Elemento de identidade -Identity element
Em matemática , um elemento de identidade , ou elemento neutro , de uma operação binária operando em um conjunto é um elemento do conjunto que deixa inalterado todos os elementos do conjunto quando a operação é aplicada. Este conceito é usado em estruturas algébricas como grupos e anéis . O termo elemento identidade é muitas vezes abreviado para identidade (como no caso de identidade aditiva e identidade multiplicativa) quando não há possibilidade de confusão, mas a identidade depende implicitamente da operação binária à qual está associada.
Definições
Seja ( S , ∗) um conjunto S equipado com uma operação binária ∗. Então um elemento e de S é chamado de identidade à esquerda se e ∗ a = a para todo a em S , e identidade à direita se a ∗ e = a para todo a em S . Se e é uma identidade à esquerda e uma identidade à direita, então ela é chamada de identidade bilateral , ou simplesmente uma identidade .
Uma identidade com respeito à adição é chamada de identidade aditiva (frequentemente denotada como 0) e uma identidade com respeito à multiplicação é chamada de identidade multiplicativa (frequentemente denotada como 1). Estes não precisam ser adição e multiplicação comuns - pois a operação subjacente pode ser bastante arbitrária. No caso de um grupo , por exemplo, o elemento de identidade às vezes é simplesmente denotado pelo símbolo . A distinção entre identidade aditiva e multiplicativa é usada com mais frequência para conjuntos que suportam ambas as operações binárias, como anéis , domínios integrais e campos . A identidade multiplicativa é muitas vezes chamada de unidade no último contexto (um anel com unidade). Isso não deve ser confundido com uma unidade na teoria dos anéis, que é qualquer elemento que tenha um inverso multiplicativo . Por sua própria definição, a própria unidade é necessariamente uma unidade.
Exemplos
| Definir | Operação | Identidade |
|---|---|---|
| Numeros reais | + ( adicional ) | 0 |
| Numeros reais | · ( multiplicação ) | 1 |
| Números complexos | + (adição) | 0 |
| Números complexos | · (multiplicação) | 1 |
| Inteiros positivos | Mínimo múltiplo comum | 1 |
| Números inteiros não negativos | Máximo divisor comum | 0 (na maioria das definições de GCD) |
| m -por- n matrizes | Adição de matriz | Matriz zero |
| n -por- n matrizes quadradas | Multiplicação da matriz | I n ( matriz identidade ) |
| m -por- n matrizes | ○ ( produto Hadamard ) | J m , n ( matriz de uns ) |
| Todas as funções de um conjunto, M , para ele mesmo | ∘ ( composição de funções ) | Função de identidade |
| Todas as distribuições em um grupo , G | ∗ ( convolução ) | δ ( delta de Dirac ) |
| Números reais estendidos | Mínimo /ínfimo | +∞ |
| Números reais estendidos | Máximo /supremo | −∞ |
| Subconjuntos de um conjunto M | ∩ ( interseção ) | M |
| Conjuntos | ∪ ( união ) | ∅ ( conjunto vazio ) |
| Strings , listas | Concatenação | String vazia, lista vazia |
| Uma álgebra booleana | ∧ ( lógico e ) | ⊤ (verdade) |
| Uma álgebra booleana | ↔ ( lógico bicondicional ) | ⊤ (verdade) |
| Uma álgebra booleana | ∨ ( lógico ou ) | ⊥ (falsidade) |
| Uma álgebra booleana | ⊕ ( exclusivo ou ) | ⊥ (falsidade) |
| Nós | Soma do nó | Sem nó |
| Superfícies compactas | # ( soma conectada ) | S 2 |
| Grupos | Produto direto | Grupo Trivial |
| Dois elementos, { e , f } | ∗ definido por e ∗ e = f ∗ e = e ef ∗ f = e ∗ f = f |
Ambos e e f são identidades à esquerda, mas não há identidade à direita nem identidade bilateral |
| Relações homogêneas em um conjunto X | Produto relativo | Relação de identidade |
Propriedades
No exemplo S = { e,f } com as igualdades dadas, S é um semigrupo . Demonstra a possibilidade de ( S , ∗) ter várias identidades de esquerda. Na verdade, todo elemento pode ser uma identidade de esquerda. De maneira semelhante, pode haver várias identidades corretas. Mas se houver uma identidade à direita e uma identidade à esquerda, então elas devem ser iguais, resultando em uma única identidade bilateral.
Para ver isso, observe que se l é uma identidade à esquerda e r é uma identidade à direita, então l = l ∗ r = r . Em particular, nunca pode haver mais de uma identidade bilateral: se houvesse duas, digamos e e f , então e ∗ f teria que ser igual a e e f .
Também é bem possível que ( S , ∗) não tenha elemento identidade, como no caso de inteiros pares na operação de multiplicação. Outro exemplo comum é o produto vetorial de vetores , onde a ausência de um elemento identidade está relacionada ao fato de que a direção de qualquer produto vetorial diferente de zero é sempre ortogonal a qualquer elemento multiplicado. Ou seja, não é possível obter um vetor diferente de zero na mesma direção do original. Ainda outro exemplo de estrutura sem elemento de identidade envolve o semigrupo aditivo de números naturais positivos .
Veja também
- Elemento absorvente
- Inverso aditivo
- Inversa generalizada
- Identidade (equação)
- Função de identidade
- Elemento inverso
- Monóide
- Pseudo-anel
- Quase grupo
- Unitário (desambiguação)
Notas e referências
Bibliografia
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), um primeiro curso em álgebra linear: com introdução opcional a grupos, anéis e campos , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2ª ed.), Leitura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, IN (1964), Tópicos em Álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
- McCoy, Neal H. (1973), Introdução à Álgebra Moderna, Edição Revisada , Boston: Allyn e Bacon , LCCN 68015225
Leitura adicional
- M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, Atos e Categorias com Aplicações a Produtos de Coroa e Gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , p. 14–15