Análise multivariada de variância - Multivariate analysis of variance

Em estatística , a análise de variância multivariada ( MANOVA ) é um procedimento para comparar médias de amostras multivariadas . Como um procedimento multivariado, ele é usado quando há duas ou mais variáveis ​​dependentes e geralmente é seguido por testes de significância envolvendo variáveis ​​dependentes individuais separadamente.

Relacionamento com ANOVA

MANOVA é uma forma generalizada de análise de variância univariada (ANOVA), embora, ao contrário da ANOVA univariada , use a covariância entre as variáveis ​​de resultado para testar a significância estatística das diferenças médias.

Onde as somas dos quadrados aparecem na análise de variância univariada, na análise de variância multivariada aparecem certas matrizes definidas positivas . As entradas diagonais são os mesmos tipos de somas de quadrados que aparecem na ANOVA univariada. As entradas fora da diagonal são somas correspondentes de produtos. Sob suposições de normalidade sobre distribuições de erro , a contraparte da soma dos quadrados devido ao erro tem uma distribuição de Wishart .

MANOVA é baseada no produto da matriz de variância do modelo e no inverso da matriz de variância do erro , ou . A hipótese que implica que o produto . Considerações de invariância implicam que a estatística MANOVA deve ser uma medida de magnitude da decomposição de valor singular deste produto de matriz, mas não há uma escolha única devido à natureza multidimensional da hipótese alternativa. ${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {model}}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {res}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle A = \ Sigma _ {\ text {model}} \ times \ Sigma _ {\ text {res}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {model}} = \ Sigma _ {\ text {residual}}}$${\ displaystyle A \ sim I}$

As estatísticas mais comuns são resumos baseados nas raízes (ou autovalores ) da matriz: ${\ displaystyle \ lambda _ {p}}$${\ displaystyle A}$

• Samuel Stanley Wilks ' distribuído como lambda (Λ) ${\ displaystyle \ Lambda _ {\ text {Wilks}} = \ prod _ {1, \ ldots, p} (1 / (1+ \ lambda _ {p})) = \ det (I + A) ^ {- 1} = \ det (\ Sigma _ {\ text {res}}) / \ det (\ Sigma _ {\ text {res}} + \ Sigma _ {\ text {modelo}})}$
• o traço KC Sreedharan Pillai - MS Bartlett , ${\ displaystyle \ Lambda _ {\ text {Pillai}} = \ sum _ {1, \ ldots, p} (\ lambda _ {p} / (1+ \ lambda _ {p})) = \ operatorname {tr} (A (I + A) ^ {- 1})}$
• o rastreamento de Lawley- Hotelling , ${\ displaystyle \ Lambda _ {\ text {LH}} = \ sum _ {1, \ ldots, p} (\ lambda _ {p}) = \ operatorname {tr} (A)}$
• Maior raiz de Roy (também chamada de maior raiz de Roy ), ${\ displaystyle \ Lambda _ {\ text {Roy}} = \ max _ {p} (\ lambda _ {p})}$

A discussão continua sobre os méritos de cada um, embora a raiz maior leve apenas a um limite de significância que geralmente não é de interesse prático. Uma complicação adicional é que, exceto para a maior raiz de Roy, a distribuição dessas estatísticas sob a hipótese nula não é direta e só pode ser aproximada, exceto em alguns casos de baixa dimensão. Um algoritmo para a distribuição da maior raiz de Roy sob a hipótese nula foi derivado em enquanto a distribuição sob a alternativa é estudada em.

A aproximação mais conhecida para lambda de Wilks foi derivada de CR Rao .

No caso de dois grupos, todas as estatísticas são equivalentes e o teste se reduz ao T-quadrado de Hotelling .

Correlação de variáveis ​​dependentes

O poder da MANOVA é afetado pelas correlações das variáveis ​​dependentes e pelos tamanhos de efeito associados a essas variáveis. Por exemplo, quando há dois grupos e duas variáveis ​​dependentes, o poder de MANOVA é mais baixo quando a correlação é igual à razão do menor para o maior tamanho de efeito padronizado.

Veja também

• Análise de função discriminante
• Projeto de medidas repetidas
• Análise de correlação canônica

Referências

links externos

• Análise Multivariada de Variância (MANOVA) por Aaron French, Marcelo Macedo, John Poulsen, Tyler Waterson e Angela Yu, San Francisco State University