Teorema de Noether - Noether's theorem

Primeira página do artigo de Emmy Noether "Invariante Variationsprobleme" (1918), onde ela provou seu teorema.

O teorema de Noether ou o primeiro teorema de Noether afirma que toda simetria diferenciável da ação de um sistema físico com forças conservativas tem uma lei de conservação correspondente . O teorema foi provado pelo matemático Emmy Noether em 1915 e publicado em 1918, depois que um caso especial foi provado por E. Cosserat e F. Cosserat em 1909. A ação de um sistema físico é a integral ao longo do tempo de uma função Lagrangiana , a partir da qual o comportamento do sistema pode ser determinado pelo princípio da menor ação . Este teorema só se aplica a simetrias contínuas e suaves no espaço físico .

O teorema de Noether é usado na física teórica e no cálculo das variações . Uma generalização das formulações sobre constantes de movimento na mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana (desenvolvida em 1788 e 1833, respectivamente), não se aplica a sistemas que não podem ser modelados apenas com uma Lagrangiana (por exemplo, sistemas com uma função de dissipação de Rayleigh ). Em particular, os sistemas dissipativos com simetrias contínuas não precisam ter uma lei de conservação correspondente.

Ilustrações básicas e plano de fundo

A título de ilustração, se um sistema físico se comporta da mesma forma independentemente de como está orientado no espaço, seu Lagrangiano é simétrico sob rotações contínuas: a partir dessa simetria, o teorema de Noether dita que o momento angular do sistema seja conservado, como consequência de sua leis do movimento. O próprio sistema físico não precisa ser simétrico; um asteróide irregular caindo no espaço conserva o momento angular, apesar de sua assimetria. São as leis de seu movimento que são simétricas.

Como outro exemplo, se um processo físico exibe os mesmos resultados, independentemente do lugar ou do tempo, então seu Lagrangiano é simétrico sob traduções contínuas no espaço e no tempo, respectivamente: pelo teorema de Noether, essas simetrias são responsáveis ​​pelas leis de conservação do momento linear e da energia dentro deste sistema, respectivamente.

O teorema de Noether é importante, tanto por causa do insight que fornece sobre as leis de conservação, quanto como uma ferramenta prática de cálculo. Ele permite que os investigadores determinem as quantidades conservadas (invariantes) a partir das simetrias observadas de um sistema físico. Por outro lado, permite aos pesquisadores considerar classes inteiras de Lagrangianos hipotéticos com invariantes dados, para descrever um sistema físico. Como uma ilustração, suponhamos que uma teoria física é proposto que conserva uma quantidade X . Um pesquisador pode calcular os tipos de Lagrangianas que conservam X por meio de uma simetria contínua. Devido ao teorema de Noether, as propriedades desses Lagrangianos fornecem critérios adicionais para entender as implicações e julgar a adequação da nova teoria.

Existem inúmeras versões do teorema de Noether, com vários graus de generalidade. Existem contrapartes quânticas naturais desse teorema, expressas nas identidades de Ward-Takahashi . Também existem generalizações do teorema de Noether para superespaços .

Declaração informal do teorema

Deixando todos os pontos técnicos de lado, o teorema de Noether pode ser declarado informalmente

Se um sistema possui uma propriedade de simetria contínua, então existem quantidades correspondentes cujos valores são conservados no tempo.

Uma versão mais sofisticada do teorema envolvendo campos afirma que:

A cada simetria diferenciável gerada por ações locais corresponde uma corrente conservada .

A palavra "simetria" na declaração acima se refere mais precisamente à covariância da forma que uma lei física assume com relação a um grupo de Lie unidimensional de transformações que satisfazem certos critérios técnicos. A lei de conservação de uma quantidade física é geralmente expressa como uma equação de continuidade .

A prova formal do teorema utiliza a condição de invariância para derivar uma expressão para uma corrente associada a uma quantidade física conservada. Na terminologia moderna (desde c. 1980), a quantidade conservada é chamada de carga Noether , enquanto o fluxo que transporta essa carga é chamado de corrente Noether . A corrente Noether é definida até um campo vetorial solenoidal (sem divergência).

No contexto da gravitação, a declaração de Felix Klein do teorema de Noether para a ação I estipula para os invariantes:

Se uma integral I é invariante sob um grupo contínuo G ρ com ρ parâmetros, então ρ combinações linearmente independentes das expressões Lagrangianas são divergências.

Breve ilustração e visão geral do conceito

Gráfico ilustrando o teorema de Noether para uma simetria coordenada.

A ideia principal por trás do teorema de Noether é mais facilmente ilustrada por um sistema com uma coordenada e uma simetria contínua (setas cinza no diagrama). Considere qualquer trajetória (em negrito no diagrama) que satisfaça as leis de movimento do sistema . Ou seja, a ação que governa este sistema é estacionária nesta trajetória, ou seja, não muda sob nenhuma variação local da trajetória. Em particular, não mudaria sob uma variação que aplica o fluxo de simetria em um segmento de tempo [ t 0 , t 1 ] e está imóvel fora desse segmento. Para manter a trajetória contínua, usamos períodos de "buffering" de pouco tempo para fazer a transição entre os segmentos gradualmente.

A mudança total na ação agora compreende as mudanças trazidas por cada intervalo em jogo. As partes, onde a própria variação desaparece, trazem o não . A parte do meio também não altera a ação, pois sua transformação é uma simetria e assim preserva o Lagrangeano e a ação . As únicas partes restantes são as peças de "buffering". Grosso modo, eles contribuem principalmente por meio de sua "inclinação" .

Isso muda o Lagrangian por , que se integra a

Esses últimos termos, avaliados em torno dos pontos finais e , devem se anular para que a mudança total na ação seja zero, como seria de se esperar se a trajetória fosse uma solução. Isso é

significando que a quantidade é conservada, que é a conclusão do teorema de Noether. Por exemplo, se as traduções puras de por uma constante são a simetria, então a quantidade conservada torna-se justa , o momento canônico.

Casos mais gerais seguem a mesma ideia:

  • Quando mais coordenadas passam por uma transformação de simetria , seus efeitos somam-se por linearidade a uma quantidade conservada .
  • Quando há transformações de tempo , eles fazem com que os segmentos de "buffering" contribuam com os dois termos a seguir para :
    o primeiro termo é devido ao alongamento na dimensão temporal do segmento "buffering" (que altera o tamanho do domínio de integração), e o segundo é devido à sua "inclinação", exatamente como no caso exemplar. Juntos, eles adicionam uma soma à quantidade conservada.
  • Finalmente, quando em vez de uma trajetória campos inteiros são considerados, o argumento substitui
    • o intervalo com uma região limitada do domínio,
    • os pontos finais e com o limite da região,
    • e sua contribuição para é interpretada como um fluxo de uma corrente conservada , que é construída de forma análoga à definição anterior de uma quantidade conservada.
    Agora, a contribuição zero do "buffering" para é interpretada como desaparecimento do fluxo total da corrente através do . Esse é o sentido em que é conservado: quanto está "fluindo" para dentro, tanto quanto "está fluindo" para fora.

Contexto histórico

Uma lei de conservação afirma que alguma quantidade X na descrição matemática da evolução de um sistema permanece constante ao longo de seu movimento - é uma invariante . Matematicamente, a taxa de variação de X (sua derivada em relação ao tempo ) é zero,

Essas quantidades são consideradas conservadas; eles são freqüentemente chamados de constantes de movimento (embora o movimento em si não precise estar envolvido, apenas evolução no tempo). Por exemplo, se a energia de um sistema é conservada, sua energia é invariável em todos os momentos, o que impõe uma restrição ao movimento do sistema e pode ajudar a resolvê-lo. Além das percepções que essas constantes de movimento fornecem sobre a natureza de um sistema, elas são uma ferramenta de cálculo útil; por exemplo, uma solução aproximada pode ser corrigida encontrando o estado mais próximo que satisfaça as leis de conservação adequadas.

As primeiras constantes de movimento descobertas foram momentum e energia cinética , que foram propostas no século 17 por René Descartes e Gottfried Leibniz com base em experimentos de colisão e refinadas por pesquisadores subsequentes. Isaac Newton foi o primeiro a enunciar a conservação do momento em sua forma moderna e mostrou que era uma consequência da terceira lei de Newton . De acordo com a relatividade geral , as leis de conservação do momento linear, energia e momento angular só são exatamente verdadeiras globalmente quando expressas em termos da soma do tensor tensão-energia ( tensão não gravitacional-energia) e a tensão-energia de Landau-Lifshitz –Pseudotensor momentum (tensão gravitacional - energia). A conservação local do momento linear não gravitacional e da energia em um referencial de queda livre é expressa pelo desaparecimento da divergência covariante do tensor tensão-energia . Outra importante quantidade conservada, descoberta em estudos da mecânica celeste de corpos astronômicos, é o vetor Laplace-Runge-Lenz .

No final do século 18 e no início do século 19, os físicos desenvolveram métodos mais sistemáticos para descobrir invariantes. Um grande avanço veio em 1788 com o desenvolvimento da mecânica Lagrangiana , que está relacionada ao princípio da menor ação . Nesta abordagem, o estado do sistema pode ser descrito por qualquer tipo de coordenadas generalizadas q ; as leis do movimento não precisam ser expressas em um sistema de coordenadas cartesiano , como era costume na mecânica newtoniana. A ação é definida como a integral de tempo I de uma função conhecida como Lagrangiana  L

onde o ponto sobre q significa a taxa de mudança das coordenadas q ,

O princípio de Hamilton afirma que o caminho físico q ( t ) - aquele realmente percorrido pelo sistema - é um caminho para o qual variações infinitesimais nesse caminho não causam alteração em I , pelo menos até a primeira ordem. Este princípio resulta nas equações de Euler-Lagrange ,

Assim, se uma das coordenadas, digamos q k , não aparecer no Lagrangiano, o lado direito da equação é zero, e o lado esquerdo requer que

onde o momentum

é conservado durante todo o movimento (no caminho físico).

Assim, a ausência da coordenada ignorável q k do Lagrangiano implica que o Lagrangeano não é afetado por mudanças ou transformações de q k ; o Lagrangiano é invariante e é dito que exibe uma simetria sob tais transformações. Esta é a ideia-semente generalizada no teorema de Noether.

Vários métodos alternativos para encontrar quantidades conservadas foram desenvolvidos no século 19, especialmente por William Rowan Hamilton . Por exemplo, ele desenvolveu uma teoria de transformações canônicas que permitia mudar as coordenadas de forma que algumas coordenadas desaparecessem do Lagrangiano, como acima, resultando em momentos canônicos conservados. Outra abordagem, e talvez a mais eficiente para encontrar quantidades conservadas, é a equação de Hamilton-Jacobi .

Expressão matemática

Forma simples usando perturbações

A essência do teorema de Noether é generalizar as coordenadas ignoráveis ​​delineadas.

Pode-se supor que o Lagrangeano L definido acima é invariante sob pequenas perturbações (warpings) da variável de tempo t e as coordenadas generalizadas q . Alguém pode escrever

onde as perturbações δt e δ q são pequenas, mas variáveis. Para generalidade, suponha que existam (digamos) N tais transformações de simetria da ação, isto é, transformações que deixam a ação inalterada; rotulado por um índice r  = 1, 2, 3, ...,  N .

Então, a perturbação resultante pode ser escrita como uma soma linear dos tipos individuais de perturbações,

onde ε r são coeficientes de parâmetros infinitesimais correspondentes a cada um:

Para traduções, Q r é uma constante com unidades de comprimento ; para rotações, é uma expressão linear nas componentes de q , e os parâmetros constituem um ângulo .

Usando essas definições, Noether mostrou que as quantidades de N

(que têm as dimensões de [energia] · [tempo] + [momento] · [comprimento] = [ação]) são conservados ( constantes de movimento ).

Exemplos

Invariância de tempo

Para ilustração, considere uma Lagrangiana que não depende do tempo, ou seja, que é invariante (simétrica) sob mudanças tt + δ t , sem qualquer mudança nas coordenadas q . Neste caso, N  = 1, T  = 1 e Q  = 0; a quantidade conservada correspondente é a energia total H

Invariância translacional

Considere uma Lagrangiana que não depende de uma coordenada ("ignorável", como acima) q k ; portanto, é invariante (simétrico) sob mudanças q kq k + δq k . Nesse caso, N  = 1, T  = 0 e Q k  = 1; a quantidade conservada é o momento linear correspondente p k

Na relatividade geral e especial , essas leis de conservação aparentemente separadas são aspectos de uma única lei de conservação, a do tensor tensão-energia , que é derivada na próxima seção.

Invariância rotacional

A conservação do momento angular L = r × p é análoga à sua contraparte de momento linear. Supõe-se que a simetria do Lagrangeano é rotacional, ou seja, que o Lagrangeano não depende da orientação absoluta do sistema físico no espaço. Para concretude, assuma que o Lagrangiano não muda sob pequenas rotações de um ângulo δθ em torno de um eixo n ; tal rotação transforma as coordenadas cartesianas pela equação

Uma vez que o tempo não está sendo transformado, T = 0. Tomando δθ como o parâmetro ε e as coordenadas cartesianas r como as coordenadas generalizadas q , as variáveis Q correspondentes são dadas por

Então, o teorema de Noether afirma que a seguinte quantidade é conservada,

Em outras palavras, o componente do momento angular L ao longo do eixo n é conservado.

Se n é arbitrário, ou seja, se o sistema é insensível a qualquer rotação, então todos os componentes de L são conservados; em suma, o momento angular é conservado.

Versão da teoria de campo

Embora útil por si só, a versão do teorema de Noether que acabamos de fornecer é um caso especial da versão geral derivada em 1915. Para dar uma ideia do teorema geral, uma versão do teorema de Noether para campos contínuos no espaço-tempo quadridimensional agora é dado. Uma vez que os problemas da teoria de campo são mais comuns na física moderna do que os problemas de mecânica , esta versão da teoria de campo é a versão mais comumente usada (ou implementada com mais frequência) do teorema de Noether.

Que haja um conjunto de campos diferenciáveis definidos em todo o espaço e tempo; por exemplo, a temperatura seria representativa de tal campo, sendo um número definido em cada lugar e hora. O princípio da menor ação pode ser aplicado a tais campos, mas a ação agora é uma parte integrante do espaço e do tempo

(o teorema pode ser ainda mais generalizado para o caso em que o Lagrangiano depende de até a n- ésima derivada, e também pode ser formulado usando feixes de jato ).

Uma transformação contínua dos campos pode ser escrita infinitesimalmente como

onde é, em geral, uma função que pode depender de ambos e . A condição para gerar uma simetria física é que a ação permaneça invariante. Isso certamente será verdade se a densidade Lagrangiana for deixada invariante, mas também será verdade se a Lagrangiana mudar por uma divergência,

uma vez que a integral de uma divergência se torna um termo de fronteira de acordo com o teorema da divergência . Um sistema descrito por uma determinada ação pode ter várias simetrias independentes deste tipo, indexadas por, de modo que a transformação de simetria mais geral seria escrita como

com a conseqüência

Para tais sistemas, o teorema de Noether afirma que existem densidades de corrente conservadas

(onde o produto escalar é entendido como contraindo os índices de campo , não o índice ou índice).

Nesses casos, a lei de conservação é expressa de forma quadridimensional

que expressa a ideia de que a quantidade de uma quantidade conservada dentro de uma esfera não pode mudar a menos que parte dela flua para fora da esfera. Por exemplo, a carga elétrica é conservada; a quantidade de carga dentro de uma esfera não pode mudar a menos que parte da carga deixe a esfera.

Para ilustração, considere um sistema físico de campos que se comporta da mesma forma em translações no tempo e no espaço, conforme considerado acima; em outras palavras, é constante em seu terceiro argumento. Nesse caso, N  = 4, um para cada dimensão de espaço e tempo. Uma tradução infinitesimal no espaço, (com denotando o delta de Kronecker ), afeta os campos como : isto é, rotular novamente as coordenadas é equivalente a deixar as coordenadas no lugar enquanto traduz o próprio campo, o que por sua vez é equivalente a transformar o campo substituindo seu valor em cada ponto com o valor no ponto "atrás" dele, que seria mapeado pelo deslocamento infinitesimal em consideração. Uma vez que isso é infinitesimal, podemos escrever essa transformação como

A densidade Lagrangiana se transforma da mesma forma , então

e assim o teorema de Noether corresponde à lei de conservação para o tensor tensão-energia T μ ν , onde usamos no lugar de . A saber, usando a expressão dada anteriormente, e coletando as quatro correntes conservadas (uma para cada ) em um tensor , o teorema de Noether dá

com

(reclassificamos como uma etapa intermediária para evitar conflito). (No entanto, o obtido desta forma pode diferir do tensor simétrico usado como o termo fonte na relatividade geral; consulte tensor canônico de energia-tensão .)

A conservação da carga elétrica , por outro lado, pode ser derivada considerando Ψ linear nos campos φ em vez de nas derivadas. Na mecânica quântica , a amplitude de probabilidade ψ ( x ) de encontrar uma partícula em um ponto x é um campo complexo φ , porque atribui um número complexo a cada ponto no espaço e no tempo. A própria amplitude de probabilidade é fisicamente incomensurável; apenas a probabilidade p = | ψ | 2 pode ser inferido a partir de um conjunto de medições. Portanto, o sistema é invariante sob transformações do campo ψ e seu campo conjugado complexo ψ * que deixam | ψ | 2 inalterado, como

uma rotação complexa. No limite em que a fase θ se torna infinitesimalmente pequena, δθ , pode ser tomado como o parâmetro ε , enquanto os Ψ são iguais a e - *, respectivamente. Um exemplo específico é a equação de Klein-Gordon , a versão relativisticamente correta da equação de Schrödinger para partículas sem spin , que tem a densidade Lagrangiana

Neste caso, o teorema de Noether afirma que a  corrente conservada (∂ ⋅  j = 0) é igual

que, quando multiplicado pela carga sobre aquela espécie de partícula, é igual à densidade de corrente elétrica devido a esse tipo de partícula. Essa "invariância de calibre" foi observada pela primeira vez por Hermann Weyl e é um dos protótipos de simetria de calibre da física.

Derivações

Uma variável independente

Considere o caso mais simples, um sistema com uma variável independente, o tempo. Suponha que as variáveis ​​dependentes q sejam tais que a integral de ação

é invariante sob breves variações infinitesimais nas variáveis ​​dependentes. Em outras palavras, eles satisfazem as equações de Euler-Lagrange

E suponha que a integral seja invariante sob uma simetria contínua. Matematicamente, tal simetria é representada como um fluxo , φ , que atua sobre as variáveis ​​da seguinte forma

onde ε é uma variável real indicando a quantidade de fluxo, e T é uma constante real (que pode ser zero) indicando quanto o fluxo muda no tempo.

A ação integral flui para

que pode ser considerada uma função de ε . Calculando a derivada em ε ' = 0 e usando a regra de Leibniz , obtemos

Observe que as equações de Euler-Lagrange implicam

Substituindo isso na equação anterior, obtém-se

Novamente usando as equações de Euler-Lagrange, obtemos

Substituindo isso na equação anterior, obtém-se

De onde se pode ver que

é uma constante do movimento, ou seja, é uma quantidade conservada. Uma vez que φ [ q , 0] = q , obtemos e, portanto, a quantidade conservada simplifica para

Para evitar a complicação excessiva das fórmulas, esta derivação assumiu que o fluxo não muda com o passar do tempo. O mesmo resultado pode ser obtido no caso mais geral.

Derivação teórica de campo

O teorema de Noether também pode ser derivado para campos tensores φ A, onde o índice A varia entre os vários componentes dos vários campos tensores. Essas grandezas de campo são funções definidas em um espaço quadridimensional cujos pontos são rotulados por coordenadas x μ, onde o índice μ varia ao longo do tempo ( μ  = 0) e três dimensões espaciais ( μ  = 1, 2, 3). Essas quatro coordenadas são as variáveis ​​independentes; e os valores dos campos em cada evento são as variáveis ​​dependentes. Sob uma transformação infinitesimal, a variação nas coordenadas é escrita

enquanto a transformação das variáveis ​​de campo é expressa como

Por esta definição, as variações do campo δφ A resultam de dois fatores: mudanças intrínsecas no próprio campo e mudanças nas coordenadas, uma vez que o campo transformado α A depende das coordenadas transformadas ξ μ . Para isolar as mudanças intrínsecas, a variação de campo em um único ponto x μ pode ser definida

Se as coordenadas são alteradas, o limite da região do espaço-tempo sobre a qual o Lagrangiano está sendo integrado também muda; o limite original e sua versão transformada são denotados como Ω e Ω ', respectivamente.

O teorema de Noether começa com a suposição de que uma transformação específica das coordenadas e variáveis ​​de campo não altera a ação , que é definida como a integral da densidade Lagrangiana sobre a região dada do espaço-tempo. Expressa matematicamente, esta suposição pode ser escrita como

onde o subscrito da vírgula indica uma derivada parcial em relação à (s) coordenada (s) que seguem a vírgula, por exemplo

Uma vez que ξ é uma variável dummy de integração, e uma vez que a mudança no limite Ω é infinitesimal por suposição, as duas integrais podem ser combinadas usando a versão quadridimensional do teorema da divergência na seguinte forma

A diferença em Lagrangians pode ser escrita em primeira ordem nas variações infinitesimais como

No entanto, como as variações são definidas no mesmo ponto descrito acima, a variação e a derivada podem ser feitas na ordem inversa; eles se deslocam

Usando as equações de campo de Euler-Lagrange

a diferença em Lagrangians pode ser escrita ordenadamente como

Assim, a mudança na ação pode ser escrita como

Uma vez que isso vale para qualquer região Ω, o integrando deve ser zero

Para qualquer combinação das várias transformações de simetria , a perturbação pode ser escrita

onde é a derivada de Lie de φ A na direção X μ . Quando φ A é um escalar ou ,

Essas equações implicam que a variação de campo tomada em um ponto é igual a

Diferenciar a divergência acima em relação a ε em ε  = 0 e alterar o sinal resulta na lei de conservação

onde a corrente conservada é igual

Derivação de coletor / feixe de fibras

Suponha-se que têm uma n -dimensional orientada Riemaniano multiplicado , M e um colector de alvo t . Let ser o espaço de configuração de funções suaves a partir de H a t . (De modo mais geral, podemos ter seções lisas de um feixe de fibras sobre M. )

Exemplos deste M em física incluem:

  • Na mecânica clássica , na formulação hamiltoniana , M é a variedade unidimensional , representando o tempo e o espaço-alvo é o feixe cotangente do espaço de posições generalizadas.
  • Na teoria dos campos , M é a variedade do espaço - tempo e o espaço-alvo é o conjunto de valores que os campos podem assumir em qualquer ponto. Por exemplo, se houver m verdadeiro -valued campos escalares , , em seguida, o colector é alvo . Se o campo for um campo vetorial real, a variedade de destino é isomórfica a .

Agora, suponha que haja um funcional

chamou a ação . (Leva valores em , em vez de ; isso é por razões físicas e não é importante para esta prova.)

Para chegar à versão usual do teorema de Noether, precisamos de restrições adicionais à ação . Assumimos que é a integral sobre M de uma função

chamada de densidade Lagrangiana , dependendo de φ , de sua derivada e da posição. Em outras palavras, para φ em

Suponha que recebamos condições de contorno , isto é, uma especificação do valor de φ no contorno se M for compacto , ou algum limite em φ quando x se aproxima de ∞. Então, o subespaço de consiste em funções φ de modo que todas as derivadas funcionais de em φ são zero, ou seja:

e que φ satisfaz as condições de contorno dadas, é o subespaço de soluções on shell . (Veja o princípio da ação estacionária )

Agora, suponha que temos uma transformação infinitesimal em , gerada por uma derivação funcional , Q tal que

para todas as subvariedades compactas N ou em outras palavras,

para todo x , onde definimos

Se isso se mantiver na casca e fora da casca , dizemos que Q gera uma simetria fora da casca. Se isso for válido apenas no shell , dizemos que Q gera uma simetria no shell. Então, dizemos que Q é um gerador de um grupo de Lie de simetria de um parâmetro .

Agora, para qualquer N , por causa do teorema de Euler-Lagrange , no shell (e apenas no shell), temos

Uma vez que isso é verdade para qualquer N , temos

Mas esta é a equação de continuidade para a corrente definida por:

que é chamada de corrente Noether associada à simetria . A equação de continuidade nos diz que se integrarmos essa corrente em uma fatia semelhante ao espaço , obtemos uma quantidade conservada chamada carga Noether (desde que, é claro, se M não for compacta, as correntes caem suficientemente rápido no infinito).

Comentários

O teorema de Noether é um teorema da casca : ele se baseia no uso das equações do movimento - o caminho clássico. Ele reflete a relação entre as condições de contorno e o princípio variacional. Assumindo que não há termos de fronteira na ação, o teorema de Noether implica que

Os análogos quânticos do teorema de Noether envolvendo valores esperados (por exemplo, ) sondagem de quantidades de casca também são as identidades de Ward-Takahashi .

Generalização para álgebras de Lie

Suponha que temos duas derivações de simetria Q 1 e Q 2 . Então, [ Q 1Q 2 ] também é uma derivação de simetria. Vamos ver isso explicitamente. Digamos

e

Então,

onde f 12  =  Q 1 [ f 2 μ ] -  Q 2 [ f 1 μ ]. Então,

Isso mostra que podemos estender o teorema de Noether para álgebras de Lie maiores de uma forma natural.

Generalização da prova

Isso se aplica a qualquer derivação de simetria local Q que satisfaça QS  ≈ 0, e também a ações diferenciáveis ​​funcionais locais mais gerais, incluindo aquelas onde a Lagrangiana depende de derivadas superiores dos campos. Seja ε qualquer função suave arbitrária da variedade do espaço-tempo (ou tempo) de modo que o fechamento de seu suporte seja separado da fronteira. ε  é uma função de teste . Então, por causa do princípio variacional (que não se aplica à fronteira, aliás), a distribuição de derivação q gerada por q [ ε ] [Φ ( x )] = ε ( x ) Q [Φ ( x )] satisfaz q [ ε ] [ S ] ≈ 0 para todo  ε , ou mais compactamente, q ( x ) [ S ] ≈ 0 para todo x não na fronteira (mas lembre-se que q ( x ) é uma abreviação para uma distribuição de derivação , não uma derivação parametrizada por x em geral). Esta é a generalização do teorema de Noether.

Para ver como a generalização está relacionada à versão dada acima, assuma que a ação é a integral do espaço-tempo de uma Lagrangiana que depende apenas de φ e de suas primeiras derivadas. Além disso, assuma

Então,

para todos .

Mais geralmente, se o Lagrangiano depende de derivadas mais altas, então

Exemplos

Exemplo 1: Conservação de energia

Observando o caso específico de uma partícula newtoniana de massa m , coordenada x , movendo-se sob a influência de um potencial V , coordenado pelo tempo t . A ação , S , é:

O primeiro termo entre parênteses é a energia cinética da partícula, enquanto o segundo é sua energia potencial . Considere o gerador de traduções de tempo Q = d / dt . Em outras palavras ,. A coordenada x tem uma dependência explícita do tempo, enquanto V não; consequentemente:

para que possamos definir

Então,

O lado direito é a energia, e o teorema de Noether afirma que (isto é, o princípio de conservação da energia é uma consequência da invariância nas traduções de tempo).

Mais geralmente, se o Lagrangiano não depende explicitamente do tempo, a quantidade

(chamado de Hamiltoniano ) é conservado.

Exemplo 2: Conservação do centro de impulso

Ainda considerando o tempo unidimensional, vamos

ou partículas newtonianas onde o potencial depende apenas aos pares do deslocamento relativo.

Pois , considere o gerador de transformações galileanas (ou seja, uma mudança no quadro de referência). Em outras palavras,

E

Isso tem a forma de para que possamos definir

Então,

onde é o momento total, M é a massa total e é o centro de massa. O teorema de Noether afirma:

Exemplo 3: transformação conforme

Ambos os exemplos 1 e 2 são sobre uma variedade unidimensional (tempo). Um exemplo envolvendo o espaço-tempo é uma transformação conforme de um campo escalar real sem massa com um potencial quártico no espaço-tempo (3 + 1) - Minkowski .

Para Q , considere o gerador de um reescalonamento do espaço-tempo. Em outras palavras,

O segundo termo do lado direito é devido ao "peso conforme" de . E

Isso tem a forma de

(onde realizamos uma mudança de índices fictícios) então defina

Então

O teorema de Noether afirma que (como se pode verificar explicitamente substituindo as equações de Euler-Lagrange no lado esquerdo).

Se alguém tentar encontrar o análogo de Ward-Takahashi dessa equação, terá um problema por causa das anomalias .

Formulários

A aplicação do teorema de Noether permite que os físicos obtenham insights poderosos sobre qualquer teoria geral da física, apenas analisando as várias transformações que tornariam invariante a forma das leis envolvidas. Por exemplo:

Na teoria quântica de campos , o análogo ao teorema de Noether, a identidade de Ward-Takahashi , produz outras leis de conservação, como a conservação da carga elétrica da invariância em relação a uma mudança no fator de fase do campo complexo da partícula carregada e o medidor associado do potencial elétrico e do potencial vetorial .

A carga de Noether também é usada no cálculo da entropia de buracos negros estacionários .

Veja também

Notas

Referências

links externos