens não é um diagnóstico popular, mas às vezes é argumentado.

Possíveis falácias

A falácia de afirmar o conseqüente é uma interpretação errônea comum do modus ponens .

Veja também

Referências

Origens

  • Herbert B. Enderton, 2001, A Mathematical Introduction to Logic Second Edition , Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN  978-0-12-238452-3 .
  • Audun Jøsang, 2016, Subjective Logic; Um formalismo para raciocínio sob incerteza Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1
  • Alfred North Whitehead e Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica a * 56 (segunda edição) edição de brochura de 1962, Cambridge at the University Press, London UK. Sem ISBN, sem LCCCN.
  • Alfred Tarski 1946 Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas 2ª Edição, reimpresso por Dover Publications, Mineola NY. ISBN  0-486-28462-X (pbk).

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