Geometria não euclidiana - Non-Euclidean geometry

Comportamento das linhas com uma perpendicular comum em cada um dos três tipos de geometria

Em matemática , a geometria não euclidiana consiste em duas geometrias baseadas em axiomas intimamente relacionados àqueles que especificam a geometria euclidiana . Como a geometria euclidiana se encontra na interseção da geometria métrica e da geometria afim , a geometria não euclidiana surge relaxando o requisito métrico ou substituindo o postulado paralelo por uma alternativa. No último caso, obtém-se a geometria hiperbólica e a geometria elíptica , as tradicionais geometrias não euclidianas. Quando o requisito métrico é relaxado, existem planos afins associados às álgebras planas , que dão origem a geometrias cinemáticas que também foram chamadas de geometria não euclidiana.

A diferença essencial entre as geometrias métricas é a natureza das linhas paralelas . O quinto postulado de Euclides , o postulado paralelo , é equivalente ao postulado de Playfair , que afirma que, dentro de um plano bidimensional, para qualquer linha l e um ponto A , que não está em l , há exatamente uma linha através de A que não intercepta l . Em geometria hiperbólica, ao contrário, há infinitas linhas através de A que não fazem interseção com l , enquanto na geometria elíptica, qualquer linha através de A intercepta l .

Outra maneira de descrever as diferenças entre essas geometrias é considerar duas linhas retas estendidas indefinidamente em um plano bidimensional que são perpendiculares a uma terceira linha (no mesmo plano):

  • Na geometria euclidiana, as linhas permanecem a uma distância constante umas das outras (o que significa que uma linha desenhada perpendicular a uma linha em qualquer ponto cruzará a outra linha e o comprimento do segmento de linha que une os pontos de intersecção permanece constante) e são conhecidas como paralelos.
  • Na geometria hiperbólica, eles "curvam-se" uns dos outros, aumentando a distância à medida que nos afastamos dos pontos de intersecção com a perpendicular comum; essas linhas são freqüentemente chamadas de ultraparalelos .
  • Na geometria elíptica, as linhas "curvam-se" entre si e se cruzam.

História

Fundo

A geometria euclidiana , em homenagem ao matemático grego Euclides , inclui algumas das matemáticas mais antigas conhecidas, e geometrias que se desviaram disso não foram amplamente aceitas como legítimas até o século XIX.

O debate que acabou levando à descoberta das geometrias não euclidianas começou quase assim que Euclides escreveu Elementos . Nos Elementos , Euclides começa com um número limitado de suposições (23 definições, cinco noções comuns e cinco postulados) e procura provar todos os outros resultados ( proposições ) no trabalho. O mais notório dos postulados é freqüentemente referido como "Quinto Postulado de Euclides", ou simplesmente o postulado paralelo , que na formulação original de Euclides é:

Se uma linha reta cai em duas linhas retas de tal maneira que os ângulos internos do mesmo lado são juntos menos de dois ângulos retos, então as linhas retas, se produzidas indefinidamente, se encontram naquele lado em que os ângulos são menores que o dois ângulos retos.

Outros matemáticos criaram formas mais simples dessa propriedade. Independentemente da forma do postulado, no entanto, ele parece consistentemente mais complicado do que os outros postulados de Euclides :

1. Para desenhar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.

2. Para produzir [estender] uma linha reta finita continuamente em uma linha reta.

3. Descrever um círculo com qualquer centro e distância [raio].

4. Que todos os ângulos retos são iguais entre si.

Por pelo menos mil anos, os geômetras se preocuparam com a complexidade díspar do quinto postulado e acreditaram que ele poderia ser provado como um teorema a partir dos outros quatro. Muitos tentaram encontrar uma prova por contradição , incluindo Ibn al-Haytham (Alhazen, século 11), Omar Khayyám (século 12), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (século 13) e Giovanni Girolamo Saccheri (século 18).

Os teoremas de Ibn al-Haytham, Khayyam e al-Tusi nos quadriláteros , incluindo o quadrilátero de Lambert e o quadrilátero de Saccheri , foram "os primeiros teoremas das geometrias hiperbólica e elíptica ". Esses teoremas, juntamente com seus postulados alternativos, como o axioma de Playfair , desempenharam um papel importante no desenvolvimento posterior da geometria não euclidiana. Essas primeiras tentativas de desafiar o quinto postulado tiveram uma influência considerável em seu desenvolvimento entre os geômetras europeus posteriores, incluindo Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis e Saccheri. Todas essas primeiras tentativas feitas na tentativa de formular a geometria não-euclidiana, entretanto, forneceram provas falhas do postulado paralelo, contendo suposições que eram essencialmente equivalentes ao postulado paralelo. Essas primeiras tentativas, entretanto, forneceram algumas propriedades iniciais das geometrias hiperbólica e elíptica.

Khayyam, por exemplo, tentou derivá-lo de um postulado equivalente que formulou dos "princípios do Filósofo" ( Aristóteles ): " Duas retas convergentes se cruzam e é impossível que duas retas convergentes divergam na direção em que convergir. "Khayyam então considerou os três casos certos, obtusos e agudos que os ângulos de cume de um quadrilátero de Saccheri podem assumir e, depois de provar uma série de teoremas sobre eles, ele refutou corretamente os casos obtusos e agudos com base em seu postulado e, portanto, derivou o postulado clássico de Euclides, que ele não percebeu ser equivalente ao seu próprio postulado. Outro exemplo é o filho de al-Tusi, Sadr al-Din (às vezes conhecido como "Pseudo-Tusi"), que escreveu um livro sobre o assunto em 1298, baseado nos pensamentos posteriores de al-Tusi, que apresentavam outra hipótese equivalente ao postulado paralelo . "Ele essencialmente revisou o sistema euclidiano de axiomas e postulados e as provas de muitas proposições dos Elementos ." Seu trabalho foi publicado em Roma em 1594 e estudado por geômetras europeus, incluindo Saccheri, que criticou este trabalho, bem como o de Wallis.

Giordano Vitale , em seu livro Euclide restituo (1680, 1686), usou o quadrilátero de Saccheri para provar que se três pontos são equidistantes na base AB e no cume CD, então AB e CD são equidistantes em todos os lugares.

Em um trabalho intitulado Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Euclid Freed from All Flaws ), publicado em 1733, Saccheri rapidamente descartou a geometria elíptica como uma possibilidade (alguns outros dos axiomas de Euclides devem ser modificados para que a geometria elíptica funcione) e começou a trabalhar provando um grande número de resultados em geometria hiperbólica.

Ele finalmente chegou a um ponto em que acreditava que seus resultados demonstravam a impossibilidade da geometria hiperbólica. Sua afirmação parece ter se baseado em pressuposições euclidianas, porque nenhuma contradição lógica estava presente. Nessa tentativa de provar a geometria euclidiana, ele descobriu, sem querer, uma nova geometria viável, mas não a percebeu.

Em 1766, Johann Lambert escreveu, mas não publicou, Theorie der Parallellinien, na qual ele tentou, como fez Saccheri, provar o quinto postulado. Ele trabalhou com uma figura agora conhecida como quadrilátero de Lambert , um quadrilátero com três ângulos retos (pode ser considerado a metade de um quadrilátero de Saccheri). Ele eliminou rapidamente a possibilidade de que o quarto ângulo fosse obtuso, como Saccheri e Khayyam, e então passou a provar muitos teoremas sob a suposição de um ângulo agudo. Ao contrário de Saccheri, ele nunca sentiu que havia chegado a uma contradição com essa suposição. Ele provou o resultado não euclidiano de que a soma dos ângulos em um triângulo aumenta à medida que a área do triângulo diminui, e isso o levou a especular sobre a possibilidade de um modelo do caso agudo em uma esfera de raio imaginário. Ele não levou essa ideia adiante.

Nessa época, acreditava-se amplamente que o universo funcionava de acordo com os princípios da geometria euclidiana.

Descoberta da geometria não euclidiana

O início do século 19 iria finalmente testemunhar passos decisivos na criação da geometria não euclidiana. Por volta de 1813, Carl Friedrich Gauss e, independentemente, por volta de 1818, o professor alemão de direito Ferdinand Karl Schweikart tiveram as ideias germinativas da geometria não euclidiana elaboradas, mas nenhum dos dois publicou resultados. O sobrinho de Schweikart, Franz Taurinus , publicou resultados importantes da trigonometria hiperbólica em dois artigos em 1825 e 1826, mas embora admitisse a consistência interna da geometria hiperbólica, ele ainda acreditava no papel especial da geometria euclidiana.

Então, em 1829–1830, o matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky e em 1832 o matemático húngaro János Bolyai publicaram separadamente e independentemente tratados sobre geometria hiperbólica. Consequentemente, a geometria hiperbólica é chamada de geometria Lobachevskiana ou Bolyai-Lobachevskiana, pois ambos os matemáticos, independentes um do outro, são os autores básicos da geometria não euclidiana. Gauss mencionou ao pai de Bolyai, quando mostrado o trabalho do jovem Bolyai, que ele havia desenvolvido tal geometria vários anos antes, embora não publicasse. Enquanto Lobachevsky criou uma geometria não euclidiana negando o postulado paralelo, Bolyai elaborou uma geometria onde as geometrias euclidiana e hiperbólica são possíveis dependendo de um parâmetro  k . Bolyai termina seu trabalho mencionando que não é possível decidir apenas pelo raciocínio matemático se a geometria do universo físico é euclidiana ou não euclidiana; esta é uma tarefa para as ciências físicas.

Bernhard Riemann , em uma palestra famosa em 1854, fundou o campo da geometria Riemanniana , discutindo em particular as idéias agora chamadas de variedades , métrica Riemanniana e curvatura . Ele construiu uma família infinita de geometrias não euclidianas ao fornecer uma fórmula para uma família de métricas Riemannianas na esfera unitária no espaço euclidiano . A mais simples delas é chamada de geometria elíptica e é considerada uma geometria não euclidiana devido à falta de linhas paralelas.

Ao formular a geometria em termos de um tensor de curvatura , Riemann permitiu que a geometria não euclidiana se aplicasse a dimensões superiores. Beltrami (1868) foi o primeiro a aplicar a geometria de Riemann a espaços de curvatura negativa.

Terminologia

Foi Gauss quem cunhou o termo "geometria não euclidiana". Ele se referia ao seu próprio trabalho, que hoje chamamos de geometria hiperbólica . Vários autores modernos ainda consideram geometria não euclidiana e geometria hiperbólica como sinônimos.

Arthur Cayley observou que a distância entre os pontos dentro de uma cônica pode ser definida em termos de logaritmo e a função de razão cruzada projetiva . O método passou a ser chamado de métrica Cayley-Klein porque Felix Klein o explorou para descrever as geometrias não euclidianas em artigos de 1871 e 1873 e, posteriormente, na forma de livro. As métricas de Cayley-Klein forneceram modelos funcionais de geometrias métricas hiperbólicas e elípticas, bem como geometria euclidiana.

Klein é responsável pelos termos "hiperbólica" e "elíptica" (em seu sistema ele chamou a geometria euclidiana de parabólica , um termo que geralmente caiu em desuso). Sua influência levou ao uso atual do termo "geometria não euclidiana" para significar geometria "hiperbólica" ou "elíptica".

Existem alguns matemáticos que estenderiam a lista de geometrias que deveriam ser chamadas de "não euclidianas" de várias maneiras.

Base axiomática da geometria não euclidiana

A geometria euclidiana pode ser descrita axiomaticamente de várias maneiras. Infelizmente, o sistema original de cinco postulados (axiomas) de Euclides não é um deles, pois suas provas se baseavam em várias suposições não declaradas que também deveriam ter sido tomadas como axiomas. O sistema de Hilbert consistindo de 20 axiomas segue mais de perto a abordagem de Euclides e fornece a justificativa para todas as provas de Euclides. Outros sistemas, usando diferentes conjuntos de termos indefinidos, obtêm a mesma geometria por caminhos diferentes. Todas as abordagens, entretanto, têm um axioma que é logicamente equivalente ao quinto postulado de Euclides, o postulado paralelo. Hilbert usa a forma de axioma Playfair, enquanto Birkhoff , por exemplo, usa o axioma que diz: "Existe um par de triângulos semelhantes, mas não congruentes." Em qualquer um desses sistemas, a remoção de um axioma equivalente ao postulado paralelo, em qualquer forma que assuma, e deixando todos os outros axiomas intactos, produz a geometria absoluta . Como as primeiras 28 proposições de Euclides (em Os Elementos ) não requerem o uso do postulado paralelo ou qualquer coisa equivalente a ele, são todas afirmações verdadeiras em geometria absoluta.

Para obter uma geometria não euclidiana, o postulado paralelo (ou seu equivalente) deve ser substituído por sua negação . A negação da forma axiomática do Playfair , por se tratar de uma afirmação composta (... existe um e apenas um ...), pode ser feita de duas maneiras:

  • Existirá mais de uma linha através do ponto paralelo à linha fornecida ou não haverá nenhuma linha através do ponto paralelo à linha fornecida. No primeiro caso, substituindo o postulado paralelo (ou seu equivalente) pela afirmação "Em um plano, dado um ponto P e uma reta l que não passa por P, existem duas retas que passam por P, que não se encontram com l " e mantendo todos os outros axiomas, produz geometria hiperbólica .
  • O segundo caso não é tratado tão facilmente. A simples substituição do postulado paralelo pela afirmação: "Em um plano, dado um ponto P e uma linha l que não passa por P, todas as linhas que passam por P encontram l ", não dá um conjunto consistente de axiomas. Isso ocorre porque as linhas paralelas existem na geometria absoluta, mas esta afirmação diz que não existem linhas paralelas. Este problema era conhecido (sob uma aparência diferente) por Khayyam, Saccheri e Lambert e foi a base para a rejeição do que ficou conhecido como o "caso do ângulo obtuso". Para obter um conjunto consistente de axiomas que inclua este axioma sobre não ter linhas paralelas, alguns outros axiomas devem ser ajustados. Esses ajustes dependem do sistema de axioma usado. Entre outros, esses ajustes têm o efeito de modificar o segundo postulado de Euclides a partir da declaração de que os segmentos de linha podem ser estendidos indefinidamente para a declaração de que as linhas são ilimitadas. A geometria elíptica de Riemann surge como a geometria mais natural que satisfaz esse axioma.

Modelos de geometria não euclidiana

Comparação das geometrias elíptica, euclidiana e hiperbólica em duas dimensões
Em uma esfera, a soma dos ângulos de um triângulo não é igual a 180 °. A superfície de uma esfera não é um espaço euclidiano, mas localmente as leis da geometria euclidiana são boas aproximações. Em um pequeno triângulo na face da Terra, a soma dos ângulos é quase 180 °.

A geometria euclidiana bidimensional é modelada por nossa noção de um "plano plano ".

Geometria elíptica

O modelo mais simples para a geometria elíptica é uma esfera, onde as linhas são " grandes círculos " (como o equador ou os meridianos em um globo ) e pontos opostos entre si (chamados de pontos antípodas ) são identificados (considerados iguais). Este também é um dos modelos padrão do plano projetivo real . A diferença é que como um modelo de geometria elíptica é introduzida uma métrica que permite a medição de comprimentos e ângulos, enquanto como um modelo do plano projetivo não existe tal métrica.

No modelo elíptico, para qualquer linha l e um ponto A , que não está em l , todas as linhas através de A se cruzarão com l .

Geometria hiperbólica

Mesmo após o trabalho de Lobachevsky, Gauss e Bolyai, a questão permaneceu: "Esse modelo existe para geometria hiperbólica ?". O modelo para geometria hiperbólica foi respondido por Eugenio Beltrami , em 1868, que primeiro mostrou que uma superfície chamada de pseudosfera tem a curvatura adequada para modelar uma porção do espaço hiperbólico e em um segundo artigo do mesmo ano, definiu o modelo de Klein , que modela a totalidade do espaço hiperbólico e usa isso para mostrar que a geometria euclidiana e a geometria hiperbólica eram equiconsistentes, de modo que a geometria hiperbólica era logicamente consistente se e somente se a geometria euclidiana era. (A implicação inversa segue do modelo da horosfera da geometria euclidiana.)

No modelo hiperbólico, dentro de um plano bidimensional, para qualquer linha l e um ponto A , que não está em l , existem infinitas linhas através de A que não se cruzam com l .

Nestes modelos, os conceitos de geometrias não euclidianas são representados por objetos euclidianos em um ambiente euclidiano. Isso introduz uma distorção perceptual em que as linhas retas da geometria não euclidiana são representadas por curvas euclidianas que se dobram visualmente. Essa "dobra" não é uma propriedade das linhas não euclidianas, mas apenas um artifício da forma como são representadas.

Geometria tridimensional não euclidiana

Em três dimensões, existem oito modelos de geometrias. Existem geometrias euclidiana, elíptica e hiperbólica, como no caso bidimensional; geometrias mistas que são parcialmente euclidianas e parcialmente hiperbólicas ou esféricas; versões torcidas das geometrias mistas; e uma geometria incomum que é completamente anisotrópica (ou seja, cada direção se comporta de maneira diferente).

Propriedades incomuns

Quadrilátero de Lambert em geometria hiperbólica
Quadriláteros de Saccheri nas três geometrias

As geometrias euclidiana e não euclidiana naturalmente têm muitas propriedades semelhantes, a saber, aquelas que não dependem da natureza do paralelismo. Essa semelhança é o assunto da geometria absoluta (também chamada de geometria neutra ). No entanto, as propriedades que distinguem uma geometria de outras têm historicamente recebido mais atenção.

Além do comportamento das linhas em relação a uma perpendicular comum, mencionada na introdução, também temos o seguinte:

  • Um quadrilátero de Lambert é um quadrilátero com três ângulos retos. O quarto ângulo de um quadrilátero de Lambert é agudo se a geometria for hiperbólica, um ângulo reto se a geometria for euclidiana ou obtusa se a geometria for elíptica. Conseqüentemente, os retângulos existem (uma afirmação equivalente ao postulado paralelo) apenas na geometria euclidiana.
  • Um quadrilátero de Saccheri é um quadrilátero com dois lados de igual comprimento, ambos perpendiculares a um lado denominado base . Os outros dois ângulos de um quadrilátero de Saccheri são chamados de ângulos do cume e têm igual medida. Os ângulos de cume de um quadrilátero de Saccheri são agudos se a geometria for hiperbólica, ângulos retos se a geometria for euclidiana e ângulos obtusos se a geometria for elíptica.
  • A soma das medidas dos ângulos de qualquer triângulo é menor que 180 ° se a geometria for hiperbólica, igual a 180 ° se a geometria for euclidiana e maior que 180 ° se a geometria for elíptica. O defeito de um triângulo é o valor numérico (180 ° - soma das medidas dos ângulos do triângulo). Este resultado também pode ser declarado como: o defeito dos triângulos na geometria hiperbólica é positivo, o defeito dos triângulos na geometria euclidiana é zero e o defeito dos triângulos na geometria elíptica é negativo.

Importância

Antes que os modelos de um plano não euclidiano fossem apresentados por Beltrami, Klein e Poincaré, a geometria euclidiana permanecia incontestável como o modelo matemático do espaço . Além disso, uma vez que a substância do sujeito na geometria sintética era uma demonstração principal de racionalidade, o ponto de vista euclidiano representava autoridade absoluta.

A descoberta das geometrias não euclidianas teve um efeito cascata que ultrapassou as fronteiras da matemática e da ciência. O tratamento do filósofo Immanuel Kant do conhecimento humano teve um papel especial para a geometria. Foi seu principal exemplo de conhecimento sintético a priori; não derivado dos sentidos nem deduzido pela lógica - nosso conhecimento do espaço era uma verdade com a qual nascemos. Infelizmente para Kant, seu conceito dessa geometria inalteravelmente verdadeira era euclidiano. A teologia também foi afetada pela mudança da verdade absoluta para a verdade relativa na forma como a matemática se relaciona com o mundo ao seu redor, que foi o resultado dessa mudança de paradigma.

A geometria não euclidiana é um exemplo de revolução científica na história da ciência , na qual matemáticos e cientistas mudaram a forma como viam seus assuntos. Alguns geômetras chamaram Lobachevsky de " Copérnico da Geometria" devido ao caráter revolucionário de sua obra.

A existência de geometrias não euclidianas impactou a vida intelectual da Inglaterra vitoriana de muitas maneiras e, em particular, foi um dos fatores principais que causou um reexame do ensino da geometria com base nos Elementos de Euclides . Essa questão curricular foi calorosamente debatida na época e foi até o assunto de um livro, Euclid and his Modern Rivals , escrito por Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898) mais conhecido como Lewis Carroll , o autor de Alice no País das Maravilhas .

Álgebras planas

Em geometria analítica, um plano é descrito com coordenadas cartesianas  : C = {( x, y ): x , y ∈ ℝ}. Os pontos às vezes são identificados com números complexos z = x + y ε onde ε 2 ∈ {–1, 0, 1}.

O plano euclidiano corresponde ao caso ε 2 = −1 uma vez que o módulo de z é dado por

e essa quantidade é o quadrado da distância euclidiana entre z e a origem. Por exemplo, { z | zz * = 1} é o círculo unitário .

Para álgebra plana, geometria não euclidiana surge nos outros casos. Quando ε 2 = +1 , então z é um número complexo dividido e convencionalmente j substitui o épsilon. Então

e { z | zz * = 1} é a hipérbole unitária .

Quando ε 2 = 0 , então z é um número dual .

Esta abordagem à geometria não euclidiana explica os ângulos não euclidianos: os parâmetros de inclinação no plano de número dual e ângulo hiperbólico no plano do complexo dividido correspondem ao ângulo na geometria euclidiana. Na verdade, cada um deles surge na decomposição polar de um número complexo z .

Geometrias cinemáticas

A geometria hiperbólica encontrou uma aplicação na cinemática com a cosmologia física introduzida por Hermann Minkowski em 1908. Minkowski introduziu termos como linha de mundo e tempo próprio na física matemática . Ele percebeu que a subvariedade , de eventos em um momento de tempo adequado no futuro, poderia ser considerada um espaço hiperbólico de três dimensões. Já na década de 1890, Alexander Macfarlane estava mapeando essa subvariedade por meio de sua Álgebra da Física e quatérnios hiperbólicos , embora Macfarlane não usasse a linguagem cosmológica como Minkowski fez em 1908. A estrutura relevante é agora chamada de modelo hiperbolóide de geometria hiperbólica.

As álgebras planas não euclidianas suportam geometrias cinemáticas no plano. Por exemplo, o número complexo dividido z = e a j pode representar um evento do espaço-tempo um momento no futuro de um referencial de rapidez a . Além disso, a multiplicação por z equivale a um aumento de Lorentz mapeando o quadro com rapidez zero para aquele com rapidez a .

O estudo cinemático faz uso dos números duais para representar a descrição clássica do movimento em tempo e espaço absolutos : As equações são equivalentes a um mapeamento de cisalhamento em álgebra linear:

Com números duplos, o mapeamento é

Outra visão da relatividade especial como uma geometria não-euclidiana foi avançada por EB Wilson e Gilbert Lewis em Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences em 1912. Eles reformularam a geometria analítica implícita na álgebra de número de complexo dividido em geometria sintética de premissas e deduções.

Ficção

A geometria não euclidiana freqüentemente aparece em obras de ficção científica e fantasia .

  • Em 1895, HG Wells publicou o conto The Remarkable Case of Davidson's Eyes . Para apreciar esta história, deve-se saber como os pontos antípodais em uma esfera são identificados em um modelo do plano elíptico. Na história, no meio de uma tempestade, Sidney Davidson vê "Ondas e uma escuna incrivelmente elegante" enquanto trabalhava em um laboratório elétrico no Harlow Technical College. No final da história, Davidson prova ter testemunhado o HMS Fulmar na Ilha de Antipodes .
  • A geometria não euclidiana às vezes está conectada com a influência do escritor de ficção de terror do século 20, HP Lovecraft . Em suas obras, muitas coisas não naturais seguem suas próprias leis de geometria: No Cthulhu Mythos de Lovecraft , a cidade submersa de R'lyeh é caracterizada por sua geometria não euclidiana. Está fortemente implícito que isso é conseguido como um efeito colateral de não seguir as leis naturais deste universo, em vez de simplesmente usar um modelo geométrico alternativo, já que o puro erro inato disso é considerado capaz de levar à loucura aqueles que o olham.
  • O personagem principal Robert Pirsig 's Zen ea Arte da Manutenção de Motocicletas mencionado Geometria Riemanniana em várias ocasiões.
  • Em Os irmãos Karamazov , Dostoiévski discute a geometria não euclidiana por meio de seu personagem Ivan.
  • O romance Inverted World de Christopher Priest descreve a luta de viver em um planeta com a forma de uma pseudosfera giratória .
  • O número da besta, de Robert Heinlein, utiliza geometria não euclidiana para explicar o transporte instantâneo através do espaço e do tempo e entre universos paralelos e fictícios.
  • O HyperRogue de Zeno Rogue é um jogo roguelike ambientado no plano hiperbólico , permitindo ao jogador experimentar muitas propriedades dessa geometria. Muitas mecânicas, missões e locais são fortemente dependentes das características da geometria hiperbólica.
  • No cenário de ficção científica da Renegade Legion para o jogo de guerra , RPG e ficção da FASA , viagens e comunicações mais rápidas do que a luz são possíveis através do uso da Geometria Polidimensional Não Euclidiana de Hsieh Ho, publicada em algum momento no meio do Século 22.
  • Em Flatterland de Ian Stewart, a protagonista Victoria Line visita todos os tipos de mundos não euclidianos.

Veja também

Notas

Referências

links externos