Não dimensionalização - Nondimensionalization

A não dimensionalização é a remoção parcial ou total das dimensões físicas de uma equação envolvendo quantidades físicas por uma substituição adequada de variáveis . Esta técnica pode simplificar e parametrizar problemas onde unidades medidas estão envolvidas. Está intimamente relacionado à análise dimensional . Em alguns sistemas físicos , o termo escalonamento é usado alternadamente com não dimensionalização , a fim de sugerir que certas quantidades são melhor medidas em relação a alguma unidade apropriada. Essas unidades referem-se a quantidades intrínsecas ao sistema, ao invés de unidades como unidades SI . A não dimensionalização não é o mesmo que converter quantidades extensas em uma equação em quantidades intensivas, uma vez que o último procedimento resulta em variáveis que ainda carregam unidades.

A não dimensionalização também pode recuperar propriedades características de um sistema. Por exemplo, se um sistema tem uma frequência , comprimento ou constante de tempo de ressonância intrínseca , a não dimensionalização pode recuperar esses valores. A técnica é especialmente útil para sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais . Um uso importante é na análise de sistemas de controle . Uma das unidades características mais simples é o tempo de duplicação de um sistema em crescimento exponencial ou, inversamente, a meia-vida de um sistema em declínio exponencial ; um par mais natural de unidades características é a idade média / tempo de vida médio , que corresponde à base e ao invés da base 2.

Muitos exemplos ilustrativos de não dimensionalização se originam da simplificação de equações diferenciais. Isso ocorre porque um grande conjunto de problemas físicos pode ser formulado em termos de equações diferenciais. Considere o seguinte:

Embora a não dimensionalização seja bem adaptada para esses problemas, ela não se restringe a eles. Um exemplo de aplicação de equação não diferencial é a análise dimensional; outro exemplo é a normalização nas estatísticas .

Dispositivos de medição são exemplos práticos de não-dimensionalização que ocorrem na vida cotidiana. Os dispositivos de medição são calibrados em relação a alguma unidade conhecida. As medições subsequentes são feitas em relação a este padrão. Em seguida, o valor absoluto da medição é recuperado pela escala em relação ao padrão.

Justificativa

Suponha que um pêndulo está balançando com um determinado período T . Para tal o sistema de um, é vantajoso realizar cálculos relativos à oscilante em relação à t . Em certo sentido, isso está normalizando a medição em relação ao período.

As medições feitas em relação a uma propriedade intrínseca de um sistema serão aplicadas a outros sistemas que também possuem a mesma propriedade intrínseca. Também permite comparar uma propriedade comum de diferentes implementações do mesmo sistema. A não dimensionalização determina de maneira sistemática as unidades características de um sistema a serem usadas, sem depender muito do conhecimento prévio das propriedades intrínsecas do sistema (não se deve confundir unidades características de um sistema com unidades naturais da natureza ). Na verdade, a não dimensionalização pode sugerir os parâmetros que devem ser usados para analisar um sistema. No entanto, é necessário começar com uma equação que descreva o sistema de forma adequada.

Etapas de não dimensionalização

Para não dimensionar um sistema de equações, deve-se fazer o seguinte:

Identifique todas as variáveis independentes e dependentes;
Substitua cada um deles por uma quantidade dimensionada em relação a uma unidade de medida característica a ser determinada;
Divida pelo coeficiente do polinômio de ordem mais alta ou termo derivado;
Escolha judiciosamente a definição da unidade característica para cada variável de forma que os coeficientes de tantos termos quanto possível se tornem 1;
Reescreva o sistema de equações em termos de suas novas quantidades adimensionais.

As três últimas etapas geralmente são específicas para o problema em que a não-dimensionalização é aplicada. No entanto, quase todos os sistemas requerem que as duas primeiras etapas sejam executadas.

Convenções

Não há restrições quanto aos nomes das variáveis usados para substituir " x " e " t ". No entanto, eles geralmente são escolhidos de forma que sejam convenientes e intuitivos de usar para o problema em questão. Por exemplo, se " x " representou a massa, a letra " m " pode ser um símbolo apropriado para representar a quantidade de massa adimensional.

Neste artigo, as seguintes convenções foram usadas:

t - representa a variável independente - geralmente uma quantidade de tempo. Sua contraparte não dimensional é . ${\ displaystyle \ tau}$
x - representa a variável dependente - pode ser massa, tensão ou qualquer quantidade mensurável. Sua contraparte não dimensional é . ${\ displaystyle \ chi}$

Um c subscrito adicionado ao nome da variável de uma quantidade é usado para denotar a unidade característica usada para escalar aquela quantidade. Por exemplo, se x é uma quantidade, então x _c é a unidade característica usada para escalá-la.

Como um exemplo ilustrativo, considere uma equação diferencial de primeira ordem com coeficientes constantes :

{\ displaystyle a {\ frac {dx} {dt}} + bx = Af (t).}

Nesta equação, a variável independente aqui é t , e a variável dependente é x .
Definir . Isso resulta na equação ${\ displaystyle x = \ chi x_ {c}, \ t = \ tau t_ {c}}$ ${\ displaystyle a {\ frac {x_ {c}} {t_ {c}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + bx_ {c} \ chi = Af (\ tau t_ {c} ) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ AF (\ tau).}$
O coeficiente do termo ordenado mais alto está na frente do primeiro termo derivado. Dividir por isso dá ${\ displaystyle {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + {\ frac {bt_ {c}} {a}} \ chi = {\ frac {At_ {c}} {ax_ {c}}} F (\ tau).}$
O coeficiente na frente de contém apenas uma variável característica t _c , portanto, é mais fácil escolher defini-lo como unidade primeiro: ${\ displaystyle \ chi}$ ${\ displaystyle {\ frac {bt_ {c}} {a}} = 1 \ Rightarrow t_ {c} = {\ frac {a} {b}}.}$ Subseqüentemente, ${\ displaystyle {\ frac {At_ {c}} {ax_ {c}}} = {\ frac {A} {bx_ {c}}} = 1 \ Rightarrow x_ {c} = {\ frac {A} {b }}.}$
A equação adimensional final, neste caso, torna-se completamente independente de quaisquer parâmetros com unidades: ${\ displaystyle {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}$

Substituições

Suponha, para simplificar, que um certo sistema é caracterizado por duas variáveis - uma variável dependente xe uma variável independente t , onde x é uma função de t . Tanto x quanto t representam quantidades com unidades. Para dimensionar essas duas variáveis, suponha que existam duas unidades intrínsecas de medida x _c e t _c com as mesmas unidades de x e t respectivamente, de modo que essas condições se mantenham:

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {t} {t_ {c}}} \ Rightarrow t = \ tau t_ {c}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {x} {x_ {c}}} \ Rightarrow x = \ chi x_ {c}.}

Essas equações são usadas para substituir x e t na não dimensionalização. Se os operadores diferenciais são necessários para descrever o sistema original, suas contrapartes em escala tornam-se operadores diferenciais adimensionais.

Operadores diferenciais

Considere o relacionamento

{\ displaystyle \, \! t = \ tau t_ {c} \ Rightarrow dt = t_ {c} d \ tau \ Rightarrow {\ frac {d \ tau} {dt}} = {\ frac {1} {t_ { c}}}.}

Os operadores diferenciais adimensionais em relação à variável independente tornam-se

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} = {\ frac {d \ tau} {dt}} {\ frac {d} {d \ tau}} = {\ frac {1} {t_ {c} }} {\ frac {d} {d \ tau}} \ Rightarrow {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} = \ left ({\ frac {d} {dt}} \ right ) ^ {n} = \ left ({\ frac {1} {t_ {c}}} {\ frac {d} {d \ tau}} \ right) ^ {n} = {\ frac {1} {t_ {c} ^ {n}}} {\ frac {d ^ {n}} {d \ tau ^ {n}}}.}

Função de força

Se um sistema tem uma função de força, então ${\ displaystyle \, \! f (t)}$

{\ displaystyle \, \! f (t) = f (\ tau t_ {c}) = f (t (\ tau)) = F (\ tau).}

Conseqüentemente, a nova função de força é tornada dependente da quantidade adimensional . ${\ displaystyle \, \! F}$ ${\ displaystyle \, \! \ tau}$

Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Sistema de primeira ordem

Considere a equação diferencial para um sistema de primeira ordem:

{\ displaystyle a {\ frac {dx} {dt}} + bx = Af (t).}

A derivação das unidades características para este sistema dá

{\ displaystyle t_ {c} = {\ frac {a} {b}}, \ x_ {c} = {\ frac {A} {b}}.}

Sistema de segunda ordem

Um sistema de segundo pedido tem o formulário

{\ displaystyle a {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + b {\ frac {dx} {dt}} + cx = Af (t).}

Etapa de substituição

Substitua as variáveis x e t por suas quantidades em escala. A equação se torna

{\ displaystyle a {\ frac {x_ {c}} {t_ {c} ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + b {\ frac {x_ {c}} {t_ {c}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + cx_ {c} \ chi = Af (\ tau t_ {c}) = AF (\ tau ).}

Esta nova equação não é adimensional, embora todas as variáveis com unidades estejam isoladas nos coeficientes. Dividindo pelo coeficiente do termo ordenado mais alto, a equação torna-se

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + t_ {c} {\ frac {b} {a}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + t_ {c} ^ {2} {\ frac {c} {a}} \ chi = {\ frac {At_ {c} ^ {2}} {ax_ {c}}} F (\ tau ).}

Agora é necessário determinar as quantidades de x _c e t _c para que os coeficientes se normalizem. Uma vez que existem dois parâmetros livres, no máximo apenas dois coeficientes podem ser iguais à unidade.

Determinação de unidades características

Considere a variável t _c :

Se o primeiro termo de pedido for normalizado. ${\ displaystyle t_ {c} = {\ frac {a} {b}}}$
Se o termo do pedido zero for normalizado. ${\ displaystyle t_ {c} = {\ sqrt {\ frac {a} {c}}}}$

Ambas as substituições são válidas. No entanto, por razões pedagógicas, a última substituição é usada para sistemas de segunda ordem. A escolha desta substituição permite que x _c seja determinado normalizando o coeficiente da função de força:

{\ displaystyle 1 = {\ frac {At_ {c} ^ {2}} {ax_ {c}}} = {\ frac {A} {cx_ {c}}} \ Rightarrow x_ {c} = {\ frac { A} {c}}.}

A equação diferencial torna-se

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + {\ frac {b} {\ sqrt {ac}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}

O coeficiente do termo de primeira ordem não tem unidade. Definir

{\ displaystyle 2 \ zeta \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {b} {\ sqrt {ac}}}.}

O fator 2 está presente para que as soluções possam ser parametrizadas em termos de ζ . No contexto de sistemas mecânicos ou elétricos, ζ é conhecido como taxa de amortecimento e é um parâmetro importante exigido na análise de sistemas de controle . 2 ζ também é conhecido como largura de linha do sistema. O resultado da definição é a equação do oscilador universal .

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}

Sistemas de ordem superior

A equação diferencial linear geral de ordem n com coeficientes constantes tem a forma:

{\ displaystyle a_ {n} {\ frac {d ^ {n} x (t)} {dt ^ {n}}} + a_ {n-1} {\ frac {d ^ {n-1} x (t )} {dt ^ {n-1}}} + \ ldots + a_ {1} {\ frac {dx (t)} {dt}} + a_ {0} x (t) = \ sum _ {k = 0 } ^ {n} a_ {k} {\ frac {d ^ {k} x (t)} {dt ^ {k}}} = Af (t).}

A função f ( t ) é conhecida como função de força .

Se a equação diferencial contém apenas coeficientes reais (não complexos), então as propriedades de tal sistema se comportam como uma mistura de sistemas de primeira e segunda ordem apenas. Isso ocorre porque as raízes de seu polinômio característico são pares conjugados reais ou complexos . Portanto, compreender como a não dimensionalização se aplica aos sistemas de primeira e segunda ordem permite que as propriedades dos sistemas de ordem superior sejam determinadas por meio da superposição .

O número de parâmetros livres em uma forma não dimensionalizada de um sistema aumenta com sua ordem. Por esse motivo, a não dimensionalização raramente é usada para equações diferenciais de ordem superior. A necessidade desse procedimento também foi reduzida com o advento da computação simbólica .

Exemplos de recuperação de unidades características

Uma variedade de sistemas pode ser aproximada como sistemas de primeira ou segunda ordem. Isso inclui sistemas mecânicos, elétricos, fluídicos, calóricos e de torção. Isso ocorre porque as quantidades físicas fundamentais envolvidas em cada um desses exemplos estão relacionadas por meio de derivadas de primeira e segunda ordem.

Oscilações mecânicas

Uma massa presa a uma mola e um amortecedor.

Suponha que tenhamos uma massa presa a uma mola e um amortecedor, que por sua vez estão presos a uma parede, e uma força atuando na massa ao longo da mesma linha. Definir

${\ displaystyle x}$ = deslocamento do equilíbrio [m]
${\ displaystyle t}$ = tempo [s]
${\ displaystyle f}$ = força externa ou "perturbação" aplicada ao sistema [kg⋅m⋅s ⁻² ]
${\ displaystyle m}$ = massa do bloco [kg]
${\ displaystyle B}$ = constante de amortecimento do painel [kg⋅s ⁻¹ ]
${\ displaystyle k}$ = constante de força da mola [kg⋅s ⁻² ]

Suponha que a força aplicada seja uma senóide F = F ₀ cos ( ωt ) , a equação diferencial que descreve o movimento do bloco é

{\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + B {\ frac {dx} {dt}} + kx = F_ {0} \ cos (\ omega t)}

A não-dimensionalização dessa equação da mesma maneira descrita no sistema de segunda ordem produz várias características do sistema.

A unidade intrínseca x _c corresponde à distância que o bloco se move por unidade de força

{\ displaystyle x_ {c} = {\ frac {F_ {0}} {k}}.}

A variável característica t _c é igual ao período das oscilações

{\ displaystyle t_ {c} = {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}

e a variável adimensional 2 ζ corresponde à largura de linha do sistema. ζ em si é a taxa de amortecimento .

{\ displaystyle 2 \ zeta = {\ frac {B} {\ sqrt {mk}}}}

Oscilações elétricas

Circuito RC série de primeira ordem

Para uma série RC conectada a uma fonte de tensão

{\ displaystyle R {\ frac {dQ} {dt}} + {\ frac {Q} {C}} = V (t) \ Rightarrow {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau)}

com substituições

{\ displaystyle Q = \ chi x_ {c}, \ t = \ tau t_ {c}, \ x_ {c} = CV_ {0}, \ t_ {c} = RC, \ F = V.}

A primeira unidade característica corresponde à carga total do circuito. A segunda unidade característica corresponde à constante de tempo do sistema.

Circuito RLC série de segunda ordem

Para uma configuração em série de componentes R , C , L , onde Q é a carga no sistema

{\ displaystyle L {\ frac {d ^ {2} Q} {dt ^ {2}}} + R {\ frac {dQ} {dt}} + {\ frac {Q} {C}} = V_ {0 } \ cos (\ omega t) \ Rightarrow {\ frac {d ^ {2} \ chi} {d \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = \ cos (\ Omega \ tau)}

com as substituições

{\ displaystyle Q = \ chi x_ {c}, \ t = \ tau t_ {c}, \ \ x_ {c} = CV_ {0}, \ t_ {c} = {\ sqrt {LC}}, \ 2 \ zeta = R {\ sqrt {\ frac {C} {L}}}, \ \ Omega = t_ {c} \ omega.}

A primeira variável corresponde à carga máxima armazenada no circuito. A frequência de ressonância é dada pelo recíproco do tempo característico. A última expressão é a largura de linha do sistema. O Ω pode ser considerado como uma frequência de função de força normalizada.

Mecânica quântica

Oscilador harmônico quântico

A equação de Schrödinger para o oscilador harmônico quântico independente do tempo unidimensional é

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + {\ frac {1} {2} } m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ right) \ psi (x) = E \ psi (x).}

O quadrado do módulo da função de onda $| ψ (x) | 2$ representa a densidade de probabilidade que, quando integrada sobre $x$ , dá uma probabilidade adimensional. Portanto, $| ψ (x) | 2$ tem unidades de comprimento inverso. Para não dimensionar isso, ele deve ser reescrito como uma função de uma variável adimensional. Para fazer isso, substituímos

{\ displaystyle {\ tilde {x}} \ equiv {\ frac {x} {x _ {\ text {c}}}},}

onde

x c

é algum comprimento característico deste sistema. Isso nos dá uma função de onda adimensional definida via

{\ displaystyle {\ tilde {\ psi}}}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ psi ({\ til {x}} x _ {\ text {c}}) = \ psi (x (x _ {\ text {c}})) = {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}).}

A equação diferencial então se torna

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {1} {x _ {\ text {c}} ^ {2}}} {\ frac {d ^ { 2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} x _ {\ text {c}} ^ {2} {\ til {x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = E \, {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) \ Rightarrow \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ frac {m ^ {2} \ omega ^ {2} x _ {\ texto {c}} ^ {4}} {\ hbar ^ {2}}} {\ tilde {x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = {\ frac {2mx _ {\ text {c}} ^ {2} E} {\ hbar ^ {2}}} {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}).}

Para tornar o termo na frente de adimensional, defina ${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ frac {m ^ {2} \ omega ^ {2} x _ {\ text {c}} ^ {4}} {\ hbar ^ {2}}} = 1 \ Rightarrow x _ {\ text {c }} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {m \ omega}}}.}

A equação totalmente não dimensional é

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ tilde {x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = {\ tilde {E}} {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}),}

onde nós definimos

{\ displaystyle E \ equiv {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} {\ tilde {E}}.}

O fator na frente de é de fato (coincidentemente) a energia do estado fundamental do oscilador harmônico. Normalmente, o termo energia não é adimensional, pois estamos interessados em determinar as energias dos estados quânticos . Reorganizando a primeira equação, a equação familiar para o oscilador harmônico torna-se

{\ displaystyle {\ tilde {E}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {d {\ tilde {x}} ^ {2}}} + {\ tilde { x}} ^ {2} \ right) {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}) = E {\ tilde {\ psi}} ({\ tilde {x}}).}

Análogos estatísticos

Em estatística , o processo análogo é geralmente dividir uma diferença (uma distância) por um fator de escala (uma medida de dispersão estatística ), que produz um número adimensional, que é chamado de normalização . Na maioria das vezes, isso divide os erros ou resíduos pelo desvio padrão ou desvio padrão da amostra, respectivamente, gerando pontuações padrão e resíduos estudentizados .

Veja também

links externos

Análise de modelos de equações diferenciais em biologia: um estudo de caso para populações de meristema de trevo (Aplicação da não dimensionalização a um problema em biologia).
Notas do curso para Modelagem Matemática e Matemática Industrial Jonathan Evans, Departamento de Ciências Matemáticas, University of Bath . (veja o Capítulo 3).
Escala de Equações Diferenciais Hans Petter Langtangen, Geir K. Pedersen, Centro de Computação Biomédica, Laboratório de Pesquisa Simula e Departamento de Informática, Universidade de Oslo .

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