Teoria quântica de campo não comutativa - Noncommutative quantum field theory

Na física matemática , a teoria quântica de campo não comutativa (ou teoria quântica de campo no espaço-tempo não comutativo) é uma aplicação da matemática não comutativa ao espaço - tempo da teoria quântica de campo que é uma conseqüência da geometria não comutativa e da teoria do índice em que as funções coordenadas são não comutativas . Uma versão comumente estudada de tais teorias tem a relação de comutação "canônica":

${\ displaystyle [x ^ {\ mu}, x ^ {\ nu}] = i \ theta ^ {\ mu \ nu} \, \!}$

o que significa que (com qualquer conjunto de eixos), é impossível medir com precisão a posição de uma partícula em relação a mais de um eixo. Na verdade, isso leva a uma relação de incerteza para as coordenadas análoga ao princípio de incerteza de Heisenberg .

Vários limites inferiores foram reivindicados para a escala não comutativa (ou seja, com que precisão as posições podem ser medidas), mas atualmente não há nenhuma evidência experimental a favor de tal teoria ou fundamentos para descartá-la.

Uma das novas características das teorias de campo não comutativas é o fenômeno de mistura UV / IR no qual a física em altas energias afeta a física em baixas energias, o que não ocorre nas teorias quânticas de campo nas quais as coordenadas comutam.

Outras características incluem violação da invariância de Lorentz devido à direção preferencial de não comutatividade. A invariância relativística pode, entretanto, ser mantida no sentido de invariância de Poincaré torcida da teoria. A condição de causalidade é modificada daquela das teorias comutativas.

História e motivação

Heisenberg foi o primeiro a sugerir estender a não comutatividade às coordenadas como uma maneira possível de remover as quantidades infinitas que aparecem nas teorias de campo antes que o procedimento de renormalização fosse desenvolvido e ganhasse aceitação. O primeiro artigo sobre o assunto foi publicado em 1947 por Hartland Snyder . O sucesso do método de renormalização resultou em pouca atenção dada ao assunto por algum tempo. Na década de 1980, os matemáticos, principalmente Alain Connes , desenvolveram a geometria não comutativa . Entre outras coisas, este trabalho generalizou a noção de estrutura diferencial para uma configuração não comutativa. Isso levou a uma descrição algébrica do operador de espaço-tempos não comutativos , com o problema de que classicamente corresponde a uma variedade com tensor métrico definido positivamente , de modo que não há descrição de causalidade (não comutativa) nesta abordagem. No entanto, também levou ao desenvolvimento de uma teoria de Yang-Mills em um toro não comutativo .

A comunidade da física de partículas se interessou pela abordagem não comutativa por causa de um artigo de Nathan Seiberg e Edward Witten . Eles argumentaram no contexto da teoria das cordas que as funções de coordenadas dos pontos finais das cordas abertas restritas a uma D-brana na presença de um campo B de Neveu-Schwarz constante - equivalente a um campo magnético constante na brana - satisfaria o álgebra não comutativa estabelecida acima. A implicação é que uma teoria quântica de campos no espaço-tempo não comutativo pode ser interpretada como um limite de baixa energia da teoria das cordas abertas.

Dois artigos, um de Sergio Doplicher , Klaus Fredenhagen e John Roberts e outro de DV Ahluwalia, estabelecem outra motivação para a possível não comutatividade do espaço-tempo. Os argumentos são os seguintes: De acordo com a relatividade geral , quando a densidade de energia cresce o suficiente, um buraco negro é formado. Por outro lado, de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg , uma medição de uma separação espaço-tempo causa uma incerteza no momento inversamente proporcional à extensão da separação. Assim, a energia cuja escala corresponde à incerteza no momento está localizada no sistema dentro de uma região correspondente à incerteza na posição. Quando a separação é pequena o suficiente, o raio de Schwarzschild do sistema é alcançado e um buraco negro é formado, o que impede que qualquer informação escape do sistema. Portanto, há um limite inferior para a medição do comprimento. Uma condição suficiente para prevenir o colapso gravitacional pode ser expressa como uma relação de incerteza para as coordenadas. Esta relação pode, por sua vez, ser derivada de uma relação de comutação para as coordenadas.

Vale ressaltar que, diferentemente de outras abordagens, em particular aquelas baseadas nas idéias de Connes, aqui o espaço-tempo não comutativo é um espaço-tempo adequado, ou seja, ele estende a idéia de uma variedade pseudo-Riemanniana quadridimensional . Por outro lado, diferentemente da geometria não comutativa de Connes, o modelo proposto acaba sendo dependente de coordenadas desde o início. No artigo de Doplicher Fredenhagen Roberts, a não comutatividade de coordenadas diz respeito a todas as quatro coordenadas do espaço-tempo e não apenas às espaciais.

Veja também

• Produto Moyal
• Geometria não comutativa
• Modelo padrão não comutativo
• Transformada de Wigner-Weyl

Notas de rodapé

Leitura adicional

• Grensing, Gerhard (2013). Aspectos Estruturais da Teoria Quântica de Campos e Geometria Não Comutativa . World Scientific. doi : 10.1142 / 8771 . ISBN 978-981-4472-69-2.
• MR Douglas e NA Nekrasov (2001) " Teoria de campo não comutativa ," Rev. Mod. Phys. 73: 977–1029.
• Szabo, R. (2003) " Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces ", Physics Reports 378: 207-99. Um artigo expositivo sobre teorias de campos quânticos não comutativos.
• Teoria quântica de campo não comutativa, consulte as estatísticas em arxiv.org
• V. Moretti (2003), " Aspects of noncommutative Lorentzian geometry for globally hyperbolic spacetimes ," Rev. Math. Phys. 15: 1171-1218. Um artigo expositivo (também) sobre as dificuldades de estender a geometria não comutativa ao caso Lorentziano que descreve a causalidade