Lei do resfriamento de Newton - Newton's law of cooling

A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de perda de calor de um corpo é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. A lei é freqüentemente qualificada para incluir a condição de que a diferença de temperatura é pequena e a natureza do mecanismo de transferência de calor permanece a mesma. Como tal, é equivalente a afirmar que o coeficiente de transferência de calor , que medeia entre as perdas de calor e as diferenças de temperatura, é uma constante. Esta condição é geralmente encontrada na condução de calor (onde é garantida pela lei de Fourier ), já que a condutividade térmica da maioria dos materiais é apenas fracamente dependente da temperatura. Notransferência de calor por convecção , a Lei de Newton é seguida para resfriamento por ar forçado ou fluido bombeado, onde as propriedades do fluido não variam fortemente com a temperatura, mas é apenas aproximadamente verdadeiro para convecção impulsionada por flutuabilidade, onde a velocidade do fluxo aumenta com a temperatura diferença. Finalmente, no caso da transferência de calor por radiação térmica , a lei de resfriamento de Newton é válida apenas para diferenças de temperatura muito pequenas.

Quando declarada em termos de diferenças de temperatura, a lei de Newton (com várias outras suposições simplificadoras, como um número de Biot baixo e uma capacidade de calor independente da temperatura) resulta em uma equação diferencial simples que expressa a diferença de temperatura em função do tempo. A solução para essa equação descreve uma diminuição exponencial da diferença de temperatura ao longo do tempo. Essa queda característica da diferença de temperatura também está associada à lei de resfriamento de Newton.

Contexto histórico

Isaac Newton publicou seu trabalho sobre resfriamento anonimamente em 1701 como "Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa." em Philosophical Transactions , volume 22, edição 270.

Newton não declarou originalmente sua lei da forma acima em 1701. Em vez disso, usando os termos de hoje, Newton observou, após alguma manipulação matemática, que a taxa de mudança de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperaturas entre o corpo e seus arredores. Esta versão final mais simples da lei, dada pelo próprio Newton, deveu-se em parte à confusão na época de Newton entre os conceitos de calor e temperatura, que só seriam totalmente desemaranhados muito mais tarde.

Em 2020, Shigenao e Shuichi repetiram os experimentos de Newton com aparelhos modernos e aplicaram técnicas modernas de redução de dados. Em particular, esses investigadores levaram em consideração a radiação térmica em altas temperaturas (como para os metais derretidos usados ​​por Newton) e explicaram os efeitos de flutuabilidade no fluxo de ar. Em comparação com os dados originais de Newton, eles concluíram que suas medições (de 1692 a 1693) foram "bastante precisas".

Relação com o mecanismo de resfriamento

Às vezes, diz-se que o resfriamento por convecção é regido pela "lei do resfriamento de Newton". Quando o coeficiente de transferência de calor é independente, ou relativamente independente, da diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente, a lei de Newton é seguida. A lei é válida para resfriamento por ar forçado e líquido bombeado, onde a velocidade do fluido não aumenta com o aumento da diferença de temperatura. A lei de Newton é mais estritamente obedecida no resfriamento do tipo puramente por condução. No entanto, o coeficiente de transferência de calor é uma função da diferença de temperatura na transferência de calor por convecção natural (impulsionada pela flutuabilidade). Nesse caso, a lei de Newton apenas aproxima o resultado quando a diferença de temperatura é relativamente pequena. O próprio Newton percebeu essa limitação.

Uma correção à lei de Newton relativa à convecção para maiores diferenciais de temperatura, incluindo um expoente, foi feita em 1817 por Dulong e Petit . (Esses homens são mais conhecidos por sua formulação da lei Dulong-Petit sobre a capacidade térmica específica molar de um cristal.)

Outra situação que não obedece à lei de Newton é a transferência de calor por radiação . O resfriamento radiativo é melhor descrito pela lei de Stefan-Boltzmann, na qual a taxa de transferência de calor varia como a diferença na 4ª potência das temperaturas absolutas do objeto e de seu ambiente.

Formulação matemática da lei de Newton

O enunciado da lei de Newton usado na literatura sobre transferência de calor coloca na matemática a ideia de que a taxa de perda de calor de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e seu entorno . Para um coeficiente de transferência de calor independente da temperatura, a declaração é:

Onde
  • é a taxa de transferência de calor para fora do corpo (unidade SI: watt ),
  • é o coeficiente de transferência de calor (assumido independente de T e calculado sobre a superfície) (unidade SI: W / m 2 ⋅K),
  • é a área de superfície de transferência de calor (unidade SI: m 2 ),
  • é a temperatura da superfície do objeto (unidade SI: K),
  • é a temperatura do ambiente; ou seja, a temperatura adequadamente longe da superfície (unidade SI: K),
  • é a diferença de temperatura dependente do tempo entre o ambiente e o objeto (unidade SI: K).

O coeficiente de transferência de calor h depende das propriedades físicas do fluido e da situação física em que ocorre a convecção. Portanto, um único coeficiente de transferência de calor utilizável (que não varie significativamente nas faixas de diferença de temperatura cobertas durante o resfriamento e aquecimento) deve ser derivado ou encontrado experimentalmente para cada sistema a ser analisado.

Fórmulas e correlações estão disponíveis em muitas referências para calcular coeficientes de transferência de calor para fluidos e configurações típicas. Para fluxos laminar, o coeficiente de transferência de calor é geralmente menor do que em fluxos turbulentos porque fluxos turbulentos têm forte mistura dentro da camada limite na superfície de transferência de calor. Observe as alterações do coeficiente de transferência de calor em um sistema quando ocorre uma transição de fluxo laminar para turbulento.

O número Biot

O número de Biot, uma quantidade adimensional, é definido para um corpo como

Onde
  • h = coeficiente de filme ou coeficiente de transferência de calor ou coeficiente de transferência de calor convectivo,
  • L C = comprimento característico , que é comumente definido como o volume do corpo dividido pela área de superfície do corpo, de modo que ,
  • k b = condutividade térmica do corpo.

O significado físico do número de Biot pode ser entendido imaginando o fluxo de calor de uma esfera de metal quente subitamente imersa em uma poça para o fluido circundante. O fluxo de calor experimenta duas resistências: a primeira fora da superfície da esfera e a segunda dentro do metal sólido (que é influenciado tanto pelo tamanho quanto pela composição da esfera). A proporção dessas resistências é o número de Biot adimensional.

Se a resistência térmica na interface fluido / esfera exceder a resistência térmica oferecida pelo interior da esfera de metal, o número de Biot será menor que um. Para sistemas em que é muito menor do que um, pode-se presumir que o interior da esfera sempre tem a mesma temperatura, embora essa temperatura possa estar mudando, à medida que o calor passa da superfície para a esfera. A equação para descrever essa mudança na temperatura (relativamente uniforme) dentro do objeto é a simples exponencial descrita na lei de resfriamento de Newton expressa em termos de diferença de temperatura (veja abaixo).

Em contraste, a esfera de metal pode ser grande, fazendo com que o comprimento característico aumente a ponto de o número de Biot ser maior que um. Neste caso, gradientes de temperatura dentro da esfera tornam-se importantes, mesmo que o material da esfera seja um bom condutor. De forma equivalente, se a esfera for feita de um material termicamente isolante (pouco condutivo), como madeira ou isopor, a resistência interna ao fluxo de calor excederá aquela no limite fluido / esfera, mesmo com uma esfera muito menor. Nesse caso, novamente, o número de Biot será maior que um.

Valores do número de Biot menores que 0,1 implicam que a condução de calor dentro do corpo é muito mais rápida do que a convecção de calor para longe de sua superfície e os gradientes de temperatura são insignificantes dentro dele. Isso pode indicar a aplicabilidade (ou inaplicabilidade) de certos métodos de resolução de problemas transitórios de transferência de calor. Por exemplo, um número de Biot menor que 0,1 normalmente indica que menos de 5% de erro estará presente ao assumir um modelo de capacitância concentrada de transferência de calor transiente (também chamado de análise de sistema concentrado). Normalmente, esse tipo de análise leva a um comportamento de aquecimento ou resfriamento exponencial simples (resfriamento ou aquecimento "newtoniano"), uma vez que a energia interna do corpo é diretamente proporcional à sua temperatura, que por sua vez determina a taxa de transferência de calor para dentro ou para fora dele . Isso leva a uma equação diferencial simples de primeira ordem que descreve a transferência de calor nesses sistemas.

Ter um número de Biot menor que 0,1 rotula uma substância como "termicamente fina" e a temperatura pode ser considerada constante em todo o volume do material. O oposto também é verdadeiro: um número Biot maior que 0,1 (uma substância "termicamente espessa") indica que não se pode fazer essa suposição, e equações de transferência de calor mais complicadas para "condução de calor transiente" serão necessárias para descrever a variação no tempo e campo de temperatura não espacialmente uniforme dentro do corpo material. Métodos analíticos para lidar com esses problemas, que podem existir para formas geométricas simples e condutividade térmica de material uniforme , são descritos no artigo sobre a equação de calor .

Aplicação da lei de Newton de resfriamento transitório

Soluções simples para resfriamento transitório de um objeto podem ser obtidas quando a resistência térmica interna dentro do objeto é pequena em comparação com a resistência à transferência de calor para longe da superfície do objeto (por condução externa ou convecção), que é a condição para a qual o Biot o número é inferior a cerca de 0,1. Essa condição permite a presunção de uma única temperatura aproximadamente uniforme no interior do corpo, que varia com o tempo, mas não com a posição. (Caso contrário, o corpo teria muitas temperaturas diferentes dentro dele ao mesmo tempo.) Essa temperatura única geralmente mudará exponencialmente com o passar do tempo (veja abaixo).

A condição de baixo número de Biot leva ao chamado modelo de capacitância concentrada . Neste modelo, a energia interna (a quantidade de energia térmica no corpo) é calculada assumindo uma capacidade de calor constante . Nesse caso, a energia interna do corpo é uma função linear da temperatura interna única do corpo.

A solução de capacitância concentrada que se segue assume um coeficiente de transferência de calor constante, como seria o caso na convecção forçada. Para convecção livre, o modelo de capacitância concentrada pode ser resolvido com um coeficiente de transferência de calor que varia com a diferença de temperatura.

Resposta transitória de primeira ordem de objetos de capacitância concentrada

Um corpo tratado como um objeto de capacitância concentrado, com uma energia interna total de (em joules), é caracterizado por uma única temperatura interna uniforme ,. A capacitância de calor, , do corpo é (em J / K), para o caso de um material incompressível. A energia interna pode ser escrita em termos da temperatura do corpo, a capacitância de calor (tomado para ser independente da temperatura), e uma temperatura de referência em que a energia interna é zero: .

Diferenciar com relação ao tempo dá:

A aplicação da primeira lei da termodinâmica ao objeto concentrado dá , onde a taxa de transferência de calor para fora do corpo , pode ser expressa pela lei de resfriamento de Newton, e onde nenhuma transferência de trabalho ocorre para um material incompressível. Assim,

onde está a constante de tempo do sistema . A capacitância de calor pode ser escrita em termos da capacidade de calor específica do objeto , (J / kg-K), e massa, (kg). A constante de tempo é então .

Quando a temperatura ambiente é constante no tempo, podemos definir . A equação se torna

A solução desta equação diferencial, por integração a partir da condição inicial, é

onde é a diferença de temperatura no tempo 0. Revertendo para a temperatura, a solução é

A diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente decai exponencialmente em função do tempo.

Veja também

Referências

Veja também:

  • Dehghani, F 2007, CHNG2801 - Conservation and Transport Processes: Course Notes, University of Sydney, Sydney

links externos