Probit multinomial - Multinomial probit

Parte de uma série sobre
Análise de regressão
Modelos
Regressão linear Regressão simples Regressão polinomial Modelo linear geral
Modelo linear generalizado Escolha discreta Regressão binomial Regressão binária Regressão logística Logit multinomial Logit misto Probit Probit multinomial Logit ordenado Probit ordenado Poisson
Modelo multinível Efeitos fixos Efeitos aleatórios Modelo linear de efeitos mistos Modelo não linear de efeitos mistos
Regressão não linear Não paramétrico Semiparamétrico Robusto Quantil Isotônico Componentes principais Ângulo mínimo Local Segmentado
Erros em variáveis
Estimativa
Mínimos quadrados Linear Não linear
Comum Pesada Generalizado
Parcial Total Não negativo Regressão de cume Regularizado
Desvios mínimos absolutos Reponderado iterativamente Bayesiano Multivariada bayesiana
fundo
Validação de regressão Resposta média e prevista Erros e residuais Qualidade de ajuste Resíduo estudantizado Teorema de Gauss-Markov
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v t e

Em estatística e econometria , o modelo probit multinomial é uma generalização do modelo probit usado quando há várias categorias possíveis nas quais a variável dependente pode cair. Como tal, é uma alternativa ao modelo logit multinomial como um método de classificação multiclasse . Não deve ser confundido com o modelo probit multivariado , que é usado para modelar resultados binários correlacionados para mais de uma variável independente.

Especificação geral

Supõe-se que temos uma série de observações Y _i , para i = 1 ... n , dos resultados de escolhas de múltiplas vias de uma distribuição categórica de tamanho m (há m escolhas possíveis). Junto com cada observação Y _i é um conjunto de k valores observados x _{1, i} , ..., x _{k, i} de variáveis ​​explicativas (também conhecidas como variáveis ​​independentes , variáveis ​​preditoras, características, etc.). Alguns exemplos:

• Os resultados observados podem ser "tem doença A, tem doença B, tem doença C, não tem nenhuma das doenças" para um conjunto de doenças raras com sintomas semelhantes, e as variáveis ​​explicativas podem ser características dos pacientes considerados pertinentes (sexo , raça, idade, pressão arterial , índice de massa corporal , presença ou ausência de vários sintomas, etc.).
• Os resultados observados são os votos de pessoas para um determinado partido ou candidato em uma eleição múltipla, e as variáveis ​​explicativas são as características demográficas de cada pessoa (por exemplo, sexo, raça, idade, renda, etc.).

O modelo probit multinomial é um modelo estatístico que pode ser usado para prever o resultado provável de um ensaio multi-way não observado, dadas as variáveis ​​explicativas associadas. No processo, o modelo tenta explicar o efeito relativo de diferentes variáveis ​​explicativas sobre os diferentes resultados.

Formalmente, os resultados Y _i são descritos como sendo dados categoricamente distribuídos , em que cada valor de resultado h para a observação i ocorre com uma probabilidade não observada p _{i, h} que é específica para a observação i em questão porque é determinada pelos valores de variáveis ​​explicativas associadas a essa observação. Isso é:

${\ displaystyle Y_ {i} | x_ {1, i}, \ ldots, x_ {k, i} \ \ sim \ operatorname {Categórico} (p_ {i, 1}, \ ldots, p_ {i, m}) , {\ text {for}} i = 1, \ pontos, n}$

ou equivalente

${\ displaystyle \ Pr [Y_ {i} = h | x_ {1, i}, \ ldots, x_ {k, i}] = p_ {i, h}, {\ text {for}} i = 1, \ pontos, n,}$

para cada um dos m valores possíveis de h .

Modelo de variável latente

Probit multinomial é frequentemente escrito em termos de um modelo de variável latente :

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} Y_ {i} ^ {1 \ ast} & = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \ cdot \ mathbf {X} _ {i} + \ varejpsilon _ {1 } \, \\ Y_ {i} ^ {2 \ ast} & = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} \ cdot \ mathbf {X} _ {i} + \ varepsilon _ {2} \, \ \\ ldots & \ ldots \\ Y_ {i} ^ {m \ ast} & = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {m} \ cdot \ mathbf {X} _ {i} + \ varepsilon _ {m} \, \\\ end {alinhado}}}$

Onde

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ sim {\ mathcal {N}} (0, {\ boldsymbol {\ Sigma}})}$

Então

${\ displaystyle Y_ {i} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} Y_ {i} ^ {1 \ ast}> Y_ {i} ^ {2 \ ast}, \ ldots, Y_ {i } ^ {m \ ast} \\ 2 & {\ text {if}} Y_ {i} ^ {2 \ ast}> Y_ {i} ^ {1 \ ast}, Y_ {i} ^ {3 \ ast}, \ ldots, Y_ {i} ^ {m \ ast} \\\ ldots & \ ldots \\ m & {\ text {caso contrário.}} \ end {cases}}}$

Isso é,

${\ displaystyle Y_ {i} = \ arg \ max _ {h = 1} ^ {m} Y_ {i} ^ {h \ ast}}$

Observe que este modelo permite a correlação arbitrária entre as variáveis ​​de erro , de modo que não necessariamente respeita a independência de alternativas irrelevantes .

Quando é a matriz identidade (tal que não há correlação ou heterocedasticidade ), o modelo é denominado probit independente . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}$

Estimativa

Para obter detalhes sobre como as equações são estimadas, consulte o artigo Modelo Probit .

Referências

• Greene, William H. (2012). Econometric Analysis (Sétima ed.). Boston: Pearson Education. pp. 810–811. ISBN   978-0-273-75356-8 .