Vetor nulo - Null vector

Um cone nulo onde ${\ displaystyle q (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Em matemática , dado um espaço vetorial X com uma forma quadrática associada q , escrito ( X , q ) , um vetor nulo ou vetor isotrópico é um elemento diferente de zero x de X para o qual q ( x ) = 0 .

Na teoria das formas bilineares reais , as formas quadráticas definidas e as formas quadráticas isotrópicas são distintas. Eles são diferenciados porque apenas para o último existe um vetor nulo diferente de zero.

Um espaço quadrático ( X , q ) que possui um vetor nulo é chamado de espaço pseudo-euclidiano .

Um espaço vectorial pseudo-euclidiana pode ser decomposto (não exclusivamente) em subespaços ortogonais A e B , X = A + B , em que q é definida positiva em um e negativa-definida em B . O cone nulo , ou cone isotrópico , de X consiste na união de esferas equilibradas:

$${\ displaystyle \ bigcup _ {r \ geq 0} \ {x = a + b: q (a) = - q (b) = r, a \ em A, b \ em B \}.}$$

Exemplos

Os vetores semelhantes à luz do espaço de Minkowski são vetores nulos.

Os quatro biquatérnions linearmente independentes l = 1 + hi , n = 1 + hj , m = 1 + hk e m ^∗ = 1 - hk são vetores nulos e { l , n , m , m ^∗ } podem servir como base para o subespaço usado para representar o espaço-tempo . Vetores nulos também são usados ​​na abordagem do formalismo de Newman-Penrose para variedades do espaço-tempo.

Uma álgebra de composição se divide quando tem um vetor nulo; caso contrário, é uma álgebra de divisão .

No módulo Verma de uma álgebra de Lie, existem vetores nulos.

Referências

• Dubrovin, BA; Fomenko, AT ; Novikov, SP (1984). Geometria Moderna: Métodos e Aplicações . Traduzido por Burns, Robert G. Springer. p. 50 . ISBN 0-387-90872-2.
• Shaw, Ronald (1982). Álgebra Linear e Representações de Grupo . 1 . Academic Press . p. 151. ISBN 0-12-639201-3.
• Neville, EH (Eric Harold) (1922). Prolegômenos de Geometria Analítica em Espaço Euclidiano Anisotrópico de Três Dimensões . Cambridge University Press . p. 204 .