Teoria dos conjuntos ingênuos - Naive set theory

A teoria ingênua dos conjuntos é qualquer uma das várias teorias de conjuntos usadas na discussão dos fundamentos da matemática . Ao contrário das teorias axiomáticas dos conjuntos , que são definidas usando a lógica formal , a teoria dos conjuntos ingênua é definida informalmente, em linguagem natural . Ele descreve os aspectos de conjuntos matemáticos familiares em matemática discreta (por exemplo, diagramas de Venn e raciocínio simbólico sobre sua álgebra booleana ) e é suficiente para o uso diário de conceitos da teoria de conjuntos na matemática contemporânea.

Os conjuntos são de grande importância na matemática; nos tratamentos formais modernos, a maioria dos objetos matemáticos ( números , relações , funções etc.) são definidos em termos de conjuntos. A teoria dos conjuntos ingênua é suficiente para muitos propósitos, ao mesmo tempo que serve como um trampolim para tratamentos mais formais.

Método

Uma teoria ingênua no sentido de "teoria ingênua dos conjuntos" é uma teoria não formalizada, ou seja, uma teoria que usa uma linguagem natural para descrever conjuntos e operações em conjuntos. As palavras e , ou , se ... então , não , para alguns , para todos são tratadas como na matemática comum. Por uma questão de conveniência, o uso da teoria dos conjuntos ingênua e seu formalismo prevalece mesmo na matemática superior - incluindo em configurações mais formais da própria teoria dos conjuntos.

O primeiro desenvolvimento da teoria dos conjuntos foi uma teoria dos conjuntos ingênua. Foi criado no final do século 19 por Georg Cantor como parte de seu estudo de conjuntos infinitos e desenvolvido por Gottlob Frege em seu Grundgesetze der Arithmetik .

A teoria dos conjuntos ingênua pode referir-se a várias noções muito distintas. Pode referir-se a

Paradoxos

A suposição de que qualquer propriedade pode ser usada para formar um conjunto, sem restrição, leva a paradoxos . Um exemplo comum é o paradoxo de Russell : não existe um conjunto consistindo em "todos os conjuntos que não se contêm". Assim, sistemas consistentes de teoria ingênua de conjuntos devem incluir algumas limitações nos princípios que podem ser usados ​​para formar conjuntos.

Teoria de Cantor

Alguns acreditam que a teoria dos conjuntos de Georg Cantor não estava realmente implicada nos paradoxos da teoria dos conjuntos (ver Frápolli 1991). Uma dificuldade em determinar isso com certeza é que Cantor não forneceu uma axiomatização de seu sistema. Em 1899, Cantor estava ciente de alguns dos paradoxos decorrentes da interpretação irrestrita de sua teoria, por exemplo, o paradoxo de Cantor e o paradoxo de Burali-Forti , e não acreditava que eles desacreditassem sua teoria. O paradoxo de Cantor pode realmente ser derivado da suposição (falsa) acima - que qualquer propriedade P ( x ) pode ser usada para formar um conjunto - usando para P ( x ) " x é um número cardinal ". Frege axiomatizou explicitamente uma teoria na qual uma versão formalizada da teoria ingênua dos conjuntos pode ser interpretada, e é esta teoria formal que Bertrand Russell realmente abordou quando apresentou seu paradoxo, não necessariamente uma teoria de Cantor - que, como mencionado, estava ciente de várias paradoxos - presumivelmente em mente.

Teorias axiomáticas

A teoria axiomática dos conjuntos foi desenvolvida em resposta a essas primeiras tentativas de entender os conjuntos, com o objetivo de determinar precisamente quais operações eram permitidas e quando.

Consistência

Uma teoria ingênua dos conjuntos não é necessariamente inconsistente, se especifica corretamente os conjuntos que podem ser considerados. Isso pode ser feito por meio de definições, que são axiomas implícitos. É possível declarar todos os axiomas explicitamente, como no caso da Teoria dos Conjuntos Ingênua de Halmos , que na verdade é uma apresentação informal da teoria dos conjuntos axiomática usual de Zermelo-Fraenkel . É "ingênuo" porque a linguagem e as notações são as da matemática informal comum e não trata da consistência ou integridade do sistema axioma.

Da mesma forma, uma teoria dos conjuntos axiomática não é necessariamente consistente: não necessariamente livre de paradoxos. Segue-se dos teoremas da incompletude de Gödel que um sistema lógico de primeira ordem suficientemente complicado (que inclui a maioria das teorias axiomáticas de conjuntos) não pode ser provado consistente de dentro da própria teoria - mesmo que seja realmente consistente. No entanto, os sistemas axiomáticos comuns são geralmente considerados consistentes; por seus axiomas, eles excluem alguns paradoxos, como o paradoxo de Russell . Com base no teorema de Gödel , simplesmente não se sabe - e nunca pode ser - se não paradoxos nessas teorias ou em qualquer teoria de conjuntos de primeira ordem.

O termo teoria ingênua dos conjuntos ainda hoje é usado em alguma literatura para se referir às teorias dos conjuntos estudadas por Frege e Cantor, ao invés das contrapartes informais da moderna teoria axiomática dos conjuntos.

Utilitário

A escolha entre uma abordagem axiomática e outras abordagens é em grande parte uma questão de conveniência. Na matemática cotidiana, a melhor escolha pode ser o uso informal da teoria axiomática dos conjuntos. As referências a determinados axiomas normalmente ocorrem apenas quando exigidas pela tradição, por exemplo, o axioma da escolha é freqüentemente mencionado quando usado. Da mesma forma, as provas formais ocorrem apenas quando garantidas por circunstâncias excepcionais. Esse uso informal da teoria axiomática dos conjuntos pode ter (dependendo da notação) precisamente a aparência de uma teoria ingênua dos conjuntos, conforme descrito abaixo. É consideravelmente mais fácil de ler e escrever (na formulação da maioria das declarações, provas e linhas de discussão) e é menos sujeito a erros do que uma abordagem estritamente formal.

Conjuntos, associação e igualdade

Na teoria ingênua dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção bem definida de objetos. Esses objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos, etc. Por exemplo, 4 é um membro do conjunto de todos os inteiros pares . Claramente, o conjunto de números pares é infinitamente grande; não há exigência de que um conjunto seja finito.

Passagem com a definição original de Georg Cantor

A definição de conjuntos remonta a Georg Cantor . Ele escreveu em seu artigo de 1915 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre :

“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” - Georg Cantor

“Um conjunto é uma reunião em um conjunto de objetos definidos e distintos de nossa percepção ou de nosso pensamento - que são chamados de elementos do conjunto.” - Georg Cantor

Primeira utilização do símbolo ϵ na obra Arithmetices principia nova methodo exposita de Giuseppe Peano .

Nota sobre consistência

Ele não siga a partir desta definição como conjuntos podem ser formadas, e que as operações em conjuntos novamente irá produzir um conjunto. O termo "bem definido" em "coleção bem definida de objetos" não pode, por si só, garantir a consistência e a inequívoca do que exatamente constitui e do que não constitui um conjunto. Tentar alcançar isso seria o domínio da teoria dos conjuntos axiomática ou da teoria de classes axiomática .

O problema, neste contexto, com teorias de conjuntos formuladas informalmente, não derivadas de (e implicando) qualquer teoria axiomática particular, é que pode haver várias versões formalizadas amplamente diferentes, que têm conjuntos diferentes e regras diferentes de como os novos conjuntos podem ser formados, que todos estão em conformidade com a definição informal original. Por exemplo, a definição literal de Cantor permite uma liberdade considerável no que constitui um conjunto. Por outro lado, é improvável que Cantor estivesse particularmente interessado em conjuntos contendo cães e gatos, mas apenas em conjuntos contendo objetos puramente matemáticos. Um exemplo dessa classe de conjuntos poderia ser o universo de von Neumann . Mas mesmo ao fixar a classe de conjuntos em consideração, nem sempre é claro quais regras para a formação de conjuntos são permitidas sem introduzir paradoxos.

Com o propósito de corrigir a discussão abaixo, o termo "bem definido" deve ser interpretado como uma intenção , com regras implícitas ou explícitas (axiomas ou definições), para descartar inconsistências. O objetivo é manter as questões frequentemente profundas e difíceis de consistência longe do contexto, geralmente mais simples, em mãos. Uma exclusão explícita de todas as inconsistências concebíveis (paradoxos) não pode ser alcançada para uma teoria dos conjuntos axiomática de qualquer maneira, devido ao segundo teorema da incompletude de Gödel, portanto, isso não impede de forma alguma a utilidade da teoria dos conjuntos ingênua em comparação com a teoria dos conjuntos axiomática no simples contextos considerados abaixo. Simplesmente simplifica a discussão. A consistência passa a ser tida como certa, a menos que seja explicitamente mencionada.

Filiação

Se X é um membro de um conjunto A , então diz-se também que x pertence a um , ou que x é em um . Isto é indicado por x  ∈  A . O símbolo ∈ é uma derivação da letra grega minúscula epsilon , "ε", introduzida por Giuseppe Peano em 1889 e é a primeira letra da palavra ἐστί (significa "é"). O símbolo ∉ é freqüentemente usado para escrever x  ∉  A , significando "x não está em A".

Igualdade

Dois conjuntos A e B são definidos para ser igual quando têm precisamente os mesmos elementos, isto é, se todos os elementos de A é um elemento de B e cada elemento de B é um elemento de A . (Veja o axioma da extensionalidade .) Assim, um conjunto é completamente determinado por seus elementos; a descrição é irrelevante. Por exemplo, o conjunto com os elementos 2, 3 e 5 é igual ao conjunto de todos os números primos menores que 6. Se os conjuntos A e B são iguais, isso é denotado simbolicamente como A  =  B (como de costume).

Conjunto vazio

O conjunto vazio , frequentemente denotado por Ø e , às vezes , é um conjunto sem nenhum membro. Como um conjunto é determinado completamente por seus elementos, pode haver apenas um conjunto vazio. (Veja o axioma do conjunto vazio .) Embora o conjunto vazio não tenha membros, ele pode ser membro de outros conjuntos. Assim, Ø ≠ {Ø}, porque o primeiro não tem membros e o último tem um membro. Em matemática, os únicos conjuntos com os quais precisamos nos preocupar podem ser construídos apenas com o conjunto vazio.

Especificando conjuntos

A maneira mais simples de descrever um conjunto é listar seus elementos entre chaves (conhecido como definição extensiva de um conjunto ). Assim, {1, 2} denota o conjunto cujos únicos elementos são 1 e 2 . (Veja o axioma de emparelhamento .) Observe os seguintes pontos:

  • A ordem dos elementos é imaterial; por exemplo, {1, 2} = {2, 1} .
  • A repetição ( multiplicidade ) de elementos é irrelevante; por exemplo, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2} .

(Essas são consequências da definição de igualdade na seção anterior.)

Esta notação pode ser abusada informalmente dizendo algo como {cães} para indicar o conjunto de todos os cães, mas este exemplo normalmente seria lido por matemáticos como "o conjunto contendo os cães de elemento único ".

Um exemplo extremo (mas correto) dessa notação é {} , que denota o conjunto vazio.

A notação { x  : P ( x )} , ou às vezes { x | P ( x )} , é usado para denotar o conjunto contendo todos os objetos para os quais a condição P é válida (conhecida como definição de um conjunto intensionalmente ). Por exemplo, { x  : xR } denota o conjunto de números reais , { x  : x tem cabelo loiro} denota o conjunto de tudo com cabelo loiro.

Essa notação é chamada de notação de construtor de conjunto (ou " compreensão de conjunto ", particularmente no contexto de programação funcional ). Algumas variantes da notação do construtor de conjunto são:

  • { xA  : P ( x )} denota o conjunto de todos os x que já são membros de A tal que a condição P é válida para x . Por exemplo, se Z é o conjunto de inteiros , então { xZ  : x é par} é o conjunto de todos os inteiros pares . (Veja o axioma da especificação .)
  • { F ( x ): xUm } indica o conjunto de todos os objectos obtidos por colocar os membros do conjunto A na fórmula F . Por exemplo, {2 x  : xZ } é novamente o conjunto de todos os inteiros pares. (Veja o axioma de substituição .)
  • { F ( x ): P ( x )} é a forma mais geral de notação de construtor de conjunto. Por exemplo, { x' s proprietário: x é um cão} é o conjunto de todos os proprietários do cão.

Subconjuntos

Dado dois conjuntos A e B , A é um subconjunto de B , se todos os elementos da Uma é também um elemento de B . Em particular, cada conjunto B é um subconjunto de si mesmo; um subconjunto de B que não é igual a B é chamado de subconjunto adequado .

Se A é um subconjunto de B , então também se pode dizer que B é um super conjunto de uma , que uma está contida em B , ou que B contém um . Em símbolos, A  ⊆  B meios que A é um subconjunto de B , e B  ⊇  Um meio que B é um subconjunto de um . Alguns autores usam os símbolos ⊂ e ⊃ para subconjuntos, e outros usam esses símbolos apenas para subconjuntos apropriados . Para maior clareza, pode-se usar explicitamente os símbolos ⊊ e ⊋ para indicar a não igualdade.

Como ilustração, seja R o conjunto de números reais, seja Z o conjunto de inteiros, seja O o conjunto de inteiros ímpares e seja P o conjunto dos atuais ou ex -presidentes dos Estados Unidos . Então, O é um subconjunto de Z , Z é um subconjunto de R e (portanto) O é um subconjunto de R , onde em todos os casos o subconjunto pode até ser lido como um subconjunto adequado . Nem todos os conjuntos são comparáveis ​​dessa forma. Por exemplo, ele não é o caso quer que R é um subconjunto de P nem que P é um subconjunto de R .

Segue-se imediatamente a partir da definição de igualdade de conjuntos acima que, tendo em conta dois conjuntos A e B , A  =  B se e só se um  ⊆  B e B  ⊆  Uma . Na verdade, isso é freqüentemente dado como a definição de igualdade. Normalmente, ao tentar provar que dois conjuntos são iguais, procura-se mostrar essas duas inclusões. O conjunto vazio é um subconjunto de cada conjunto (a afirmação de que todos os elementos do conjunto vazio também são membros de qualquer conjunto A é vacuamente verdadeira ).

O conjunto de todos os subconjuntos de um determinado conjunto A é chamado de conjunto de potência de A e é denotado por ou ; o " P " às vezes está em uma fonte de script . Se o conjunto A tiver n elementos, então terá elementos.

Conjuntos universais e complementos absolutos

Em certos contextos, pode-se considerar todos os conjuntos sob consideração como sendo subconjuntos de algum determinado conjunto universal . Por exemplo, ao investigar as propriedades dos números reais R (e subconjuntos de R ), R pode ser considerado o conjunto universal. Um verdadeiro conjunto universal não está incluído na teoria dos conjuntos padrão (veja Paradoxos abaixo), mas está incluído em algumas teorias dos conjuntos não padronizados.

Dado um conjunto universal U e um subconjunto A de U , o complemento de A (em U ) é definido como

A C  : = { x  ∈  U  : x  ∉  A }.

Em outras palavras, um C ( " A-complemento "; às vezes simplesmente A' , ' A-prime ') é o conjunto de todos os membros da U que não são membros de A . Assim, com R , Z e O definidos como na seção sobre subconjuntos, se Z é o conjunto universal, então O C é o conjunto de inteiros pares, enquanto se R é o conjunto universal, então O C é o conjunto de todos os números reais que são inteiros pares ou não são inteiros.

Sindicatos, cruzamentos e complementos relativos

Dados dois conjuntos A e B , sua união é o conjunto que consiste em todos os objetos que são elementos de A ou de B ou de ambos (ver axioma da união ). Ele é designado por A  ∪  B .

A intersecção de um e B é o conjunto de todos os objectos que estão tanto em A e em B . Ele é designado por A  ∩  B .

Finalmente, o complemento em relação de B em relação a A , também conhecido como o conjunto diferença teórica de A e B , é o conjunto de todos os objectos que pertencem a um , mas não a B . É escrito como A  \  B ou A  -  B .

Simbolicamente, estes são respectivamente

A  ∪ B: = { x  : ( x  ∈  Aou ( x  ∈  B )};
A  ∩  B  : = { x  : ( x  ∈  Ae ( x  ∈  B )} = { x  ∈  A  : x  ∈  B } = { x  ∈  B  : x  ∈  A };
A  \  B  : = { x  : ( x  ∈  A ) e  não ( x  ∈  B )} = { x  ∈  A  : não ( x  ∈  B )}.

O conjunto B não precisa ser um subconjunto de A para que A  \  B faça sentido; esta é a diferença entre o complemento relativo e o complemento absoluto ( A C = U  \  A ) da seção anterior.

Para ilustrar essas idéias, seja A o conjunto de pessoas canhotas e B o conjunto de pessoas com cabelos loiros. Então A  ∩  B é o conjunto de todas as pessoas loiras canhotas, enquanto A  ∪  B é o conjunto de todas as pessoas que são canhotas ou loiras, ou ambas. A  \  B , por outro lado, é o conjunto de todas as pessoas que são canhotas, mas não são loiras, enquanto B  \  A é o conjunto de todas as pessoas que têm cabelos loiros, mas não são canhotas.

Agora seja E o conjunto de todos os seres humanos, e seja F o conjunto de todas as coisas vivas com mais de 1000 anos de idade. O que é E  ∩  F neste caso? Nenhum ser humano vivo tem mais de 1000 anos , então E  ∩  F deve ser o conjunto vazio {}.

Para qualquer conjunto A , o conjunto de potência é uma álgebra booleana sob as operações de união e interseção.

Pares pedidos e produtos cartesianos

Intuitivamente, um par ordenado é simplesmente uma coleção de dois objetos, de modo que um pode ser distinguido como o primeiro elemento e o outro como o segundo elemento , e tendo a propriedade fundamental de que, dois pares ordenados são iguais se e somente se seus primeiros elementos forem iguais e seus segundos elementos são iguais.

Formalmente, um par ordenado com primeira coordenada a e segunda coordenada b , geralmente denotado por ( a , b ), pode ser definido como o conjunto {{ a }, { a , b }}.

Segue-se que, dois pares ordenados ( a , b ) e ( c , d ) são iguais se e somente se a  =  c e b  =  d .

Alternativamente, um par ordenado pode ser formalmente pensado como um conjunto {a, b} com uma ordem total .

(A notação ( a , b ) também é usada para denotar um intervalo aberto na reta do número real , mas o contexto deve deixar claro qual o significado pretendido. Caso contrário, a notação] a , b [pode ser usada para denotar a abertura intervalo enquanto ( a , b ) é usado para o par ordenado).

Se A e B são conjuntos, o produto cartesiano (ou simplesmente produto ) é definido como:

A  × B  = {( a , b ): a está em A e b está em B }.

Ou seja, A  ×  B é o conjunto de todos os pares ordenados, cuja primeira coordenada é um elemento de A e cujas coordenadas segundo é um elemento de B .

Esta definição pode ser estendida a um conjunto A  ×  B  ×  C de triplas ordenadas e, mais geralmente, a conjuntos de n-tuplas ordenadas para qualquer número inteiro positivo n . É até possível definir produtos cartesianos infinitos , mas isso requer uma definição mais recôndita do produto.

Os produtos cartesianos foram desenvolvidos pela primeira vez por René Descartes no contexto da geometria analítica . Se R denota o conjunto de todos os números reais , então R 2  : =  R  ×  R representa o plano euclidiano e R 3  : =  R  ×  R  ×  R representa o espaço euclidiano tridimensional .

Alguns conjuntos importantes

Existem alguns conjuntos onipresentes para os quais a notação é quase universal. Alguns deles estão listados abaixo. Na lista, a , b e c referem-se a números naturais e r e s são números reais .

  1. Os números naturais são usados ​​para contagem. Um quadro negro em negrito com N maiúsculo ( ) geralmente representa esse conjunto.
  2. Os inteiros aparecem como soluções para x em equações como x + a = b . Um quadro negro em negrito Z maiúsculo ( ) geralmente representa esse conjunto (do alemão Zahlen , que significa números ).
  3. Os números racionais aparecem como soluções para equações como a + bx = c . Um quadro negro em negrito Q maiúsculo ( ) freqüentemente representa este conjunto (para quociente , porque R é usado para o conjunto de números reais).
  4. Os números algébricos aparecem como soluções para equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e podem envolver radicais (incluindo ) e alguns outros números irracionais . Um Q com um overline ( ) geralmente representa esse conjunto. O overline denota a operação de fechamento algébrico .
  5. Os números reais representam a "linha real" e incluem todos os números que podem ser aproximados por racionais. Esses números podem ser racionais ou algébricos, mas também podem ser números transcendentais , que não podem aparecer como soluções para equações polinomiais com coeficientes racionais. Um quadro negro em negrito R maiúsculo ( ) geralmente representa este conjunto.
  6. Os números complexos são somas de um real e um número imaginário: . Aqui, ou (ou ambos) podem ser zero; assim, o conjunto de números reais e o conjunto de números estritamente imaginários são subconjuntos do conjunto de números complexos, que formam um fechamento algébrico para o conjunto de números reais, o que significa que todo polinômio com coeficientes em tem pelo menos uma raiz neste conjunto . Um quadro negro em negrito C maiúsculo ( ) geralmente representa esse conjunto. Observe que, uma vez que um número pode ser identificado com um ponto no plano, é basicamente "o mesmo" que o produto cartesiano ("o mesmo" significa que qualquer ponto em um determina um ponto único no outro e para o resultado dos cálculos, não importa qual é usado para o cálculo, desde que a regra de multiplicação seja apropriada ).

Paradoxos na teoria dos conjuntos iniciais

O princípio de formação irrestrita de conjuntos referido como o esquema axiomático de compreensão irrestrita ,

Se P é uma propriedade, então existe um conjunto Y = { x  : P ( x )} ( falso ),

é a fonte de vários paradoxos que aparecem no início:

  • Y = { x  : x é um ordinal} levou, no ano de 1897, ao paradoxo de Burali-Forti , a primeira antinomia publicada.
  • Y = { x  : x é um paradoxo de Cantor produzido por cardinal em 1897.
  • Y = { x  : {} = {}} rendeu a segunda antinomia de Cantor no ano de 1899. Aqui, a propriedade P é verdadeira para todo x , seja o que for x , então Y seria um conjunto universal , contendo tudo.
  • Y = { x  : xx } , ou seja, o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm como elementos deu o paradoxo de Russell em 1902.

Se o esquema axioma de compreensão irrestrita for enfraquecido para o esquema axioma de especificação ou esquema axioma de separação ,

Se P é uma propriedade, então para qualquer conjunto X existe um conjunto Y = { xX  : P ( x )} ,

então, todos os paradoxos acima desaparecem. Existe um corolário. Com o axioma do esquema da separação como axioma da teoria, segue-se, como teorema da teoria:

O conjunto de todos os conjuntos não existe .

Ou, de forma mais espetacular (frase de Halmos): Não existe universo . Prova : Suponha que ele existe e chamá-lo de U . Agora aplique o esquema axiomático de separação com X = U e para P ( x ) use xx . Isso leva ao paradoxo de Russell novamente. Portanto, U não pode existir nesta teoria.

Relacionado com as construções acima está a formação do conjunto

  • Y = { x  : ( xx ) → {} ≠ {}} , onde a afirmação após a implicação certamente é falsa. Segue-se, da definição de Y , usando as regras de inferência usuais (e algumas reflexões posteriores ao ler a prova no artigo vinculado abaixo) que YY → {} ≠ {} e YY são válidos, portanto {} ≠ { } . Este é o paradoxo de Curry .

Não é (talvez surpreendentemente) a possibilidade de xx que é problemática. É novamente o esquema axiomático da compreensão irrestrita permitindo ( xx ) → {} ≠ {} para P ( x ) . Com o esquema axioma de especificação em vez de compreensão irrestrita, a conclusão YY não se sustenta e, portanto, {} ≠ {} não é uma consequência lógica.

No entanto, a possibilidade de xx é freqüentemente removida explicitamente ou, por exemplo, em ZFC, implicitamente, exigindo que o axioma de regularidade seja mantido. Uma conseqüência disso é

Não há um conjunto X para o qual XX ,

ou, em outras palavras, nenhum conjunto é um elemento de si mesmo.

O esquema de axioma de separação é simplesmente muito fraco (enquanto a compreensão irrestrita é um axioma muito forte - muito forte para a teoria dos conjuntos) para desenvolver a teoria dos conjuntos com suas operações e construções usuais delineadas acima. O axioma da regularidade também é de natureza restritiva. Portanto, somos levados à formulação de outros axiomas para garantir a existência de conjuntos suficientes para formar uma teoria dos conjuntos. Alguns deles foram descritos informalmente acima e muitos outros são possíveis. Nem todos os axiomas concebíveis podem ser combinados livremente em teorias consistentes. Por exemplo, o axioma de escolha de ZFC é incompatível com o concebível todo conjunto de reais é mensurável de Lebesgue . O primeiro implica que o último é falso.

Veja também

Notas

Referências

links externos