n -sphere - n-sphere

Wireframe de 2 esferas como uma projeção ortogonal
Assim como uma projeção estereográfica pode projetar a superfície de uma esfera em um plano, ela também pode projetar uma esfera 3 em um espaço 3. Esta imagem mostra três direções de coordenadas projetadas para o espaço 3: paralelos (vermelho), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Devido à propriedade conforme da projeção estereográfica, as curvas se cruzam ortogonalmente (nos pontos amarelos) como em 4D. Todas as curvas são círculos: as curvas que cruzam ⟨0,0,0,1⟩ têm um raio infinito (= linha reta).

Em matemática , uma n -sphere é um espaço topológica que é homeomorfos para um padrão N - esfera , que é o conjunto de pontos na ( n + 1) -dimensional espaço euclidiano que estão situados a uma distância constante r a partir de um ponto fixo, chamado de centro . É a generalização de uma esfera comum no espaço tridimensional comum . O "raio" de uma esfera é a distância constante de seus pontos ao centro. Quando a esfera tem raio unitário, é usual chamar-lhe a unidade n -sphere ou simplesmente o n -sphere por brevidade. Em termos da norma padrão, a n- esfera é definida como

e uma n- esfera de raio r pode ser definida como

A dimensão da n -sfera é n , e não deve ser confundida com a dimensão ( n + 1) do espaço euclidiano no qual está naturalmente embutida . Uma n -sfera é a superfície ou limite de uma bola ( n + 1) -dimensional .

Em particular:

  • o par de pontos nas extremidades de um segmento de linha (unidimensional) é uma esfera 0,
  • um círculo , que é a circunferência unidimensional de um disco (bidimensional) , é uma esfera 1,
  • a superfície bidimensional de uma bola tridimensional é uma esfera de 2, muitas vezes chamada simplesmente de esfera,
  • o limite tridimensional de uma bola 4 (quadridimensional) é uma esfera 3 ,
  • o n - um limite dimensional de um ( n -dimensional) n -ball é um ( n - 1) -sphere.

Para n ≥ 2 , as n -esferas que são variedades diferenciais podem ser caracterizadas ( até um difeomorfismo ) como variedades n- dimensionais simplesmente conectadas de curvatura positiva constante . As n- esferas admitem várias outras descrições topológicas: por exemplo, elas podem ser construídas colando dois espaços euclidianos n- dimensionais, identificando a fronteira de um n- cubo com um ponto, ou (indutivamente) formando a suspensão de um ( n - 1) -sfera. A esfera 1 é a variedade 1 que é um círculo, que não está simplesmente conectada. A esfera 0 é a variedade 0 que consiste em dois pontos, que nem mesmo estão conectados.

Descrição

Para qualquer número natural n , uma n -sfera de raio r é definida como o conjunto de pontos no espaço euclidiano ( n + 1) -dimensional que estão a uma distância r de algum ponto fixo c , onde r pode ser qualquer número real positivo e onde c pode ser qualquer ponto no espaço ( n + 1) -dimensional. Em particular:

  • uma esfera 0 é um par de pontos { c - r , c + r } e é o limite de um segmento de linha (bola 1).
  • uma esfera 1 é um círculo de raio r centrado em c , e é o limite de um disco (esfera 2).
  • uma esfera 2 é uma esfera bidimensional comum no espaço euclidiano tridimensional e é o limite de uma bola comum (bola 3).
  • uma esfera tridimensional é uma esfera tridimensional no espaço euclidiano de quatro dimensões.

Euclidiana coordenadas em ( n + 1) -espaço

O conjunto de pontos no espaço ( n + 1) , ( x 1 , x 2 , ..., x n +1 ) , que define uma esfera n , é representado pela equação:

onde c = ( c 1 , c 2 , ..., c n +1 ) é um ponto central e r é o raio.

A n -sfera acima existe no espaço euclidiano ( n + 1) -dimensional e é um exemplo de uma n - variedade . A forma volumétrica ω de uma n -sfera de raio r é dada por

onde é o operador estrela de Hodge ; ver Flanders (1989 , §6.1) para uma discussão e prova desta fórmula no caso r = 1 . Como resultado,

n- bola

O espaço delimitado por uma n -sfera é chamado de ( n + 1) - bola . Uma ( n + 1) -bola é fechada se inclui a n -sfera e é aberta se não inclui a n -sfera.

Especificamente:

  • Uma 1- bola , um segmento de linha , é o interior de uma 0-esfera.
  • Uma 2- bola , um disco , é o interior de um círculo (1-esfera).
  • Uma 3- bola , uma bola comum , é o interior de uma esfera (2-esferas).
  • Uma 4- bola é o interior de uma 3-esfera , etc.

Descrição topológica

Topologicamente , uma n -sfera pode ser construída como uma compactação de um ponto do espaço euclidiano n- dimensional. Resumidamente, a n -sfera pode ser descrita como S n = ℝ n ∪ {∞} , que é o espaço euclidiano n- dimensional mais um único ponto que representa o infinito em todas as direções. Em particular, se um único ponto é removido de uma n -sfera, ele se torna homeomórfico para n . Isso forma a base para a projeção estereográfica .

Volume e área de superfície

V N ( R ) e S N ( R ) são o n volume de -dimensional do n -ball e a área de superfície do n -sphere incorporado em dimensão n + 1 , respectivamente, com um raio R .

As constantes V n e S n (para R = 1 , a esfera e a esfera unitárias) são relacionadas pelas recorrências:

As superfícies e volumes também podem ser dados na forma fechada:

onde Γ é a função gama . As derivações dessas equações são fornecidas nesta seção.

Gráficos de volumes  ( V ) e áreas de superfície  ( S ) de n bolas de raio 1. No arquivo SVG, passe o mouse sobre um ponto para destacá-lo e seu valor.
Em geral, o volume do n -ball em n espaço euclidiano -dimensional, e a área de superfície do n -sphere na ( n + 1) espaço euclidiano -dimensional, de raio R , são proporcionais ao n th potência do raio, R (com diferentes constantes de proporcionalidade que variam com n ). Escrevemos V n ( R ) = V n R n para o volume da bola n e S n ( R ) = S n R n para a área de superfície da esfera n , ambos de raio R , onde V n = V n (1) e S n = S n (1) são os valores para o caso do raio unitário.

Em teoria, pode-se comparar os valores de S n ( R ) e S m ( R ) para nm . No entanto, isso não está bem definido. Por exemplo, se n = 2 e m = 3 , a comparação é como comparar um número de metros quadrados com um número diferente de metros cúbicos. O mesmo se aplica a uma comparação de V n ( R ) e V m ( R ) para nm .

Exemplos

A bola 0 consiste em um único ponto. A medida de Hausdorff 0-dimensional é o número de pontos em um conjunto. Então,

A esfera 0 consiste em seus dois pontos finais, {−1,1} . Então,

A unidade 1-bola é o intervalo [-1,1] de comprimento 2. Portanto,

A unidade 1-esfera é o círculo unitário no plano euclidiano, e este tem circunferência (medida unidimensional)

A região delimitada pela unidade 1-esfera é a 2-bola, ou disco unitário, e esta tem área (medida bidimensional)

Analogamente, no espaço euclidiano tridimensional, a área de superfície (medida bidimensional) da unidade 2-esfera é dada por

e o volume encerrado é o volume (medida tridimensional) da unidade 3-bola, dado por

Recorrências

A área de superfície , ou propriamente o volume n- dimensional, da n -sfera no limite da ( n + 1) -bola de raio R está relacionada ao volume da bola pela equação diferencial

ou, de forma equivalente, representando a unidade n -bola como uma união de conchas concêntricas ( n - 1) -sfera ,

Então,

Também podemos representar a unidade ( n + 2) -sfera como uma união de produtos de um círculo (1-esfera) com uma n -sfera. Seja r = cos θ e r 2 + R 2 = 1 , de modo que R = sin θ e dR = cos θ . Então,

Dado que S 1 = 2π V 0 , a equação

vale para todos os n .

Isso completa a derivação das recorrências:

Formulários fechados

Combinando as recorrências, vemos que

Portanto, é simples mostrar por indução em k que,

onde !! denota o fatorial duplo , definido para números naturais ímpares 2 k + 1 por (2 k + 1) !! = 1 × 3 × 5 × ... × (2 k - 1) × (2 k + 1) e da mesma forma para números pares (2 k ) !! = 2 × 4 × 6 × ... × (2 k - 2) × (2 k ) .

Em geral, o volume, no espaço euclidiano n- dimensional, da unidade n- bola, é dado por

onde Γ é a função gama , que satisfaz Γ ( 1/2) = π , Γ (1) = 1 e Γ ( x + 1) = x Γ ( x ) e, portanto, Γ ( x + 1) = x ! , e onde, inversamente, definimos x ! = Γ ( x + 1) para cada  x .

Multiplicando V n por R n , diferenciando em relação a R e, em seguida, definindo R = 1 , obtemos a forma fechada

para o  volume ( n - 1) -dimensional da esfera S n −1 .

Outras relações

As recorrências podem ser combinadas para fornecer uma relação de recorrência de "direção reversa" para a área de superfície, conforme ilustrado no diagrama:

n refere-se à dimensão do espaço euclidiano ambiente, que também é a dimensão intrínseca do sólido cujo volume está listado aqui, mas que é 1 a mais do que a dimensão intrínseca da esfera cuja área de superfície está listada aqui. As setas vermelhas curvas mostram a relação entre as fórmulas para diferentes n . O coeficiente de fórmula na ponta de cada seta é igual ao coeficiente de fórmula em que vezes cauda da seta o factor de ponta de flecha (onde o N na cabeça de seta refere-se ao n valor que a seta aponta para). Se a direção das setas inferiores fosse invertida, suas pontas diriam para se multiplicar por/n - 2. Alternativamente dito, a área de superfície S n +1 da esfera em n + 2 dimensões é exatamente 2 π R vezes o volume V n delimitado pela esfera em n dimensões.

O deslocamento do índice n para n - 2, então, produz as relações de recorrência:

onde S 0 = 2 , V 1 = 2 , S 1 = 2 π e V 2 = π .

A relação de recorrência para V n também pode ser comprovada por meio da integração com coordenadas polares bidimensionais :

Coordenadas esféricas

Podemos definir um sistema de coordenadas em um espaço euclidiano n- dimensional que é análogo ao sistema de coordenadas esférico definido para o espaço euclidiano tridimensional, no qual as coordenadas consistem em uma coordenada radial r , e n - 1 coordenadas angulares φ 1 , φ 2 , ... φ n −1 , onde os ângulos φ 1 , φ 2 , ... φ n −2 variam em [0, π] radianos (ou em [0,180] graus) e φ n −1 varia em [ 0,2π) radianos (ou mais de [0,360) graus). Se x i são as coordenadas cartesianas, então podemos calcular x 1 , ... x n de r , φ 1 , ... φ n −1 com:

Exceto nos casos especiais descritos abaixo, a transformação inversa é única:

onde se x k ≠ 0 para algum k mas todos de x k +1 , ... x n são zero então φ k = 0 quando x k > 0 , e φ k = π (180 graus) quando x k <0 .

Existem alguns casos especiais em que a transformação inversa não é única; φ k para qualquer k será ambíguo sempre que todos os de x k , x k +1 , ... x n forem zero; neste caso, φ k pode ser escolhido como zero.

Volume esférico e elementos de área

Para expressar o elemento de volume do espaço euclidiano n- dimensional em termos de coordenadas esféricas, primeiro observe que a matriz Jacobiana da transformação é:

O determinante dessa matriz pode ser calculado por indução. Quando n = 2 , um cálculo simples mostra que o determinante é r . Para n maior , observe que J n pode ser construído a partir de J n - 1 como segue. Salvo em coluna n , linhas n - 1 e n de J n são os mesmos como linha n - 1 de J n - 1 , mas multiplicado por um factor extra de cos j n - 1 na linha n - 1 e um factor extra de sin φ n - 1 na linha n . Na coluna n , linhas n - 1 e n de J n são os mesmos que em coluna n - 1 de linha n - 1 de J n - 1 , mas multiplicado por factores adicionais de pecado φ n - 1 na linha n - 1 e COS φ n - 1 na linha n , respectivamente. O determinante de J n pode ser calculado pela expansão de Laplace na coluna final. Pela descrição recursiva de J n , a submatriz formada pela exclusão da entrada em ( n - 1, n ) e sua linha e coluna é quase igual a J n - 1 , exceto que sua última linha é multiplicada por sin φ n - 1 . Da mesma forma, a submatriz formada pela exclusão da entrada em ( n , n ) e sua linha e coluna é quase igual a J n - 1 , exceto que sua última linha é multiplicada por cos φ n - 1 . Portanto, o determinante de J n é

A indução então dá uma expressão de forma fechada para o elemento de volume em coordenadas esféricas

A fórmula para o volume da bola n pode ser derivada disso por integração.

Da mesma forma, o elemento de área de superfície da ( n - 1) -sfera de raio R , que generaliza o elemento de área da 2-esfera, é dado por

A escolha natural de uma base ortogonal sobre as coordenadas angulares é um produto de polinômios ultra-esféricos ,

para j = 1, 2, ... n - 2 , e o e isφ j para o ângulo j = n - 1 em concordância com os harmônicos esféricos .

Coordenadas poliesféricas

O sistema de coordenadas esféricas padrão surge escrevendo n como o produto ℝ × ℝ n - 1 . Esses dois fatores podem estar relacionados usando coordenadas polares. Para cada ponto x de n , as coordenadas cartesianas padrão

pode ser transformado em um sistema misto de coordenadas polares-cartesianas:

Isso diz que os pontos em n podem ser expressos tomando o raio começando na origem e passando por z ∈ ℝ n - 1 , girando-o em direção ao primeiro vetor de base por θ e viajando uma distância r ao longo do raio. A repetição dessa decomposição leva eventualmente ao sistema de coordenadas esféricas padrão.

Os sistemas de coordenadas polisféricas surgem de uma generalização dessa construção. O espaço n é dividido como o produto de dois espaços euclidianos de menor dimensão, mas nenhum dos espaços precisa ser uma linha. Especificamente, suponha que p e q sejam inteiros positivos tais que n = p + q . Então n = ℝ p × ℝ q . Usando esta decomposição, um ponto x ∈ ℝ n pode ser escrito como

Isso pode ser transformado em um sistema misto de coordenadas polares-cartesianas, escrevendo:

Aqui e estão os vetores unitários associados a y e z . Isto expressa x em termos de , , r ≥ 0 , e um ângulo θ . Pode ser mostrado que o domínio de θ é [0, 2π) se p = q = 1 , [0, π] se exatamente um de p e q é 1, e [0, π / 2] se nem p nem q são 1. A transformação inversa é

Essas divisões podem ser repetidas, desde que um dos fatores envolvidos tenha dimensão dois ou maior. Um sistema de coordenadas poliesféricas é o resultado da repetição dessas divisões até que não haja mais coordenadas cartesianas. Splittings após a primeira não necessitar de uma coordenada radial porque os domínios de e são esferas, de modo que as coordenadas de um sistema de coordenadas são polyspherical um raio não-negativa e n - 1 ângulos. Os possíveis sistemas de coordenadas poliesféricas correspondem a árvores binárias com n folhas. Cada nó não folha na árvore corresponde a uma divisão e determina uma coordenada angular. Por exemplo, a raiz da árvore representa n , e seus filhos imediatos representam a primeira divisão em p e q . Os nós folha correspondem às coordenadas cartesianas para S n - 1 . As fórmulas para converter de coordenadas poliesféricas em coordenadas cartesianas podem ser determinadas encontrando os caminhos da raiz aos nós folha. Essas fórmulas são produtos com um fator para cada ramo percorrido pelo caminho. Para um nó cuja coordenada angular correspondente é θ i , pegar o ramo esquerdo introduz um fator de sen θ i e tomar o ramo direito introduz um fator de cos θ i . A transformação inversa, de coordenadas poliesféricas em coordenadas cartesianas, é determinada pelo agrupamento de nós. Cada par de nós com um pai comum pode ser convertido de um sistema de coordenadas cartesianas polares misto para um sistema de coordenadas cartesianas usando as fórmulas acima para uma divisão.

As coordenadas poliesféricas também têm uma interpretação em termos do grupo ortogonal especial . Uma divisão n = ℝ p × ℝ q determina um subgrupo

Este é o subgrupo que deixa cada um dos dois fatores fixos. Escolher um conjunto de representantes de coset para o quociente é o mesmo que escolher ângulos representativos para esta etapa da decomposição de coordenadas poliesféricas.

Em coordenadas poliesféricas, a medida de volume em n e a medida de área em S n - 1 são produtos. Há um fator para cada ângulo, e a medida de volume em n também tem um fator para a coordenada radial. A medida da área tem a forma:

onde os fatores F i são determinados pela árvore. Da mesma forma, a medida de volume é

Suponha que temos um nó da árvore que corresponde à decomposição n 1 + n 2 = ℝ n 1 × ℝ n 2 e que tem coordenada angular θ . O fator F correspondente depende dos valores de n 1 e n 2 . Quando a medida da área é normalizada para que a área da esfera seja 1, esses fatores são os seguintes. Se n 1 = n 2 = 1 , então

Se n 1 > 1 e n 2 = 1 , e se B denota a função beta , então

Se n 1 = 1 e n 2 > 1 , então

Finalmente, se n 1 e n 2 são maiores que um, então

Projeção estereográfica

Da mesma forma que uma esfera bidimensional incorporado em três dimensões pode ser mapeado para um plano bidimensional por uma projecção stereographic , um n -sphere pode ser mapeado para um n -dimensional hiperplana pelo n versão -dimensional da projecção stereographic. Por exemplo, o ponto [ x , y , z ] em uma esfera bidimensional de raio 1 mapeia para o ponto [x/1 - z,y/1 - z] no plano xy . Em outras palavras,

Da mesma forma, a projeção estereográfica de uma n -sfera S n −1 de raio 1 será mapeada para o hiperplano ( n - 1) -dimensional n −1 perpendicular ao eixo x n como

Gerando pontos aleatórios

Uniformemente ao acaso na ( n - 1) -sfera

Um conjunto de pontos uniformemente distribuídos na superfície de uma unidade 2-esfera gerada usando o algoritmo de Marsaglia.

Para gerar pontos aleatórios uniformemente distribuídos na unidade ( n - 1) -sfera (ou seja, a superfície da unidade n- bola), Marsaglia (1972) fornece o seguinte algoritmo.

Gere um vetor n- dimensional de desvios normais (basta usar N (0, 1) , embora de fato a escolha da variância seja arbitrária), x = ( x 1 , x 2 , ... x n ) . Agora calcule o "raio" deste ponto:

O vetor 1/rx é uniformemente distribuído sobre a superfície da unidade n- bola.

Uma alternativa dada por Marsaglia é selecionar de forma aleatória e uniforme um ponto x = ( x 1 , x 2 , ... x n ) na unidade n- cubo por amostragem de cada x i independentemente da distribuição uniforme em (-1,1) , computando r como acima, e rejeitando o ponto e reamostrando se r ≥ 1 (ou seja, se o ponto não está na n- bola), e quando um ponto na bola é obtido escalando-o até a superfície esférica pelo fator1/r; então de novo1/rx é uniformemente distribuído sobre a superfície da unidade n- bola. Este método se torna muito ineficiente para dimensões superiores, pois uma fração cada vez menor do cubo unitário está contida na esfera. Em dez dimensões, menos de 2% do cubo é preenchido pela esfera, de modo que normalmente serão necessárias mais de 50 tentativas. Em setenta dimensões, menos do queo cubo é preenchido, o que significa que normalmente serão necessários trilhões quatrilhões de tentativas, muito mais do que um computador poderia realizar.

De maneira uniforme e aleatória dentro da bola n

Com um ponto selecionado uniformemente ao acaso da superfície da unidade ( n - 1) -sfera (por exemplo, usando o algoritmo de Marsaglia), é necessário apenas um raio para obter um ponto uniformemente aleatório de dentro da unidade n- bola. Se u é um número gerado uniformemente ao acaso a partir do intervalo [0, 1] e x é um ponto selecionado uniformemente ao acaso da unidade ( n - 1) -sfera, então u 1n x é uniformemente distribuído dentro da unidade n -bola.

Alternativamente, os pontos podem ser amostrados uniformemente de dentro da esfera da unidade n por uma redução da esfera da unidade ( n + 1) . Em particular, se ( x 1 , x 2 , ..., x n +2 ) é um ponto selecionado uniformemente da unidade ( n + 1) -esfera, então ( x 1 , x 2 , ..., x n ) é uniformemente distribuído dentro da unidade n -ball (isto é, simplesmente descartando duas coordenadas).

Se n for suficientemente grande, a maior parte do volume da bola n estará contida na região muito próxima à sua superfície, então um ponto selecionado a partir desse volume provavelmente também estará próximo à superfície. Este é um dos fenômenos que levam à chamada maldição da dimensionalidade que surge em algumas aplicações numéricas e outras.

Esferas específicas

0-esfera
O par de pontos R } com a topologia discreta para algum R > 0 . A única esfera que não está conectada ao caminho . Tem uma estrutura de grupo de Lie natural; isomórfico a O (1). Paralelizável.
1 esfera
Normalmente chamado de círculo . Tem um grupo fundamental não trivial. Estrutura de grupo de Abelian Lie U (1) ; o grupo do círculo . Topologicamente equivalente à linha projetiva real .
2 esferas
Normalmente chamado de esfera . Para sua estrutura complexa, consulte a esfera de Riemann . Equivalente à complexa linha projetiva
3 esferas
Paralelizável, principais L (1) -bundle sobre o 2-esfera, a estrutura de grupo de Lie Sp (1) .
4 esferas
Equivalente à linha projetiva quaterniônica , H P 1 . SO (5) / SO (4).
5 esferas
Principal U (1) -bundle sobre C P 2 . SO (6) / SO (5) = SU (3) / SU (2). É indecidível se uma dada variedade n- dimensional é homeomórfica a S n para n  ≥ 5.
6 esferas
Possui uma estrutura quase complexa proveniente do conjunto de octonões unitárias puras . SO (7) / SO (6) = G 2 / SU (3). A questão de saber se ele tem uma estrutura complexa é conhecida como o problema de Hopf, em homenagem a Heinz Hopf .
7 esferas
Topológico quase-grupo estrutura que o conjunto de unidade octoniones . Principal Sp (1) -bundle sobre S 4 . Paralelizável. SO (8) / SO (7) = SU (4) / SU (3) = Sp (2) / Sp (1) = Spin (7) / G 2 = Spin (6) / SU (3). A 7-esfera é de particular interesse, pois foi nesta dimensão que as primeiras esferas exóticas foram descobertas.
8 esferas
Equivalente à linha projetiva octoniônica O P 1 .
23 esferas
Um empacotamento de esferas altamente denso é possível no espaço de 24 dimensões, o que está relacionado às qualidades únicas da rede Leech .

Esfera octaédrica

A esfera n octaédrica é definida de forma semelhante à esfera n, mas usando a norma 1

A 1-esfera octaédrica é um quadrado (sem seu interior). A 2-esfera octaédrica é um octaedro regular ; daí o nome. A n- esfera octaédrica é a junção topológica de n  + 1 pares de pontos isolados. Intuitivamente, a junção topológica de dois pares é gerada desenhando um segmento entre cada ponto em um par e cada ponto no outro par; isso resulta em um quadrado. Para juntá-lo a um terceiro par, desenhe um segmento entre cada ponto do quadrado e cada ponto do terceiro par; isso dá um octaedro.

Veja também

Notas

Referências

links externos