Linha numérica - Number line

Na matemática elementar , uma linha numérica é uma imagem de uma linha reta graduada que serve como abstração para números reais , denotados por . Cada ponto de uma reta numérica é assumido como correspondendo a um número real e cada número real a um ponto. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Os inteiros são freqüentemente mostrados como pontos especialmente marcados, espaçados uniformemente na linha. Embora esta imagem mostre apenas os inteiros de –9 a 9, a linha inclui todos os números reais , continuando para sempre em cada direção, e também os números que estão entre os inteiros. É freqüentemente usado como um auxílio no ensino de adição e subtração simples , especialmente envolvendo números negativos .

Em matemática avançada, as expressões linha de número real ou linha real são normalmente usadas para indicar o conceito acima mencionado de que cada ponto em uma linha reta corresponde a um único número real e vice-versa .

História

A primeira menção da linha número utilizado para fins de operação é encontrada em John Wallis 's Treatise da álgebra . Em seu tratado, Wallis descreve a adição e a subtração em uma linha numérica em termos de movimento para frente e para trás, sob a metáfora de uma pessoa caminhando.

Uma descrição anterior sem menção às operações, porém, é encontrada em John Napier 's A descrição da tabela admirável de logarithmes , cujos valores mostra 1 a 12 alinhados da esquerda para a direita.

Ao contrário da crença popular, La Géométrie original de René Descartes não apresenta uma reta numérica, definida como a usamos hoje, embora use um sistema de coordenadas. Em particular, o trabalho de Descartes não contém números específicos mapeados em linhas, apenas quantidades abstratas.

Desenhar a reta numérica

Uma linha numérica é geralmente representada como sendo horizontal , mas em um plano de coordenadas cartesianas o eixo vertical (eixo y) também é uma linha numérica. De acordo com uma convenção, os números positivos sempre ficam do lado direito do zero, os números negativos sempre ficam do lado esquerdo do zero e as pontas das setas em ambas as extremidades da linha têm o objetivo de sugerir que a linha continua indefinidamente nas direções positiva e negativa . Outra convenção usa apenas uma ponta de seta que indica a direção em que os números crescem. A linha continua indefinidamente nas direções positivas e negativas de acordo com as regras da geometria que definem uma linha sem pontos finais como uma linha infinita , uma linha com um ponto final como um raio e uma linha com dois pontos finais como um segmento de linha .

Comparando números

Se um determinado número estiver mais à direita na reta numérica do que outro número, então o primeiro número é maior que o segundo (equivalentemente, o segundo é menor que o primeiro). A distância entre eles é a magnitude de sua diferença - isto é, ela mede o primeiro número menos o segundo, ou equivalentemente o valor absoluto do segundo número menos o primeiro. Pegar essa diferença é o processo de subtração .

Assim, por exemplo, o comprimento de um segmento de linha entre 0 e algum outro número representa a magnitude do último número.

Dois números podem ser somados "pegando" o comprimento de 0 a um dos números e colocando-o novamente com a extremidade 0 colocada em cima do outro número.

Dois números podem ser multiplicados como neste exemplo: para multiplicar 5 × 3, observe que isso é o mesmo que 5 + 5 + 5, então pegue o comprimento de 0 a 5 e coloque-o à direita de 5 e, em seguida, escolha suba esse comprimento novamente e coloque-o à direita do resultado anterior. Isso dá um resultado de 3 comprimentos combinados de 5 cada; como o processo termina em 15, descobrimos que 5 × 3 = 15.

A divisão pode ser realizada como no exemplo a seguir: Para dividir 6 por 2 - ou seja, descobrir quantas vezes 2 vai para 6 - observe que o comprimento de 0 a 2 está no início do comprimento de 0 a 6; pegue o primeiro comprimento e coloque-o novamente à direita de sua posição original, com a extremidade anteriormente em 0 agora colocada em 2, e então mova o comprimento para a direita de sua última posição novamente. Isso coloca a extremidade direita do comprimento 2 na extremidade direita do comprimento de 0 a 6. Como três comprimentos de 2 preenchiam o comprimento 6, 2 vai para 6 três vezes (ou seja, 6 ÷ 2 = 3).

A ordem na linha numérica: os elementos maiores estão na direção da seta.
A diferença 3-2 = 3 + (- 2) na reta do número real.
A adição 1 + 2 na linha do número real
A diferença absoluta.
A multiplicação 2 vezes 1,5
A divisão 3 ÷ 2 na reta de número real

Porções da linha numérica

O intervalo fechado

[a, b]

.

A seção da reta numérica entre dois números é chamada de intervalo . Se a seção incluir ambos os números, é dito que é um intervalo fechado, enquanto se excluir os dois números é chamado de intervalo aberto. Se incluir um dos números, mas não o outro, é denominado intervalo semiaberto.

Todos os pontos que se estendem para sempre em uma direção a partir de um determinado ponto são conhecidos como um raio . Se o raio incluir o ponto particular, é um raio fechado; caso contrário, é um raio aberto.

Extensões do conceito

Escala logarítmica

Um gráfico log-log de y = x (azul), y = x ² (verde) ey = x ³ (vermelho).
Nota as marcações logarítmicas escala em cada um dos eixos, e que o log x e log y eixos (onde os logaritmos são 0) são, onde x e y si são um.

Na reta numérica, a distância entre dois pontos é o comprimento da unidade se e somente se a diferença dos números representados for igual a 1. Outras escolhas são possíveis.

Uma das escolhas mais comuns é a escala logarítmica , que é uma representação dos números positivos em uma linha, de modo que a distância de dois pontos seja o comprimento da unidade, se a proporção dos números representados tiver um valor fixo, normalmente 10. Em tal escala logarítmica, a origem representa 1; uma polegada para a direita, um tem 10, uma polegada para a direita de 10 um tem 10 × 10 = 100 , então 10 × 100 = 1000 = 10 ³ , então 10 × 1000 = 10.000 = 10 ⁴ , etc. Da mesma forma, um polegada à esquerda de 1, um tem 1/10 = 10 ^-1 , então 1/100 = 10 ^-2 , etc.

Essa abordagem é útil, quando se deseja representar, na mesma figura, valores com ordens de magnitude muito diferentes . Por exemplo, é necessária uma escala logarítmica para representar simultaneamente o tamanho dos diferentes corpos que existem no Universo , normalmente, um fóton , um elétron , um átomo , uma molécula , um ser humano , a Terra , o Sistema Solar , uma galáxia , e o universo visível.

Escalas logarítmicas são usadas em réguas de cálculo para multiplicar ou dividir números adicionando ou subtraindo comprimentos em escalas logarítmicas.

As duas escalas logarítmicas de uma régua de cálculo

Combinando linhas numéricas

Uma linha desenhada através da origem em ângulos retos com a linha do número real pode ser usada para representar os números imaginários . Essa linha, chamada linha imaginária , estende a linha numérica a um plano numérico complexo , com pontos que representam números complexos .

Alternativamente, uma linha de número real pode ser desenhada horizontalmente para denotar valores possíveis de um número real, comumente chamado de x , e outra linha de número real pode ser desenhada verticalmente para denotar valores possíveis de outro número real, comumente chamado de y . Juntas, essas linhas formam o que é conhecido como sistema de coordenadas cartesianas , e qualquer ponto no plano representa o valor de um par de números reais. Além disso, o próprio sistema de coordenadas cartesianas pode ser estendido visualizando uma terceira linha numérica "saindo da tela (ou página)", medindo uma terceira variável chamada z . Os números positivos estão mais próximos dos olhos do observador do que a tela, enquanto os números negativos estão "atrás da tela"; números maiores estão mais distantes da tela. Então, qualquer ponto no espaço tridimensional em que vivemos representa os valores de um trio de números reais.

Veja também

Referências

links externos

Mídia relacionada às linhas numéricas no Wikimedia Commons

Languages

In other projects