Jogo de forma normal - Normal-form game

Na teoria dos jogos , a forma normal é a descrição de um jogo . Ao contrário da forma extensa , as representações da forma normal não são gráficas per se , mas representam o jogo por meio de uma matriz . Embora essa abordagem possa ser mais útil na identificação de estratégias estritamente dominadas e equilíbrios de Nash , algumas informações são perdidas em comparação com representações de forma extensiva. A representação de forma normal de um jogo inclui todas as estratégias perceptíveis e concebíveis , e seus respectivos pagamentos, para cada jogador.

Em jogos estáticos de informações completas e perfeitas , uma representação de forma normal de um jogo é uma especificação dos espaços de estratégia dos jogadores e das funções de pagamento. Um espaço de estratégia para um jogador é o conjunto de todas as estratégias disponíveis para aquele jogador, enquanto uma estratégia é um plano de ação completo para cada fase do jogo, independentemente de essa fase realmente surgir no jogo. Uma função de payoff para um jogador é um mapeamento do produto cruzado dos espaços de estratégia dos jogadores para o conjunto de payoffs desse jogador (normalmente o conjunto de números reais, onde o número representa uma utilidade cardinal ou ordinal - frequentemente cardinal na forma normal representação) de um jogador, ou seja, a função de payoff de um jogador toma como entrada um perfil de estratégia (que é uma especificação de estratégias para cada jogador) e produz uma representação de payoff como sua saída.

Um exemplo

Um jogo de forma normal
Jogador 2

Jogador 1
Deixou Direito
Principal 4 , 3 -1 , -1
Fundo 0 , 0 3 , 4

A matriz fornecida é uma representação de forma normal de um jogo no qual os jogadores se movem simultaneamente (ou pelo menos não observam o movimento do outro jogador antes de fazer o seu) e recebem os pagamentos conforme especificado para as combinações de ações jogadas. Por exemplo, se o jogador 1 joga no topo e o jogador 2 joga à esquerda, o jogador 1 recebe 4 e o jogador 2 recebe 3. Em cada célula, o primeiro número representa o pagamento para o jogador da linha (neste caso, o jogador 1), e o segundo número representa o pagamento para o jogador da coluna (neste caso, o jogador 2).

Outras representações

Uma topologia parcial de jogos de dois jogadores e estratégia, incluindo jogos como dilema do prisioneiro , caça ao cervo e frango

Freqüentemente, os jogos simétricos (onde os pagamentos não dependem de qual jogador escolhe cada ação) são representados com apenas um pagamento. Este é o pagamento para o jogador da linha. Por exemplo, as matrizes de payoff à direita e à esquerda abaixo representam o mesmo jogo.

Ambos os jogadores
Jogador 2

Jogador 1
Veado lebre
Veado 3, 3 0, 2
lebre 2, 0 2, 2
Apenas remar
Jogador 2

Jogador 1
Veado lebre
Veado 3 0
lebre 2 2

O espaço topológico de jogos com matrizes de payoffs relacionadas também pode ser mapeado, com jogos adjacentes tendo as matrizes mais semelhantes. Isso mostra como mudanças incrementais de incentivos podem mudar o jogo.

Usos de forma normal

Estratégias dominadas

O Dilema do Prisioneiro
Jogador 2

Jogador 1
Colaborar Defeito
Colaborar -1, -1 -5, 0
Defeito 0, −5 -2, -2

A matriz de payoff facilita a eliminação de estratégias dominadas e geralmente é usada para ilustrar esse conceito. Por exemplo, no dilema do prisioneiro , podemos ver que cada prisioneiro pode "cooperar" ou "desertar". Se exatamente um prisioneiro desertar, ele sai facilmente e o outro prisioneiro fica preso por um longo tempo. No entanto, se os dois desertarem, os dois ficarão trancados por um período mais curto. Pode-se determinar que Cooperate é estritamente dominado por Defect . Deve-se comparar os primeiros números em cada coluna, neste caso 0> −1 e −2> −5. Isso mostra que não importa o que o jogador da coluna escolha, o jogador da linha se sai melhor escolhendo Defeito . Da mesma forma, compara-se o segundo payoff em cada linha; novamente 0> −1 e −2> −5. Isso mostra que não importa o que a linha faça, a coluna se sai melhor escolhendo Defeito . Isso demonstra que o equilíbrio de Nash único deste jogo é ( Defeito , Defeito ).

Jogos sequenciais na forma normal

Ilustração de forma extensa e normal de um jogo sequencial com subjogos imperfeitos e equilíbrios de Nash perfeitos marcados com vermelho e azul, respectivamente.
Um jogo sequencial
Jogador 2

Jogador 1
Esquerda, Esquerda Esquerda direita Direita esquerda Certo, certo
Principal 4, 3 4, 3 -1, -1 -1, -1
Fundo 0, 0 3, 4 0, 0 3, 4

Essas matrizes representam apenas jogos em que os movimentos são simultâneos (ou, mais geralmente, a informação é imperfeita ). A matriz acima não representa o jogo em que o jogador 1 se move primeiro, observado pelo jogador 2, e depois o jogador 2 se move, porque não especifica cada uma das estratégias do jogador 2 neste caso. Para representar este jogo sequencial , devemos especificar todas as ações do jogador 2, mesmo em contingências que nunca podem surgir no decorrer do jogo. Neste jogo, o jogador 2 tem ações, como antes, Esquerda e Direita . Ao contrário de antes, ele tem quatro estratégias, dependendo das ações do jogador 1. As estratégias são:

  1. Esquerda se o jogador 1 jogar Top e Esquerda caso contrário
  2. Esquerda se o jogador 1 jogar superior e direita caso contrário
  3. Direita se o jogador 1 jogar Top e Esquerda caso contrário
  4. Certo se o jogador 1 jogar Top e Direito caso contrário

À direita está a representação de forma normal deste jogo.

Formulação geral

Para que um jogo esteja na forma normal, são-nos fornecidos os seguintes dados:

Existe um conjunto finito I de jogadores, cada jogador é denotado por i . Cada jogador i tem um número finito de k estratégias puras

UMA perfil de estratégia pura é uma associação de estratégias aos jogadores, ou seja, umaI-tupla

de tal modo que

UMA função de recompensa é uma função

cuja interpretação pretendida é o prêmio dado a um único jogador no resultado do jogo. Consequentemente, para especificar completamente um jogo, a função de pagamento deve ser especificada para cada jogador no conjunto de jogadores I = {1, 2, ..., I }.

Definição : um jogo na forma normal é uma estrutura

Onde:

é um conjunto de jogadores,

é um I -tuple de conjuntos de estratégia pura, um para cada jogador, e

é um I -tuplo de funções de payoff.

Referências

  • Fudenberg, D .; Tirole, J. (1991). Teoria dos jogos . MIT Press. ISBN 0-262-06141-4.
  • Leyton-Brown, Kevin; Shoham, Yoav (2008). Essentials of Game Theory: A Concise, Multidisciplinary Introduction . San Rafael, CA: Morgan & Claypool Publishers. ISBN 978-1-59829-593-1.. Uma introdução matemática de 88 páginas; grátis online em muitas universidades.
  • Luce, RD ; Raiffa, H. (1989). Jogos e decisões . Publicações de Dover. ISBN 0-486-65943-7.
  • Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagentes: Fundamentos algorítmicos, teóricos dos jogos e lógicos . Nova York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.. Uma referência abrangente de uma perspectiva computacional; consulte o Capítulo 3. Para download gratuito online .
  • Weibull, J. (1996). Teoria Evolutiva dos Jogos . MIT Press. ISBN 0-262-23181-6.
  • J. von Neumann e O. Morgenstern , Theory of games and Economic Behavior , John Wiley Science Editions, 1964. Que foi originalmente publicado em 1944 pela Princeton University Press.