grupo multiplicativo - Multiplicative group

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grupos finitos Classificação dos grupos finitos simples cíclico alterno tipo de Lie esporádico teorema de Lagrange teoremas de Sylow teorema de Salão p-grupo grupo abeliano elementar grupo Frobenius Schur multiplicador Grupo simétrico S n Klein quatro grupo V Grupo diedro D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
grupos distintos Grades Inteiros ( Z ) grupo livre grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) grupo aritmética gelosia grupo hiperbólico
Topológicos e grupos de Lie Solenóide Círculo Geral linear GL ( n ) Linear especial SL ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( N ) Especial ortogonal SO ( n ) Unitária L ( n ) Unitária especial SU ( n ) Simpléctica sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré conformal difeomorfismo laço grupo de Lie de dimensão infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
grupos algébricos grupo algébrica linear grupo redutora variedade abelian curva elíptica
v t e

Em matemática e teoria grupo , o termo grupo multiplicativo refere-se a um dos seguintes conceitos:

• o grupo sob a multiplicação dos inversíveis elementos de um campo , anel , ou outra estrutura para os quais numa das suas operações é referido como a multiplicação. No caso de um campo F , o grupo é ( F ∖ {0}, •) , onde 0 refere-se ao elemento de zero de F e a operação de binário • é o campo de multiplicação ,
• o toro algébrica GL (1).

Exemplos

• O grupo multiplicativo de números inteiros módulo n é o grupo sob a multiplicação dos elementos de inversíveis . Quando n não é primo, há outros elementos que zero que não são invertível.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$
• O grupo multiplicativo de números reais positivos é um grupo abeliano com 1 seu elemento neutro . O logaritmo é um isomorfismo de grupos deste grupo para o grupo aditivo dos números reais, .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• O grupo multiplicativo de um campo é o conjunto de todos os elementos diferentes de zero: , sob a operação de multiplicação. Se é finito de ordem q (por exemplo q = p um número primo, e ), em seguida, o grupo multiplicativo é cíclico: .${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F ^ {\ times} = F - \ {0 \}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F = \ mathbb {F} _ {p} = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle F ^ {\ vezes} \ cong C_ {q-1}}$

esquema de grupo de raízes da unidade

O esquema de grupo de n -simo raízes da unidade é, por definição, o núcleo do n mapa -power no grupo multiplicativo GL (1), considerado como um esquema de grupo . Ou seja, para qualquer inteiro n > 1, podemos considerar o morphism no grupo multiplicativo que leva n poderes -ésimo, e tomar uma apropriada produto de fibra de esquemas , com o morphism e que serve como a identidade.

O esquema grupo resultante é escrito μ _n . Ela dá origem a um esquema reduzido , quando levá-lo ao longo de um campo K , se e somente se a característica de K não divide n . Isto faz com que seja uma fonte de alguns exemplos importantes de regimes não reduzida (regimes com elementos nilpotentes em suas roldanas estrutura ); por exemplo, u _p ao longo de um campo finito com p elementos para qualquer número primo p .

Este fenômeno não é facilmente expressa na linguagem clássica da geometria algébrica. Ele acaba por ser de grande importância, por exemplo, para expressar a teoria da dualidade de variedades abelianas em característica p (teoria de Pierre Cartier ). O cohomology de Galois deste esquema de grupo é uma forma de expressar a teoria Kummer .

Notas

Referências

• Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhailovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, anéis e módulos . Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN  1-4020-2690-0

Veja também

• grupo multiplicativo de números inteiros módulo N
• grupo aditivo