Modelo de casca nuclear - Nuclear shell model

Na física nuclear , física atômica e química nuclear , o modelo de camada nuclear é um modelo do núcleo atômico que usa o princípio de exclusão de Pauli para descrever a estrutura do núcleo em termos de níveis de energia. O primeiro modelo de casca foi proposto por Dmitry Ivanenko (junto com E. Gapon) em 1932. O modelo foi desenvolvido em 1949 após o trabalho independente de vários físicos, principalmente Eugene Paul Wigner , Maria Goeppert Mayer e J. Hans D. Jensen , que compartilhou o Prêmio Nobel de Física de 1963 por suas contribuições.

O modelo de camada nuclear é parcialmente análogo ao modelo de camada atômica, que descreve o arranjo dos elétrons em um átomo, em que uma camada preenchida resulta em maior estabilidade. Ao adicionar nucleons ( prótons ou nêutrons ) a um núcleo, existem certos pontos onde a energia de ligação do próximo nucleon é significativamente menor do que a do último. Esta observação, de que existem certos números mágicos de núcleons ( 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 ) que são mais fortemente ligados do que o próximo número superior, é a origem do modelo de casca.

As camadas de prótons e nêutrons são independentes umas das outras. Portanto, existem "núcleos mágicos" em que um tipo de núcleo ou outro está em um número mágico, e " núcleos duplamente mágicos ", onde ambos estão. Devido a algumas variações no preenchimento orbital, os números mágicos superiores são 126 e, especulativamente, 184 para nêutrons, mas apenas 114 para prótons, desempenhando um papel na busca pela chamada ilha de estabilidade . Alguns números semimágicos foram encontrados, notavelmente Z  =  40 dando o preenchimento da camada nuclear para os vários elementos; 16 também pode ser um número mágico.

Para obter esses números, o modelo de camada nuclear parte de um potencial médio com uma forma algo entre o poço quadrado e o oscilador harmônico . A este potencial, um termo de órbita de spin é adicionado. Mesmo assim, a perturbação total não coincide com o experimento, e um acoplamento de spin orbit empírico deve ser adicionado com pelo menos dois ou três valores diferentes de sua constante de acoplamento, dependendo dos núcleos em estudo.

As lacunas empíricas do próton e do nêutron, obtidas numericamente a partir das energias de ligação observadas. Diferentes lacunas de shell são mostradas em números mágicos rotulados e em .

No entanto, os números mágicos de nucleons, bem como outras propriedades, podem ser obtidos aproximando o modelo com um oscilador harmônico tridimensional mais uma interação spin-órbita . Um potencial mais realista, mas também complicado, é conhecido como potencial Woods-Saxon .

Modelo de oscilador harmônico modificado

Considere um oscilador harmônico tridimensional . Isso daria, por exemplo, nos primeiros três níveis (" " é o número quântico do momento angular )

nível n m m s
0 0 0 + 12
- 12
1 1 +1 + 12
- 12
0 + 12
- 12
-1 + 12
- 12
2 0 0 + 12
- 12
2 +2 + 12
- 12
+1 + 12
- 12
0 + 12
- 12
-1 + 12
- 12
-2 + 12
- 12

Podemos nos imaginar construindo um núcleo adicionando prótons e nêutrons. Eles sempre preencherão o nível mais baixo disponível. Assim, os primeiros dois prótons preenchem o nível zero, os próximos seis prótons preenchem o nível um e assim por diante. Como acontece com os elétrons na tabela periódica , os prótons na camada mais externa serão ligados de forma relativamente frouxa ao núcleo se houver apenas alguns prótons nessa camada, porque eles estão mais distantes do centro do núcleo. Portanto, os núcleos que possuem uma camada externa completa de prótons terão uma energia de ligação mais alta do que outros núcleos com um número total de prótons semelhante. Tudo isso também é verdade para nêutrons.

Isso significa que os números mágicos devem ser aqueles em que todas as cápsulas ocupadas estão cheias. Vemos que para os primeiros dois números obtemos 2 (nível 0 cheio) e 8 (níveis 0 e 1 cheio), de acordo com a experiência. No entanto, o conjunto completo de números mágicos não resulta corretamente. Eles podem ser calculados da seguinte forma:

Em um oscilador harmônico tridimensional, a degenerescência total no nível n é .
Devido ao spin , a degenerescência é duplicada e é .
Assim, os números mágicos seriam
para todos os inteiros k . Isso dá os seguintes números mágicos: 2, 8, 20, 40, 70, 112, ..., que concordam com a experiência apenas nas três primeiras entradas. Esses números são o dobro dos números tetraédricos (1, 4, 10, 20, 35, 56, ...) do Triângulo de Pascal .

Em particular, os primeiros seis shells são:

  • nível 0: 2 estados ( = 0) = 2.
  • nível 1: 6 estados ( = 1) = 6.
  • nível 2: 2 estados ( = 0) + 10 estados ( = 2) = 12.
  • nível 3: 6 estados ( = 1) + 14 estados ( = 3) = 20.
  • nível 4: 2 estados ( = 0) + 10 estados ( = 2) + 18 estados ( = 4) = 30.
  • nível 5: 6 estados ( = 1) + 14 estados ( = 3) + 22 estados ( = 5) = 42.

onde para cada existem 2 +1 valores diferentes de m l e 2 valores de m s , dando um total de 4 +2 estados para cada nível específico.

Esses números são o dobro dos valores dos números triangulares do Triângulo Pascal: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ....

Incluindo uma interação spin-órbita

A seguir, incluímos uma interação spin-órbita . Primeiro, temos que descrever o sistema pelos números quânticos j , m j e paridade em vez de , m l e m s , como no átomo de hidrogênio . Uma vez que cada nível par inclui apenas valores pares de , ele inclui apenas estados de paridade par (positiva). Da mesma forma, cada nível ímpar inclui apenas estados de paridade ímpar (negativa). Portanto, podemos ignorar a paridade nos estados de contagem. As primeiras seis camadas, descritas pelos novos números quânticos, são

  • nível 0 ( n = 0): 2 estados ( j = 12 ). Paridade par.
  • nível 1 ( n = 1): 2 estados ( j = 12 ) + 4 estados ( j = 32 ) = 6. Paridade ímpar.
  • nível 2 ( n = 2): 2 estados ( j = 12 ) + 4 estados ( j = 32 ) + 6 estados ( j = 52 ) = 12. Paridade par.
  • nível 3 ( n = 3): 2 estados ( j = 12 ) + 4 estados ( j = 32 ) + 6 estados ( j = 52 ) + 8 estados ( j = 72 ) = 20. Paridade ímpar.
  • nível 4 ( n = 4): 2 estados ( j = 12 ) + 4 estados ( j = 32 ) + 6 estados ( j = 52 ) + 8 estados ( j = 72 ) + 10 estados ( j = 92 ) = 30. Paridade par.
  • nível 5 ( n = 5): 2 estados ( j = 12 ) + 4 estados ( j = 32 ) + 6 estados ( j = 52 ) + 8 estados ( j = 72 ) + 10 estados ( j = 92 ) + 12 estados ( j = 112 ) = 42. Paridade ímpar.

onde para cada j2 j + 1 estados diferentes de diferentes valores de m j .

Devido à interação spin-órbita, as energias dos estados do mesmo nível, mas com j diferente , não serão mais idênticas. Isso ocorre porque nos números quânticos originais, quando é paralelo a , a energia de interação é positiva; e, neste caso, j = + s = + 12 . Quando é antiparalelo a (ou seja, alinhado de forma oposta), a energia de interação é negativa e, neste caso, j = - s = - 12 . Além disso, a força da interação é aproximadamente proporcional a .

Por exemplo, considere os estados no nível 4:

  • Os 10 estados com j = 92 vêm de = 4 es paralelos a . Assim, eles têm uma energia de interação spin-órbita positiva.
  • Os 8 estados com j = 72 vieram de = 4 es anti-paralelo a . Assim, eles têm uma energia de interação spin-órbita negativa.
  • Os 6 estados com j = 52 vieram de = 2 es paralelo a . Assim, eles têm uma energia de interação spin-órbita positiva. No entanto, sua magnitude é a metade em comparação com os estados com j = 92 .
  • Os 4 estados com j = 32 vieram de = 2 es anti-paralelo a . Assim, eles têm uma energia de interação spin-órbita negativa. No entanto, sua magnitude é a metade em comparação com os estados com j = 72 .
  • Os 2 estados com j = 12 vieram de = 0 e, portanto, têm energia de interação spin-órbita zero.

Mudando o perfil do potencial

O potencial do oscilador harmônico cresce infinitamente conforme a distância do centro r vai para o infinito. Um potencial mais realista, como o potencial Woods-Saxon , se aproximaria de uma constante neste limite. Uma consequência principal é que o raio médio das órbitas dos núcleons seria maior em um potencial realista; Isso leva a um termo reduzido no operador de Laplace do hamiltoniano . Outra diferença principal é que as órbitas com raios médios altos, como aquelas com n alto ou alto , terão uma energia menor do que em um potencial oscilador harmônico. Ambos os efeitos levam a uma redução nos níveis de energia das órbitas altas.

Números mágicos preditos

Níveis de energia baixos em um modelo de camada de partícula única com um potencial oscilador (com um pequeno termo l 2 negativo ) sem spin-órbita (esquerda) e com interação spin-órbita (direita). O número à direita de um nível indica sua degenerescência, ( 2j + 1 ). Os números inteiros em caixas indicam os números mágicos.

Juntamente com a interação spin-órbita, e para magnitudes apropriadas de ambos os efeitos, é levado ao seguinte quadro qualitativo: Em todos os níveis, os estados j mais altos têm suas energias deslocadas para baixo, especialmente para n alto (onde o j mais alto é alto ) Isso se deve tanto à energia da interação spin-órbita negativa quanto à redução da energia resultante da deformação do potencial para um mais realista. O segundo estado j mais alto , ao contrário, tem sua energia deslocada para cima pelo primeiro efeito e para baixo pelo segundo efeito, levando a uma pequena mudança geral. As mudanças na energia dos estados j mais elevados podem, portanto, trazer a energia dos estados de um nível para ficar mais perto da energia dos estados de um nível inferior. Os "shells" do modelo de shell não são mais idênticos aos níveis denotados por n e os números mágicos são alterados.

Podemos então supor que os maiores j estados para n = 3 têm uma energia intermediária entre as energias médias de n = 2 e n = 3, e supor que os maiores j estados para n maiores (pelo menos até n = 7) têm uma energia mais próxima da energia média de n - 1 . Então, obtemos os seguintes shells (veja a figura)

  • 1ª camada: 2 estados ( n = 0, j = 12 ).
  • 2ª camada: 6 estados ( n = 1, j = 12 ou 32 ).
  • 3ª camada: 12 estados ( n = 2, j = 12 , 32 ou 52 ).
  • 4ª camada: 8 estados ( n = 3, j = 72 ).
  • 5ª camada: 22 estados ( n = 3, j = 12 , 32 ou 52 ; n = 4, j = 92 ).
  • 6ª camada: 32 estados ( n = 4, j = 12 , 32 , 52 ou 72 ; n = 5, j = 112 ).
  • 7ª camada: 44 estados ( n = 5, j = 12 , 32 , 52 , 72 ou 92 ; n = 6, j = 132 ).
  • 8ª camada: 58 estados ( n = 6, j = 12 , 32 , 52 , 72 , 92 ou 112 ; n = 7, j = 152 ).

e assim por diante.

Observe que o número de estados após a 4ª camada são números triangulares duplicados mais dois . O acoplamento spin-órbita faz com que os chamados 'níveis de intrusão' caiam da próxima camada superior para a estrutura da camada anterior. Os tamanhos dos intrusos são tais que os próprios tamanhos de conchas resultantes são aumentados para os números triangulares duplicados mais altos imediatamente a partir daqueles do oscilador harmônico. Por exemplo, 1f2p tem 20 nucleons, e o acoplamento spin-orbit adiciona 1g9 / 2 (10 nucleons) levando a uma nova camada com 30 nucleons. 1g2d3s tem 30 nucleons, e a adição do intruso 1h11 / 2 (12 nucleons) resulta em um novo tamanho de shell de 42 e assim por diante.

Os números mágicos são então

  • 2
  • 8 = 2 + 6
  • 20 = 2 + 6 + 12
  • 28 = 2 + 6 + 12 + 8
  • 50 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22
  • 82 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22 + 32
  • 126 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22 + 32 + 44
  • 184 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22 + 32 + 44 + 58

e assim por diante. Isso dá todos os números mágicos observados e também prevê um novo (a chamada ilha de estabilidade ) no valor de 184 (para prótons, o número mágico 126 ainda não foi observado, e considerações teóricas mais complicadas prevêem a mágica número seja 114 em vez disso).

Outra maneira de prever números mágicos (e semimágicos) é traçar a ordem de preenchimento idealizada (com divisão spin-órbita, mas níveis de energia não se sobrepondo). Para consistência, s é dividido em j = 1⁄2 e j = -1⁄2 componentes com 2 e 0 membros, respectivamente. Tirar as contagens totais mais à esquerda e mais à direita dentro das sequências marcadas por / aqui dá os números mágicos e semimágicos.

  • s (2,0) / p (4,2)> 2,2 / 6,8, então (semi) números mágicos 2,2 / 6,8
  • d (6,4): s (2,0) / f (8,6): p (4,2)> 14,18: 20,20 / 28,34: 38,40, então 14,20 / 28 , 40
  • g (10,8): d (6,4): s (2,0) / h (12,10): f (8,6): p (4,2)> 50,58,64,68, 70,70 / 82,92,100,106,110,112, então 50,70 / 82,112
  • i (14,12): g (10,8): d (6,4): s (2,0) / j (16,14): h (12,10): f (8,6): p (4,2)> 126.138.148.156.162.166.168.168 / 184.198.210.220.228.234.238.240, então 126.168 / 184.240

Os números mágicos previstos mais à direita de cada par dentro dos quartetos divididos por / são números tetraédricos duplos do Triângulo Pascal: 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, 240 são 2x 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ..., e os membros mais à esquerda dos pares diferem dos mais à direita por números triangulares duplos: 2 - 2 = 0, 8 - 6 = 2, 20 - 14 = 6, 40 - 28 = 12, 70 - 50 = 20, 112 - 82 = 30, 168 - 126 = 42, 240 - 184 = 56, onde 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, ... são 2 × 0, 1 , 3, 6, 10, 15, 21, 28, ....

Outras propriedades dos núcleos

Este modelo também prevê ou explica com algum sucesso outras propriedades dos núcleos, em particular spin e paridade dos estados fundamentais dos núcleos e, até certo ponto, seus estados excitados também. Leva17
8
O
( oxigênio-17 ) como exemplo: Seu núcleo tem oito prótons preenchendo as três primeiras "camadas" de prótons, oito nêutrons preenchendo as três primeiras "camadas" de nêutrons e um nêutron extra. Todos os prótons em uma camada de prótons completa têm momento angular total zero , uma vez que seus momentos angulares se cancelam. O mesmo é verdade para nêutrons. Todos os prótons no mesmo nível ( n ) têm a mesma paridade (+1 ou -1), e como a paridade de um par de partículas é o produto de suas paridades, um número par de prótons do mesmo nível ( n ) terá +1 paridade. Assim, o momento angular total dos oito prótons e dos primeiros oito nêutrons é zero e sua paridade total é +1. Isso significa que o spin (isto é, o momento angular) do núcleo, bem como sua paridade, são totalmente determinados pelo do nono nêutron. Este está no primeiro (ou seja, energia mais baixa) estado da 4ª camada, que é uma camada d ( = 2), e desde então , isso dá ao núcleo uma paridade geral de +1. Esta 4ª camada d tem um j = 52 , portanto, o núcleo de17
8
O
Espera-se que tem paridade positivo e o momento angular total de 5 / 2 , o qual de facto tem.

As regras para a ordenação das camadas do núcleo são semelhantes às Regras das camadas atômicas de Hund , no entanto, ao contrário de seu uso na física atômica, a conclusão de uma camada não é significada ao atingir o próximo n , como tal, o modelo de camada não pode prever com precisão o ordem dos estados de núcleo excitados, embora seja muito bem-sucedido em prever os estados fundamentais. A ordem dos primeiros termos é listada como segue: 1s, 1p 32 , 1p 12 , 1d 52 , 2s, 1d 32 ... Para maiores esclarecimentos sobre a notação, consulte o artigo sobre Símbolo do termo Russell-Saunders .

Para núcleos mais distantes dos números mágicos, deve-se adicionar a suposição de que, devido à relação entre a força nuclear forte e o momento angular, prótons ou nêutrons com o mesmo n tendem a formar pares de momentos angulares opostos. Portanto, um núcleo com um número par de prótons e um número par de nêutrons tem spin 0 e paridade positiva. Um núcleo com um número par de prótons e um número ímpar de nêutrons (ou vice-versa) tem a paridade do último nêutron (ou próton) e o spin igual ao momento angular total desse nêutron (ou próton). Por "último" queremos dizer as propriedades provenientes do nível de energia mais alto.

No caso de um núcleo com um número ímpar de prótons e um número ímpar de nêutrons, deve-se considerar o momento angular total e a paridade do último nêutron e do último próton. A paridade do núcleo será um produto deles, enquanto o spin do núcleo será um dos resultados possíveis da soma de seus momentos angulares (com outros resultados possíveis sendo estados excitados do núcleo).

A ordenação dos níveis de momento angular dentro de cada camada é de acordo com os princípios descritos acima - devido à interação spin-órbita, com estados de momento angular elevado tendo suas energias deslocadas para baixo devido à deformação do potencial (ou seja, movendo-se de um potencial oscilador harmônico para mais realista). Para pares de núcleos, entretanto, muitas vezes é energeticamente favorável estar em um momento angular alto, mesmo se seu nível de energia para um único núcleo fosse mais alto. Isso se deve à relação entre o momento angular e a força nuclear forte .

O momento magnético nuclear é parcialmente previsto por esta versão simples do modelo de concha. O momento magnético é calculado através j , e é da "última" nucleon, mas núcleos não estão em estados de bem definido e s . Além disso, para núcleos ímpar-ímpares , deve-se considerar os dois "últimos" núcleos, como no deutério . Portanto, obtêm-se várias respostas possíveis para o momento magnético nuclear, uma para cada estado e s combinado possível , e o estado real do núcleo é uma superposição deles. Assim, o momento magnético nuclear real (medido) está em algum lugar entre as respostas possíveis.

O dipolo elétrico de um núcleo é sempre zero, porque seu estado fundamental tem uma paridade definida, então sua densidade de matéria ( onde está a função de onda ) é sempre invariante sob paridade. Esta é geralmente a situação com o dipolo elétrico atômico também.

Momentos multipolares elétricos e magnéticos mais altos não podem ser previstos por esta versão simples do modelo de concha, por razões semelhantes às do deutério .

Incluindo interações residuais

As interações residuais entre os núcleos de valência são incluídas diagonalizando um hamiltoniano efetivo em um espaço de valência fora de um núcleo inerte. Conforme indicado, apenas os estados de uma única partícula situados no espaço de valência estão ativos na base usada.

Para núcleos com dois ou mais núcleons de valência (ou seja, núcleons fora de uma casca fechada), uma interação residual de dois corpos deve ser adicionada. Este termo residual vem da parte da interação entre núcleos não incluída no potencial médio aproximado. Através desta inclusão, diferentes configurações de casca são misturadas e a degenerescência de energia dos estados correspondentes à mesma configuração é quebrada.

Essas interações residuais são incorporadas por meio de cálculos de modelo de casca em um espaço de modelo truncado (ou espaço de valência). Este espaço é medido por uma base de estados de muitas partículas, onde apenas os estados de uma única partícula no espaço do modelo estão ativos. A equação de Schrödinger é resolvida nesta base, usando um hamiltoniano eficaz especificamente adequado para o espaço do modelo. Este hamiltoniano é diferente daquele dos núcleos livres, pois, entre outras coisas, deve compensar as configurações excluídas.

Pode-se eliminar a aproximação do potencial médio inteiramente estendendo o espaço do modelo até o núcleo previamente inerte e tratar todos os estados de uma única partícula até o truncamento do espaço do modelo como ativos. Isso forma a base do modelo de shell sem núcleo , que é um método ab initio . É necessário incluir uma interação de três corpos em tais cálculos para chegar a um acordo com os experimentos.

Rotação coletiva e o potencial deformado

Em 1953, foram encontrados os primeiros exemplos experimentais de bandas rotacionais em núcleos, com seus níveis de energia seguindo o mesmo padrão J (J + 1) de energias das moléculas em rotação. Mecanicamente quântico, é impossível ter uma rotação coletiva de uma esfera, então isso implicava que a forma desses núcleos era não esférica. Em princípio, esses estados rotacionais poderiam ser descritos como superposições coerentes de excitações partícula-buraco na base consistindo de estados de partícula única do potencial esférico. Mas, na realidade, a descrição desses estados dessa maneira é intratável, devido ao grande número de partículas de valência - e essa intratabilidade era ainda maior na década de 1950, quando o poder de computação era extremamente rudimentar. Por essas razões, Aage Bohr , Ben Mottelson e Sven Gösta Nilsson construíram modelos nos quais o potencial era deformado em uma forma elipsoidal. O primeiro modelo de sucesso desse tipo é o que agora é conhecido como modelo de Nilsson . É essencialmente o modelo do oscilador harmônico descrito neste artigo, mas com anisotropia adicionada, de modo que as frequências do oscilador ao longo dos três eixos cartesianos não são todas iguais. Normalmente, a forma é um elipsóide prolato, com o eixo de simetria considerado como sendo z. Como o potencial não é esfericamente simétrico, os estados de uma única partícula não são estados de bom momento angular J. No entanto, um multiplicador de Lagrange , conhecido como termo de "acionamento", pode ser adicionado ao hamiltoniano. Normalmente, o vetor de frequência angular ω é considerado perpendicular ao eixo de simetria, embora a manivela do eixo inclinado também possa ser considerada. O preenchimento dos estados de partícula única até o nível de Fermi produz estados cujo momento angular esperado ao longo do eixo de acionamento é o valor desejado.

Modelos relacionados

Igal Talmi desenvolveu um método para obter as informações de dados experimentais e usá-lo para calcular e prever energias que não foram medidas. Este método foi usado com sucesso por muitos físicos nucleares e levou a uma compreensão mais profunda da estrutura nuclear. A teoria que dá uma boa descrição dessas propriedades foi desenvolvida. Esta descrição acabou por fornecer a base do modelo de concha do elegante e bem-sucedido modelo de bóson de interação .

Um modelo derivado do modelo de camada nuclear é o modelo de partícula alfa desenvolvido por Henry Margenau , Edward Teller , JK Pering, TH Skyrme , às vezes também chamado de modelo Skyrme . Observe, no entanto, que o modelo Skyrme é geralmente considerado um modelo do próprio núcleo, como uma "nuvem" de mésons (píons), ao invés de um modelo do núcleo como uma "nuvem" de partículas alfa.

Veja também

Referências

Leitura adicional

  • Talmi, Igal; de-Shalit, A. (1963). Teoria da casca nuclear . Academic Press. ISBN 978-0-486-43933-4.
  • Talmi, Igal (1993). Modelos simples de núcleos complexos: o modelo de casca e o modelo de bóson em interação . Harwood Academic Publishers. ISBN 978-3-7186-0551-4.

links externos