Teorema de Nielsen-Schreier - Nielsen–Schreier theorem

Na teoria dos grupos , um ramo da matemática, o teorema de Nielsen-Schreier afirma que todo subgrupo de um grupo livre é ele próprio livre. Recebeu o nome de Jakob Nielsen e Otto Schreier .

Declaração do teorema

Um grupo livre pode ser definido a partir de uma apresentação de grupo que consiste em um conjunto de geradores sem relações. Ou seja, cada elemento é um produto de alguma sequência de geradores e seus inversos, mas esses elementos não obedecem a nenhuma equação, exceto aquelas que seguem trivialmente gg −1 = 1. Os elementos de um grupo livre podem ser descritos como todas as palavras reduzidas possíveis , aquelas cadeias de geradores e seus inversos em que nenhum gerador é adjacente ao seu próprio inverso. Duas palavras reduzidas podem ser multiplicadas concatenando -as e removendo quaisquer pares gerador-inverso que resultem da concatenação.

O teorema de Nielsen-Schreier afirma que se H é um subgrupo de um grupo livre G , então H é ele próprio isomorfo a um grupo livre. Isto é, existe um conjunto S de elementos que geram H , sem nenhuma relações não triviais entre os elementos de S .

A fórmula de Nielsen-Schreier , ou fórmula de índice de Schreier , quantifica o resultado no caso em que o subgrupo tem índice finito: se G é um grupo livre de classificação n (livre em geradores n ), e H é um subgrupo de índice finito [ G  : H ] = e , então H está livre de classificação .

Exemplo

Seja G o grupo livre com dois geradores e seja H o subgrupo que consiste em todas as palavras reduzidas de comprimento par (produtos de um número par de letras ). Então H é gerado por seus seis elementos. Uma fatoração de qualquer palavra reduzida em H nesses geradores e seus inversos podem ser construídos simplesmente tomando pares consecutivos de letras na palavra reduzida. No entanto, esta não é uma apresentação livre de H porque os três últimos geradores podem ser escritos em termos dos três primeiros como . Em vez disso, H é gerado como um grupo livre pelos três elementos que não têm relações entre eles; ou, em vez disso, por vários outros triplos dos seis geradores. Além disso, G é livre em n = 2 geradores, H tem índice e = [ G  : H ] = 2 em G e H é livre em 1 + e ( n –1) = 3 geradores. O teorema de Nielsen-Schreier afirma que, como H , todo subgrupo de um grupo livre pode ser gerado como um grupo livre e, se o índice de H for finito, sua classificação é dada pela fórmula do índice.

Prova

O grupo livre L = π 1 ( X ) tem n = 2 geradores correspondentes às linhas de um , b a partir do ponto de base P em X . O subgrupo H de palavras de comprimento par, com índice e = [ G  : H ] = 2, corresponde ao gráfico de cobertura Y com dois vértices correspondentes aos cosets H e H ' = aH = bH = a −1 H = b - 1 H , e duas arestas levantadas para cada uma das arestas de loop originais a , b . Contrair uma das arestas de Y dá uma equivalência homotópica a um buquê de três círculos, de modo que H = π 1 ( Y ) é um grupo livre em três geradores, por exemplo aa , ab , ba .

Uma curta prova do teorema de Nielsen-Schreier usa a topologia algébrica de grupos fundamentais e espaços de cobertura . Um grupo livre G em um conjunto de geradores é o grupo fundamental de um buquê de círculos , um grafo topológico X com um único vértice e com uma borda de loop para cada gerador. Qualquer subgrupo H do grupo fundamental é em si o grupo fundamental de um espaço de cobertura ligado YX. O espaço Y é um (possivelmente infinito) topológica gráfico, o gráfico coset Schreier tendo um vértice para cada classe lateral em G / H . Em qualquer gráfico topológica ligado, é possível reduzir as margens de uma árvore de expansão do gráfico, a produção de um ramalhete de círculos que tem o mesmo grupo fundamental H . Como H é o grupo fundamental de um buquê de círculos, ele próprio é livre.

A homologia simplificada permite o cálculo da classificação de H , que é igual a h 1 ( Y ), o primeiro número de Betti do espaço de cobertura, o número de ciclos independentes. Para G livre de posto n , o grafo X tem n arestas e 1 vértice; assumindo que H possui o índice finito [ G  : H ] = e , o gráfico cobrindo Y tem en bordas e e vértices. O primeiro número de Betti de um gráfico é igual ao número de arestas, menos o número de vértices, mais o número de componentes conectados; portanto, a classificação de H é:

Essa prova se deve a Reinhold Baer e Friedrich Levi  ( 1936 ); a prova original por Schreier forma o gráfico Schreier de um modo diferente como um quociente do gráfico Cayley de L módulo a acção de H .

De acordo com o lema do subgrupo de Schreier , um conjunto de geradores para uma apresentação livre de H pode ser construído a partir de ciclos no gráfico de cobertura formado pela concatenação de um caminho de árvore geradora de um ponto base (o coset da identidade) a um dos cosets, um uma única aresta que não seja de árvore e um caminho de árvore de abrangência inversa do outro ponto final da aresta de volta ao ponto base.

Fundações axiomáticas

Embora várias provas diferentes do teorema de Nielsen-Schreier sejam conhecidas, todas elas dependem do axioma da escolha . Na prova baseada em grupos fundamentais de buquês, por exemplo, o axioma da escolha aparece sob o disfarce da afirmação de que todo grafo conectado possui uma árvore geradora. O uso deste axioma é necessário, pois existem modelos da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel nos quais o axioma da escolha e o teorema de Nielsen – Schreier são ambos falsos. O teorema de Nielsen-Schreier, por sua vez, implica uma versão mais fraca do axioma da escolha, para conjuntos finitos.

História

O teorema de Nielsen-Schreier é um análogo não abeliano de um resultado mais antigo de Richard Dedekind , de que todo subgrupo de um grupo abeliano livre é abeliano livre .

Jakob Nielsen ( 1921 ) provou originalmente uma forma restrita do teorema, afirmando que qualquer subgrupo finitamente gerado de um grupo livre é livre. Sua prova envolve a execução de uma sequência de transformações de Nielsen no conjunto gerador do subgrupo que reduz seu comprimento (como palavras reduzidas no grupo livre de onde são retiradas). Otto Schreier provou o teorema de Nielsen – Schreier em sua total generalidade em sua tese de habilitação de 1926 , Die Untergruppen der freien Gruppe , também publicada em 1927 no Abh. matemática. Sem. Hamburgo. Univ.

A prova topológica baseada em grupos fundamentais de buquês de círculos deve-se a Reinhold Baer e Friedrich Levi  ( 1936 ). Outra prova topológica, baseada na teoria Bass-Serre de ações de grupo em árvores , foi publicada por Jean-Pierre Serre  ( 1970 ).

Veja também

Notas

Referências