Norma (matemática) - Norm (mathematics)

Em matemática , uma norma é uma função de um espaço vetorial real ou complexo para os números reais não negativos que se comportam de certas maneiras como a distância da origem : comuta com escala, obedece a uma forma de desigualdade de triângulo e é zero apenas em a origem. Em particular, a distância euclidiana de um vetor da origem é uma norma, chamada de norma euclidiana ou norma 2 , que também pode ser definida como a raiz quadrada do produto interno de um vetor consigo mesmo.

Um pseudonorm ou seminorm satisfaz as duas primeiras propriedades de uma norma, mas pode ser zero para outros vetores além da origem. Um espaço vetorial com uma norma especificada é chamado de espaço vetorial normatizado . De maneira semelhante, um espaço vetorial com uma seminorma é chamado de espaço vetorial seminormado .

Definição

Dado um espaço vectorial mais de um subcampo M dos números complexos uma norma em é uma função real , com as seguintes propriedades, que indica o habitual valor absoluto de um escalar : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle | s |}$${\ displaystyle s}$

1. Subadditividade / desigualdade triangular : para todos${\ displaystyle p (x + y) \ leq p (x) + p (y)}$${\ displaystyle x, y \ in X.}$
2. Homogeneidade absoluta : para todos e todos os escalares${\ displaystyle p (sx) = \ left | s \ right | p (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s.}$
3. Definitividade positiva / Separação de pontos : para todosseentão${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle p (x) = 0}$${\ displaystyle x = 0.}$
   • Porque a propriedade (2) implica que alguns autores substituam a propriedade (3) pela condição equivalente: para todo se e somente se${\ displaystyle p (0) = 0,}$${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ displaystyle p (x) = 0}$${\ displaystyle x = 0.}$

Um semi normais em é uma função que tem propriedades (1) e (2), de modo que, em particular, cada norma é também uma semi normais (e, portanto, também um sublinear funcional ). No entanto, existem seminários que não são normas. As propriedades (1) e (2) implicam que se é uma norma (ou, mais geralmente, uma seminorma), então e que também tem a seguinte propriedade: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p (0) = 0}$${\ displaystyle p}$

4. Não negatividade : para todos${\ displaystyle p (x) \ geq 0}$${\ displaystyle x \ in X.}$

Alguns autores incluem a não negatividade como parte da definição de "norma", embora isso não seja necessário.

Normas equivalentes

Suponha que p e q sejam duas normas (ou seminormas) em um espaço vetorial Então p e q são chamados de equivalentes , se existem duas constantes reais c e C com c > 0 tais que para cada vetor${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle x \ in X,}$

As normas p e q são equivalentes se e somente se induzem a mesma topologia em Quaisquer duas normas em um espaço de dimensão finita são equivalentes, mas isso não se estende a espaços de dimensão infinita. ${\ displaystyle X.}$

Notação

Se uma norma é dada em um espaço vetorial X , então a norma de um vetor é geralmente denotada por envolvê-la em linhas verticais duplas: tal notação também é usada algumas vezes se p for apenas uma seminorma. Para o comprimento de um vetor no espaço euclidiano (que é um exemplo de norma, conforme explicado a seguir ), a notação com linhas verticais únicas também é comum. ${\ displaystyle p \ dois pontos X \ a \ mathbb {R}}$${\ displaystyle z \ in X}$${\ displaystyle \ | z \ | = p (z).}$${\ displaystyle | x |}$

Em LaTeX e linguagens de marcação relacionadas, a barra dupla de notação de norma é inserida com a macro \|, que é processada como A linha vertical dupla usada para denotar linhas paralelas , operador paralelo e adição paralela é inserida com e é processada como Embora pareça semelhante, estes dois macros não devem ser confundidas, pois denota um colchete e denota um operador. Portanto, seu tamanho e os espaços ao redor deles não são calculados da mesma maneira. Da mesma forma, a única barra vertical é codificada como quando usada como um colchete e como quando usada como um operador. ${\ displaystyle \ |.}$\parallel${\ displaystyle \ parallel.}$\|\parallel|\mid

Em Unicode , a representação do caractere de "linha vertical dupla" é U + 2016 ‖ LINHA VERTICAL DUPLA . O símbolo de "linha vertical dupla" não deve ser confundido com o símbolo de "paralelo a", U + 2225 ∥ PARALLEL TO , que se destina a denotar linhas paralelas e operadores paralelos. A dupla linha vertical também não deve ser confundida com U + 01C1 ǁ LATIN LETTER LATERAL CLICK , cujo objetivo é denotar cliques laterais em linguística.

A única linha vertical | tem uma representação Unicode U + 007C | LINHA VERTICAL .

Exemplos

Todo espaço vetorial (real ou complexo) admite uma norma: Se é uma base de Hamel para um espaço vetorial X, então o mapa de valor real que envia x = Σ _{i ∈ I} s _i x _i ∈ X (onde todos, exceto finitamente muitos dos escalares s _i são 0) a Σ _{i ∈ I} | s _i | é uma norma em X . Também há um grande número de normas que exibem propriedades adicionais que as tornam úteis para problemas específicos. ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$

Norma de valor absoluto

O valor absoluto

é uma norma sobre os espaços vetoriais unidimensionais formados pelos números reais ou complexos .

Qualquer norma p em um espaço vetorial unidimensional X é equivalente (até a escala) à norma de valor absoluto, o que significa que há um isomorfismo de preservação de norma de espaços vetoriais onde é ou e preservação de norma significa que Este isomorfismo é dado enviando para um vetor de norma 1 , que existe uma vez que tal vetor é obtido pela multiplicação de qualquer vetor diferente de zero pelo inverso de sua norma. ${\ displaystyle f: \ mathbb {F} \ to X,}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C},}$${\ displaystyle | x | = p (f (x)).}$${\ displaystyle 1 \ in \ mathbb {F}}$

Norma euclidiana

No espaço euclidiano n- dimensional , a noção intuitiva de comprimento do vetor x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) é capturada pela fórmula ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

Esta é a norma euclidiana, que dá a distância comum da origem ao ponto X - uma consequência do teorema de Pitágoras . Esta operação pode também ser referido como "SRSS", que é um acrónimo para o s quare r oot do s hum de s quares.

A norma euclidiana é de longe a norma mais comumente usada, mas existem outras normas sobre este espaço vetorial, como será mostrado abaixo. No entanto, todas essas normas são equivalentes no sentido de que todas definem a mesma topologia. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

O produto interno de dois vetores de um espaço vetorial euclidiano é o produto escalar de seus vetores de coordenadas sobre uma base ortonormal . Portanto, a norma euclidiana pode ser escrita de uma forma livre de coordenadas como

A norma euclidiana também é chamada ^de norma L ² , norma ℓ ² , norma 2 ou norma quadrada ; veja espaço L ^p . Ele define uma função de distância chamada comprimento euclidiano , distância L ² ou distância ℓ ² .

O conjunto de vetores em cuja norma euclidiana é uma dada constante positiva forma uma n- esfera . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$

Norma euclidiana de números complexos

A norma euclidiana de um número complexo é o valor absoluto (também chamado de módulo ) dele, se o plano complexo é identificado com o plano euclidiano. Esta identificação do número complexo x + i y como um vetor no plano euclidiano, torna o quantidade (como sugerido pela primeira vez por Euler) a norma euclidiana associada ao número complexo. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$ ${\ textstyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

Quaternions e octonions

Existem exatamente quatro álgebras de Hurwitz euclidianas sobre os números reais . Estes são os números reais, os números complexos, os quatérnions e, por último, as octonions onde as dimensões desses espaços sobre os números reais são 1 , 2 , 4 e 8 , respectivamente. As normas canônicas sobre e são suas funções de valor absoluto , conforme discutido anteriormente. ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ mathbb {C},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {O},}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

A norma canônica dos quatérnios é definida por ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

para cada quatérnion em Este é o mesmo que a norma euclidiana em considerado como o espaço vetorial. Da mesma forma, a norma canônica nas octonions é apenas a norma euclidiana em${\ displaystyle q = a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}.}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}.}$

Espaços normados complexos de dimensão finita

Em um espaço

complexo n- dimensional , a norma mais comum é ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n},}$

Nesse caso, a norma pode ser expressa como a raiz quadrada do produto interno do vetor e ela mesma:

onde é representado como um vetor coluna ([ x ₁ ; x ₂ ; ...; x _n ]), e denota sua transposta conjugada . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} ^ {H}}$

Esta fórmula é válida para qualquer espaço interno do produto , incluindo espaços euclidianos e complexos. Para espaços complexos, o produto interno é equivalente ao produto escalar complexo . Portanto, a fórmula, neste caso, também pode ser escrita usando a seguinte notação:

$${\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {x}} \ |: = {\ sqrt {{\ boldsymbol {x}} \ cdot {\ boldsymbol {x}}}}.}$$

Norma de táxi ou norma de Manhattan

Artigo principal: Geometria do táxi

$${\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {x}} \ | _ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} \ right |.}$$

O nome está relacionado à distância que um táxi deve percorrer em uma grade retangular de ruas para ir da origem ao ponto x .

O conjunto de vetores cuja norma 1 é uma dada constante forma a superfície de um politopo cruzado de dimensão equivalente à da norma menos 1. A norma do táxi também é chamada de

norma . A distância derivada desta norma é chamado o raio Manhattan ou ℓ _uma distância . ${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$

A norma 1 é simplesmente a soma dos valores absolutos das colunas.

Em contraste,

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$$

não é uma norma porque pode produzir resultados negativos.

norma

p

Seja p ≥ 1 um número real. A norma p (também chamada de norma) do vetor é ${\ displaystyle \ ell _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

Para p = 1 , obtemos a norma táxi , para p = 2 , temos a norma euclidiana e, como p aproxima o p -norm se aproxima da norma infinita ou norma máxima : ${\ displaystyle \ infty}$

$${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {\ infty}: = \ max _ {i} \ left | x_ {i} \ right |.}$$

A norma p está relacionada à média generalizada ou média de potência.

Esta definição ainda é de algum interesse para 0 < p <1 , mas a função resultante não define uma norma, porque viola a desigualdade do

triângulo . O que é verdade para este caso de 0 < p <1 , mesmo no análogo mensurável, é que a classe L ^p correspondente é um espaço vetorial, e também é verdade que a função

$${\ displaystyle \ int _ {X} \ left | f (x) -g (x) \ right | ^ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu}$$

(sem a raiz p ) define uma distância que torna L ^p ( X ) em um espaço vetorial topológico métrico completo . Esses espaços são de grande interesse em análise funcional , teoria da probabilidade e análise harmônica . No entanto, além de casos triviais, este espaço vetorial topológico não é localmente convexo e não possui formas lineares contínuas diferentes de zero. Assim, o espaço dual topológico contém apenas o funcional zero.

A derivada parcial da norma p é dada por

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ | \ mathbf {x} \ | _ {p} = {\ frac {x_ {k} \ left | x_ {k} \ right | ^ {p-2}} {\ | \ mathbf {x} \ | _ {p} ^ {p-1}}}.}$$

A derivada em relação ax , portanto, é

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ | \ mathbf {x} \ | _ {p}} {\ partial \ mathbf {x}}} = {\ frac {\ mathbf {x} \ circ | \ mathbf {x } | ^ {p-2}} {\ | \ mathbf {x} \ | _ {p} ^ {p-1}}}.}$$

onde ∘ denota o produto Hadamard e é usado para o valor absoluto de cada componente do vetor. ${\ displaystyle | \ cdot |}$

Para o caso especial de p = 2 , isso se torna

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ frac {x_ {k}} {\ | \ mathbf {x} \ | _ {2}}},}$$

ou

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {x}}} \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {2} = {\ frac {\ mathbf {x}} {\ | \ mathbf {x} \ | _ {2}}}.}$$

Norma máxima (caso especial de: norma infinita, norma uniforme ou norma supremo)

${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = 1}$

Artigo principal: Norma máxima

Se é algum vetor tal que : ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}),}$

$${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty}: = \ max \ left (\ left | x_ {1} \ right |, \ ldots, \ left | x_ {n} \ right | \ right ).}$$

O conjunto de vetores cuja norma de infinito é uma dada constante, c , forma a superfície de um hipercubo com comprimento de aresta 2 c .

Norma zero

Em probabilidade e análise funcional, a norma zero induz uma topologia métrica completa para o espaço de funções mensuráveis e para o espaço F de sequências com norma F. Aqui, queremos dizer por

norma F alguma função de valor real em um espaço F com distância d , tal que a norma F descrita acima não é uma norma no sentido usual porque carece da propriedade de homogeneidade necessária. ${\ textstyle (x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {n} {2 ^ {- n} x_ {n} / (1 + x_ {n})}.}$${\ displaystyle \ lVert \ cdot \ rVert}$${\ displaystyle \ lVert x \ rVert = d (x, 0).}$

Distância de Hamming de um vetor de zero

Veja também: Distância de Hamming e métrica discreta

Na geometria métrica , a métrica discreta assume o valor um para pontos distintos e zero caso contrário. Quando aplicada em termos de coordenadas aos elementos de um espaço vetorial, a distância discreta define a distância de Hamming , que é importante na codificação e na teoria da informação . No campo dos números reais ou complexos, a distância da métrica discreta de zero não é homogênea no ponto diferente de zero; de fato, a distância de zero permanece um quando seu argumento diferente de zero se aproxima de zero. No entanto, a distância discreta de um número de zero satisfaz as outras propriedades de uma norma, a saber, a desigualdade do triângulo e a definição positiva. Quando aplicada em termos de componentes a vetores, a distância discreta de zero se comporta como uma "norma" não homogênea, que conta o número de componentes diferentes de zero em seu argumento vetorial; novamente, essa "norma" não homogênea é descontínua.

Em processamento de sinal e estatísticas , David Donoho referiu-se ao zero, " norma " entre aspas. Seguindo a notação de Donoho, a "norma" zero de x é simplesmente o número de coordenadas diferentes de zero de x , ou a distância de Hamming do vetor de zero. Quando esta "norma" é localizada em um conjunto limitado, é o limite das p -normas conforme p se aproxima de 0. Claro, a "norma" zero não é verdadeiramente uma norma, porque não é homogênea positiva . Na verdade, não é nem mesmo uma norma F no sentido descrito acima, uma vez que é descontínua, conjunta e solidariamente, com respeito ao argumento escalar na multiplicação de vetor escalar e com respeito a seu argumento vetorial. Abusando da terminologia , alguns engenheiros omitem as aspas de Donoho e inadequadamente chamam a função número-de-não-zero de norma L ⁰ , ecoando a notação para o espaço de

Lebesgue de funções mensuráveis .

Dimensões infinitas

A generalização das normas acima para um número infinito de componentes leva a

espaços ℓ ^p e L ^p , com normas

para sequências de valores complexos e funções ativadas, respectivamente, que podem ser mais generalizadas (consulte a medida de Haar ). ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$

Qualquer produto interno induz de forma natural a norma${\ textstyle \ | x \ |: = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}.}$

Outros exemplos de espaços vetoriais normados de dimensão infinita podem ser encontrados no artigo do espaço de Banach .

Normas compostas

Outras normas podem ser construídas combinando o acima; por exemplo ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

é uma norma em ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$

Para qualquer norma e qualquer transformação linear injetiva A , podemos definir uma nova norma de x , igual a

Em 2D, com A uma rotação de 45 ° e uma escala adequada, isso muda a norma do táxi para a norma máxima. Cada A aplicado à norma do táxi, até a inversão e troca de eixos, dá uma esfera unitária diferente: um paralelogramo de forma, tamanho e orientação particulares.

Em 3D, isso é semelhante, mas diferente para a norma 1 ( octaedros ) e a norma máxima ( prismas com base em paralelogramo).

Existem exemplos de normas que não são definidas por fórmulas "iniciais". Por exemplo, o funcional de Minkowski de um corpo convexo centralmente simétrico em (centrado em zero) define uma norma sobre (ver § Classificação de seminormas: conjuntos absorventes absolutamente convexos abaixo). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Todas as fórmulas acima também geram normas sem modificação. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Existem também normas sobre espaços de matrizes (com entradas reais ou complexas), as chamadas normas de matriz .

Em álgebra abstrata

Deixe E ser uma extensão finita de um domínio k de inseparável grau p ^μ , e deixá- k ter algébrica de fecho K . Se os embeddings distintos de E são { σ _j } _j , então a norma teórica de Galois de um elemento α ∈ E é o valor. Como essa função é homogênea de grau [ E : k ] , a norma teórica de Galois não é uma norma no sentido deste artigo. No entanto, a [ E : k ] -ésima raiz da norma (assumindo que o conceito faz sentido), é uma norma. ${\ textstyle \ left (\ prod _ {j} {\ sigma _ {k} (\ alpha)} \ right) ^ {p ^ {\ mu}}.}$

Álgebras de composição

O conceito de norma em algebras composição que não partilham as propriedades normais de uma norma que seja negativa ou zero para z ≠ composição 0. A álgebra ( A , *, N ) é constituído por uma álgebra sobre um campo Um , uma involução * , e uma forma quadrática que é chamada de "norma". ${\ displaystyle N (z)}$ ${\ displaystyle N (z) = zz ^ {*},}$

O traço característico das álgebras de composição é a propriedade de homomorfismo de N : para o produto wz de dois elementos w e z da álgebra de composição, sua norma satisfaz Para e O a norma da álgebra de composição é o quadrado da norma discutida acima. Nesses casos, a norma é uma forma quadrática definida . Em outras álgebras de composição, a norma é uma forma quadrática isotrópica . ${\ displaystyle N (wz) = N (w) N (z).}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H},}$

Propriedades

Para qualquer norma em um espaço vetorial, a desigualdade do triângulo reverso é válida: ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X,}$

Se for um mapa linear contínuo entre espaços normados, então a norma da e a norma da transposta de são iguais. ${\ displaystyle u: X \ a Y}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u}$

Para as normas L ^p , temos a desigualdade de Hölder

$${\ displaystyle | \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | _ {p} \ | y \ | _ {q} \ qquad {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1 } {q}} = 1.}$$

Um caso especial disso é a desigualdade de Cauchy-Schwarz :

$${\ displaystyle \ left | \ langle x, y \ rangle \ right | \ leq \ | x \ | _ {2} \ | y \ | _ {2}.}$$

Ilustrações de círculos unitários em diferentes normas.

Equivalência

O conceito de círculo unitário (o conjunto de todos os vetores da norma 1) é diferente em normas diferentes: para a norma 1, o círculo unitário é um quadrado , para a norma 2 (norma euclidiana), é a conhecida círculo unitário , enquanto para a norma do infinito, é um quadrado diferente. Para qualquer norma p , é uma superelipse com eixos congruentes (veja a ilustração anexa). Devido à definição da norma, o círculo unitário deve ser convexo e simétrico centralmente (portanto, por exemplo, a bola unitária pode ser um retângulo, mas não pode ser um triângulo, e para uma norma

p ). ${\ displaystyle p \ geq 1}$

Em termos de espaço vetorial, a seminorma define uma topologia no espaço, e esta é uma topologia de Hausdorff precisamente quando a seminorma pode distinguir entre vetores distintos, o que é novamente equivalente a seminorma ser uma norma. A topologia assim definida (por norma ou seminorma) pode ser entendida em termos de sequências ou conjuntos abertos. Diz-se que uma sequência de vetores

converge em norma para se, de forma equivalente, a topologia consiste em todos os conjuntos que podem ser representados como uma união de bolas abertas . Se for um espaço normal, então ${\ displaystyle \ {v_ {n} \}}$${\ displaystyle v,}$${\ displaystyle \ left \ | v_ {n} -v \ right \ | \ to 0}$${\ displaystyle n \ to \ infty.}$${\ displaystyle (X, \ | \ cdot \ |)}$${\ displaystyle \ | xy \ | = \ | xz \ | + \ | zy \ | {\ text {para todos}} x, y \ em X {\ text {e}} z \ in [x, y]. }$

Duas normas e em um espaço vetorial são chamadas${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ beta}}$${\ displaystyle X}$equivalente se eles induzem a mesma topologia, o que acontece se e somente se existirem números reais positivosCeDtais que para todos${\ displaystyle x \ in X}$

$${\ displaystyle C \ | x \ | _ {\ alpha} \ leq \ | x \ | _ {\ beta} \ leq D \ | x \ | _ {\ alpha}.}$$

Por exemplo, se em então ${\ displaystyle p> r \ geq 1}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n},}$

$${\ displaystyle \ | x \ | _ {p} \ leq \ | x \ | _ {r} \ leq n ^ {(1 / r-1 / p)} \ | x \ | _ {p}.}$$

Em particular,

$${\ displaystyle \ | x \ | _ {2} \ leq \ | x \ | _ {1} \ leq {\ sqrt {n}} \ | x \ | _ {2}}$$

$${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} \ leq \ | x \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {n}} \ | x \ | _ {\ infty}}$$

$${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} \ leq \ | x \ | _ {1} \ leq n \ | x \ | _ {\ infty},}$$

Isso é,

$${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} \ leq \ | x \ | _ {2} \ leq \ | x \ | _ {1} \ leq {\ sqrt {n}} \ | x \ | _ {2} \ leq n \ | x \ | _ {\ infty}.}$$

Se o espaço vetorial é real ou complexo de dimensão finita, todas as normas são equivalentes. Por outro lado, no caso de espaços vetoriais de dimensão infinita, nem todas as normas são equivalentes.

Normas equivalentes definem as mesmas noções de continuidade e convergência e, para muitos propósitos, não precisam ser distinguidas. Para ser mais preciso, a estrutura uniforme definida por normas equivalentes no espaço vetorial é uniformemente isomórfica .

Classificação dos seminormes: conjuntos absorventes absolutamente convexos

Artigo principal: Seminorm

Todas as seminormas em um espaço vetorial podem ser classificadas em termos de

subconjuntos A de absorção absolutamente convexos. A cada subconjunto corresponde uma seminormidade p _A chamada calibre de A , definida como ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X.}$

$${\ displaystyle p_ {A} (x): = \ inf \ {r \ in \ mathbb {R}: r> 0, x \ in rA \}}$$

onde 'inf' é o ínfimo , com a propriedade que

$${\ displaystyle \ left \ {x \ in X: p_ {A} (x) <1 \ right \} ~ \ subseteq ~ A ~ \ subseteq ~ \ left \ {x \ in X: p_ {A} (x) \ leq 1 \ right \}.}$$

Por outro lado:

Qualquer espaço vetorial topológico localmente convexo tem uma base local que consiste em conjuntos absolutamente convexos. Um método comum para construir tal base é usar uma família ( p ) de seminormas p que separa os pontos : a coleção de todas as interseções finitas de conjuntos { p <1 / n } transforma o espaço em um espaço vetorial topológico localmente convexo para que todo p é contínuo .

Esse método é usado para projetar topologias fracas e fracas * .

caso norma:

Suponha agora que ( p ) contém um único p : como ( p ) está se separando , p é uma norma e é sua

bola unitária aberta . Então A é uma vizinhança limitada absolutamente convexa de 0 e é contínua.${\ displaystyle A = \ {p <1 \}}$${\ displaystyle p = p_ {A}}$

O inverso é devido a Andrey Kolmogorov : qualquer espaço vetorial topológico localmente convexo e limitado localmente é normalizável . Precisamente:

Se for uma vizinhança limitada absolutamente convexa de 0, o medidor (portanto, é uma norma.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g_ {X}}$${\ displaystyle X = \ {g_ {X} <1 \}}$

Veja também

• Norma assimétrica  - Generalização do conceito de norma
• F-seminorm
• Norma Gowers
• Distância de Mahalanobis
• Magnitude (matemática)
• Norma de matriz  - norma em um espaço vetorial de matrizes
• Distância de Minkowski
• Minkowski funcional
• Norma do operador  - Medida do "tamanho" dos operadores lineares
• Paranorm
• Relação de normas e métricas
• Seminorm
• Função Sublinear

Referências

Bibliografia

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Topological Vector Spaces: Capítulos 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traduzido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .

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