Espaço vetorial normatizado - Normed vector space

Hierarquia de espaços matemáticos. Espaços vetoriais normados são um superconjunto de espaços de produto interno e um subconjunto de espaços métricos , que por sua vez é um subconjunto de espaços topológicos .

Em matemática , um espaço vetorial normatizado ou espaço vetorial normado é um espaço vetorial sobre os números reais ou complexos , no qual uma norma é definida. Uma norma é a formalização e a generalização para espaços vetoriais reais da noção intuitiva de "comprimento" no mundo real. Uma norma é uma função de valor real definida no espaço vetorial que é comumente denotada e tem as seguintes propriedades: ${\ displaystyle x \ mapsto \ | x \ |,}$

1. É não negativo, ou seja, para cada vetor x , um tem${\ displaystyle \ | x \ | \ geq 0.}$
2. É positivo em vetores diferentes de zero, ou seja,

   ${\ displaystyle \ | x \ | = 0 \ Longleftrightarrow x = 0.}$

3. Para cada vetor x , e cada escalar tem ${\ displaystyle \ alpha,}$

   ${\ displaystyle \ | \ alpha x \ | = | \ alpha | \ | x \ |.}$

4. A desigualdade do triângulo se mantém; ou seja, para cada vetor x e y , um tem

   ${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}$

Uma norma induz uma distância , chamada de métrica induzida (norma) , pela fórmula

${\ displaystyle d (x, y) = \ | yx \ |.}$

que transformam qualquer espaço vetorial normalizado em um espaço métrico e um espaço vetorial topológico . Se essa métrica estiver completa , o espaço normado é um espaço de Banach . Cada espaço vetorial normatizado pode ser "estendido exclusivamente" para um espaço de Banach, o que torna os espaços normados intimamente relacionados aos espaços de Banach. Cada espaço de Banach é um espaço normatizado, mas o inverso não é verdade. Por exemplo, o conjunto das sequências finitas de números reais pode ser normatizado com a norma euclidiana , mas não é completo para esta norma. ${\ displaystyle d}$

Um espaço de produto interno é um espaço vetorial normatizado cuja norma é a raiz quadrada do produto interno de um vetor e ele mesmo. A norma euclidiana de um espaço vetorial euclidiano é um caso especial que permite definir a distância euclidiana pela fórmula

${\ displaystyle d (A, B) = \ | {\ overrightarrow {AB}} \ |.}$

O estudo de espaços normados e espaços de Banach é uma parte fundamental da análise funcional , que é um subcampo importante da matemática.

Definição

Um espaço vetorial normatizado é um espaço vetorial equipado com uma norma . Um espaço vetorial seminormado é um espaço vetorial equipado com um seminormato .

Uma variação útil da desigualdade do triângulo é

${\ displaystyle \ left \ | xy \ right \ | \ geq {\ bigl |} \ left \ | x \ right \ | - \ left \ | y \ right \ | {\ bigr |}}$para quaisquer vetores x e y .

Isso também mostra que uma norma vetorial é uma função contínua .

A propriedade 2 depende da escolha da norma no campo dos escalares. Quando o campo escalar é (ou mais geralmente um subconjunto de ), geralmente é considerado o valor absoluto comum , mas outras opções são possíveis. Por exemplo, para um espaço vetorial acima de um, pode-se considerar a norma p -ádica . ${\ displaystyle | \ alpha |}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle | \ alpha |}$

Estrutura topológica

Se ( V , ‖ · ‖) é um espaço vectorial normalizado, a norma ‖ · ‖ induz uma métrica (uma noção de distância ) e, por conseguinte, uma topologia em V . Esta métrica é definida de forma natural: a distância entre dois vetores u e v é dada por ‖ u  -  v ‖. Esta topologia é precisamente a topologia mais fraca que torna ‖ · ‖ contínua e que é compatível com a estrutura linear de V no seguinte sentido:

1. A adição vetorial +: V × V → V é conjuntamente contínua em relação a esta topologia. Isso decorre diretamente da desigualdade do triângulo .
2. A multiplicação escalar ·: K  ×  V  →  V , onde K é o campo escalar subjacente de V , é conjuntamente contínua. Isso decorre do triângulo de desigualdade e homogeneidade da norma.

Da mesma forma, para qualquer espaço vectorial semi-normalizado podemos definir a distância entre dois vectores de u e v como ‖ u  -  v ‖. Isso transforma o espaço seminormado em um espaço pseudométrico (observe que é mais fraco do que uma métrica) e permite a definição de noções como continuidade e convergência . Para colocá-lo de forma mais abstrata, cada espaço vetorial seminormado é um espaço vetorial topológico e, portanto, carrega uma estrutura topológica que é induzida pela seminorma.

De especial interesse são os espaços normatizados completos chamados espaços de Banach . Todo espaço vetorial normatizado V fica como um subespaço denso dentro de um espaço de Banach; este espaço Banach é essencialmente definido exclusivamente por V e é chamado a conclusão de V .

Duas normas no mesmo espaço vetorial são chamadas de equivalentes se definirem a mesma topologia . Em um espaço vetorial de dimensão finita, todas as normas são equivalentes, mas isso não é verdade para espaços vetoriais de dimensão infinita.

Todas as normas em um espaço vetorial de dimensão finita são equivalentes do ponto de vista topológico, pois induzem a mesma topologia (embora os espaços métricos resultantes não precisem ser os mesmos). E como qualquer espaço euclidiano está completo, podemos concluir que todos os espaços vetoriais normados de dimensão finita são espaços de Banach. Um espaço vetorial normado V é localmente compacto se e somente se a esfera unitária B  = { x  : ‖ x ‖ ≤ 1} for compacta , que é o caso se e somente se V for finito-dimensional; isso é uma consequência do lema de Riesz . (Na verdade, um resultado mais geral é verdadeiro: um espaço vetorial topológico é localmente compacto se e somente se tiver dimensão finita. A questão aqui é que não presumimos que a topologia venha de uma norma.)

A topologia de um espaço vetorial seminormado tem muitas propriedades interessantes. Dado um sistema de vizinhança em torno de 0, podemos construir todos os outros sistemas de vizinhança como ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) = x + {\ mathcal {N}} (0): = \ {x + N \ mid N \ in {\ mathcal {N}} (0) \}}$

com

${\ displaystyle x + N: = \ {x + n \ mid n \ in N \}}$.

Além disso, existe uma base de vizinhança para 0 consistindo em conjuntos absorventes e convexos . Como esta propriedade é muito útil na análise funcional , generalizações de espaços vetoriais normados com esta propriedade são estudadas sob o nome de espaços localmente convexos .

Espaços normais

Um espaço vectorial topológico é chamado normable se existe uma norma em X de modo a que as métricas canónicos induz a topologia em X . O seguinte teorema é devido a Kolmogorov : ${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ | yx \ |}$${\ displaystyle \ tau}$

Teorema Um espaço vetorial topológico de Hausdorff é normable se e somente se existe uma vizinhança convexa, von Neumann limitada de . ${\ displaystyle 0 \ in X}$

Um produto de uma família de espaços normaveis é normavel se e somente se apenas finitamente muitos dos espaços não forem triviais (ie ). Além disso, o quociente de um espaço normalizável X por um subespaço vetorial fechado C é normalizável e se, além disso , a topologia de X é dada por uma norma, então o mapa dado por é uma norma bem definida em X / C que induz a topologia quociente em X / C . ${\ displaystyle \ neq \ {0 \}}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle X / C \ to \ mathbb {R}}$${\ textstyle x + C \ mapsto \ inf _ {c \ in C} \ | x + c \ |}$

Se X for um espaço vetorial topológico localmente convexo de Hausdorff , os seguintes itens são equivalentes:

1. X é normalizado.
2. X tem uma vizinhança limitada da origem.
3. o dual forte de X é normalizado.${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$
4. o dual forte de X é metrizável .${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$

Além disso, X é finito dimensional se e somente se for normalizado (aqui denota dotado com a topologia fraca- * ). ${\ displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$

Mapas lineares e espaços duplos

Os mapas mais importantes entre dois espaços vetoriais normados são os mapas lineares contínuos . Junto com esses mapas, os espaços vetoriais normatizados formam uma categoria .

A norma é uma função contínua em seu espaço vetorial. Todos os mapas lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita também são contínuos.

Um isometría entre dois espaços vector normados é um mapa linear f que preserva a norma (significando ‖ f ( v ) = ‖ ‖ v ‖ para todos os vectores de v ). As isometrias são sempre contínuas e injetivas . Uma isometria sobrejetiva entre os espaços vetoriais normados V e W é chamada de isomorfismo isométrico , e V e W são chamados de isometricamente isomórfico . Espaços vetoriais normados isometricamente isomórficos são idênticos para todos os fins práticos.

Ao falar de espaços vetoriais normatizados, aumentamos a noção de espaço dual para levar a norma em consideração. O V  ' dual de um espaço vetorial normado V é o espaço de todos os mapas lineares contínuos de V ao campo base (os complexos ou os reais) - esses mapas lineares são chamados de "funcionais". A norma de um funcional φ é definida como o supremo de | φ ( v ) | onde v gamas mais de todos os vectores unitários (isto é, vectores de norma 1) no V . Isso transforma V  'em um espaço vetorial normalizado. Um importante teorema sobre funcionais lineares contínuos em espaços vetoriais normados é o teorema de Hahn-Banach .

Espaços normados como espaços quocientes de espaços seminormados

A definição de muitos espaços normados (em particular, espaços de Banach ) envolve um seminorma definido em um espaço vetorial e então o espaço normado é definido como o espaço quociente pelo subespaço de elementos do seminorma zero. Por exemplo, com os espaços L ^p , a função definida por

${\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int | f (x) | ^ {p} \; dx \ right) ^ {1 / p}}$

é uma seminorma no espaço vetorial de todas as funções nas quais a integral de Lebesgue no lado direito é definida e finita. No entanto, o seminorm é igual a zero para qualquer função suportada em um conjunto de medida Lebesgue zero. Essas funções formam um subespaço que "eliminamos", tornando-as equivalentes à função zero.

Espaços finitos de produto

Dados n espaços seminormizados X _i com seminários q _i podemos definir o espaço do produto como

${\ displaystyle X: = \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$

com adição de vetor definida como

${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) + (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}): = (x_ {1} + y_ {1}, \ ldots, x_ { n} + y_ {n})}$

e multiplicação escalar definida como

${\ displaystyle \ alpha (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}): = (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n})}$.

Definimos uma nova função q

${\ displaystyle q: X \ to \ mathbb {R}}$

por exemplo como

${\ displaystyle q: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} (x_ {i})}$.

que é um semi normais em X . A função q é uma norma se e somente se todos os q _i são normas.

De forma mais geral, para cada p real ≥1, temos a seminorma:

${\ displaystyle q: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} (x_ {i}) ^ {p} \ direita) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

Para cada p isso define o mesmo espaço topológico.

Um argumento direto envolvendo álgebra linear elementar mostra que os únicos espaços seminormizados de dimensão finita são aqueles que surgem como o espaço do produto de um espaço normado e um espaço com seminorm trivial. Consequentemente, muitos dos exemplos e aplicações mais interessantes de espaços seminormados ocorrem para espaços vetoriais de dimensão infinita.

Veja também

• Espaço de Banach , espaços vetoriais normados que são completos em relação à métrica induzida pela norma
• Banach – Mazur compactum  - Conjunto de subespaços n-dimensionais de um espaço normado transformado em um espaço métrico compacto.
• Variedade de Finsler , onde o comprimento de cada vetor tangente é determinado por uma norma
• Espaço de produto interno , espaços vetoriais normados onde a norma é dada por um produto interno
• Critério de normabilidade de Kolmogorov
• Espaço vetorial topológico localmente convexo - um espaço vetorial com uma topologia definida por conjuntos abertos convexos
• Espaço (matemática) - conjunto matemático com alguma estrutura adicionada
• Espaço vetorial topológico - um espaço vetorial com noção de proximidade

Referências

Bibliografia

• Rudin, Walter (1991). Análise funcional . Série Internacional em Matemática Pura e Aplicada. 8 (segunda edição). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems , Mathematics and its Applications (East European Series), 29 (Traduzido do polonês por Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Varsóvia: D. Reidel Publishing Co .; PWN — Polish Scientific Publishers, pp. Xvi + 524, doi : 10.1007 / 978-94-015-7758-8 , ISBN 90-277-2186-6, MR  0920371 , OCLC  13064804
• Schaefer, HH (1999). Espaços vetoriais topológicos . New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espaços Vetoriais Topológicos, Distribuições e Kernels . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

links externos

• Mídia relacionada a espaços normados no Wikimedia Commons