Teoria dos Números -Number theory
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A teoria dos números (ou aritmética ou aritmética superior no uso mais antigo) é um ramo da matemática pura dedicado principalmente ao estudo dos inteiros e funções de valor inteiro . O matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) disse: "A matemática é a rainha das ciências - e a teoria dos números é a rainha da matemática". Os teóricos dos números estudam os números primos , bem como as propriedades dos objetos matemáticos feitos de inteiros (por exemplo, números racionais ) ou definidos como generalizações dos inteiros (por exemplo, inteiros algébricos ).
Os inteiros podem ser considerados em si mesmos ou como soluções de equações ( geometria diofantina ). As questões na teoria dos números são muitas vezes melhor compreendidas através do estudo de objetos analíticos (por exemplo, a função zeta de Riemann ) que codificam propriedades dos números inteiros, primos ou outros objetos da teoria dos números de alguma forma ( teoria analítica dos números ). Pode-se também estudar os números reais em relação aos números racionais, por exemplo, aproximados por estes ( aproximação diofantina ).
O termo mais antigo para a teoria dos números é aritmética . No início do século XX, ela foi substituída pela "teoria dos números". (A palavra " aritmética " é usada pelo público em geral para significar " cálculos elementares "; ela também adquiriu outros significados na lógica matemática , como na aritmética de Peano , e na ciência da computação , como na aritmética de ponto flutuante ). termo aritmética para a teoria dos números recuperou algum terreno na segunda metade do século 20, sem dúvida em parte devido à influência francesa. Em particular, aritmética é comumente preferida como um adjetivo para a teoria dos números .
História
Origens
Amanhecer da aritmética
O mais antigo achado histórico de natureza aritmética é um fragmento de uma mesa: a tabuleta de argila quebrada Plimpton 322 ( Larsa, Mesopotâmia , ca. 1800 aC) contém uma lista de " triplos pitagóricos ", isto é, inteiros tais que . Os triplos são muitos e grandes demais para serem obtidos pela força bruta . O título sobre a primeira coluna diz: "O takiltum da diagonal que foi subtraído de tal forma que a largura ..."
A disposição da mesa sugere que ela foi construída por meio do que equivale, em linguagem moderna, à identidade
que está implícito nos exercícios rotineiros da Antiga Babilônia . Se algum outro método fosse usado, os triplos eram primeiro construídos e depois reordenados por , presumivelmente para uso real como uma "tabela", por exemplo, com vistas a aplicações.
Não se sabe quais podem ter sido essas aplicações, ou se poderia ter havido alguma; A astronomia babilônica , por exemplo, só se destacou mais tarde. Em vez disso, foi sugerido que a tabela era uma fonte de exemplos numéricos para problemas escolares.
Enquanto a teoria dos números babilônica - ou o que sobrevive da matemática babilônica que pode ser chamada assim - consiste nesse fragmento único e impressionante, a álgebra babilônica (no sentido de escola secundária de " álgebra ") foi excepcionalmente bem desenvolvida. Fontes neoplatônicas tardias afirmam que Pitágoras aprendeu matemática com os babilônios. Fontes muito anteriores afirmam que Tales e Pitágoras viajaram e estudaram no Egito .
Euclides IX 21-34 é muito provavelmente pitagórico; é um material muito simples ("ímpar vezes par é par", "se um número ímpar mede [= divide] um número par, então ele também mede [= divide] metade dele"), mas é tudo o que é necessário para provar que é irracional . Os místicos pitagóricos davam grande importância ao ímpar e ao par. A descoberta que é irracional é creditada aos primeiros pitagóricos (pré- Teodoro ). Ao revelar (em termos modernos) que os números podem ser irracionais, essa descoberta parece ter provocado a primeira crise fundamental na história da matemática; sua comprovação ou sua divulgação são por vezes creditadas a Hippasus , que foi expulso ou cindido da seita pitagórica. Isso forçou uma distinção entre números (inteiros e racionais – os assuntos da aritmética), por um lado, e comprimentos e proporções (que identificamos com números reais, racionais ou não), por outro.
A tradição pitagórica falava também dos chamados números poligonais ou figurados . Enquanto os números quadrados , os números cúbicos , etc., são vistos agora como mais naturais do que os números triangulares , os números pentagonais , etc. ).
Não conhecemos nenhum material claramente aritmético nas antigas fontes egípcias ou védicas , embora haja alguma álgebra em cada uma. O teorema do resto chinês aparece como um exercício em Sunzi Suanjing (3º, 4º ou 5º século EC). (Há um passo importante encoberto na solução de Sunzi: é o problema que mais tarde foi resolvido pelo Kuṭṭaka de Āryabhaṭa – veja abaixo .)
Há também algum misticismo numérico na matemática chinesa, mas, ao contrário dos pitagóricos, parece não ter levado a lugar nenhum. Como os números perfeitos dos pitagóricos , os quadrados mágicos passaram da superstição para a recreação .
Grécia clássica e o início do período helenístico
Além de alguns fragmentos, a matemática da Grécia Clássica é conhecida por nós através dos relatos de não-matemáticos contemporâneos ou através de trabalhos matemáticos do início do período helenístico. No caso da teoria dos números, isso significa, em geral, Platão e Euclides , respectivamente.
Embora a matemática asiática tenha influenciado o aprendizado grego e helenístico, parece ser o caso de que a matemática grega também é uma tradição indígena.
Eusébio , PE X, capítulo 4 menciona Pitágoras :
"De fato, o dito Pitágoras, enquanto estudava ativamente a sabedoria de cada nação, visitou a Babilônia, o Egito e toda a Pérsia, sendo instruído pelos magos e pelos sacerdotes; estes são filósofos indianos); e de alguns ele colheu astrologia, de outros geometria, e aritmética e música de outros, e coisas diferentes de diferentes nações, e somente dos sábios da Grécia ele não obteve nada, casado como eles eram com um pobreza e falta de sabedoria: assim, pelo contrário, ele próprio se tornou o autor da instrução para os gregos no aprendizado que ele obteve do exterior”.
Aristóteles afirmou que a filosofia de Platão seguiu de perto os ensinamentos dos pitagóricos, e Cícero repete esta afirmação: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Dizem que Platão aprendeu todas as coisas pitagóricas").
Platão tinha um grande interesse pela matemática e distinguia claramente entre aritmética e cálculo. (Por aritmética ele quis dizer, em parte, teorizar sobre o número, em vez do que aritmética ou teoria dos números vieram a significar.) É através de um dos diálogos de Platão — ou seja, Teeteto — que sabemos que Teodoro provou que são irracionais. Teeteto foi, como Platão, um discípulo de Teodoro; ele trabalhou na distinção de diferentes tipos de incomensuráveis e, portanto, foi indiscutivelmente um pioneiro no estudo de sistemas numéricos . (O Livro X dos Elementos de Euclides é descrito por Pappus como sendo amplamente baseado no trabalho de Teeteto.)
Euclides dedicou parte de seus Elementos aos números primos e à divisibilidade, tópicos que pertencem inequivocamente à teoria dos números e são básicos para ela (Livros VII a IX dos Elementos de Euclides ). Em particular, ele deu um algoritmo para calcular o máximo divisor comum de dois números (o algoritmo euclidiano ; Elementos , Prop. VII.2) e a primeira prova conhecida da infinitude dos primos ( Elementos , Prop. IX.20).
Em 1773, Lessing publicou um epigrama que havia encontrado em um manuscrito durante seu trabalho como bibliotecário; afirmava ser uma carta enviada por Arquimedes a Eratóstenes . O epigrama propunha o que ficou conhecido como o problema do gado de Arquimedes ; sua solução (ausente do manuscrito) requer a resolução de uma equação quadrática indeterminada (que se reduz ao que mais tarde seria chamado erroneamente de equação de Pell ). Até onde sabemos, tais equações foram tratadas pela primeira vez com sucesso pela escola indiana . Não se sabe se o próprio Arquimedes tinha um método de solução.
Diofanto
Muito pouco se sabe sobre Diofanto de Alexandria ; ele provavelmente viveu no século III dC, ou seja, cerca de quinhentos anos depois de Euclides. Seis dos treze livros da Arithmetica de Diofanto sobrevivem no original grego e mais quatro sobrevivem em uma tradução árabe. A Aritmética é uma coleção de problemas resolvidos onde a tarefa é invariavelmente encontrar soluções racionais para um sistema de equações polinomiais, geralmente da forma ou . Assim, hoje em dia, falamos de equações diofantinas quando falamos de equações polinomiais para as quais soluções racionais ou inteiras devem ser encontradas.
Pode-se dizer que Diofanto estava estudando pontos racionais, isto é, pontos cujas coordenadas são racionais – em curvas e variedades algébricas ; no entanto, ao contrário dos gregos do período clássico, que fizeram o que hoje chamaríamos de álgebra básica em termos geométricos, Diofanto fez o que hoje chamaríamos de geometria algébrica básica em termos puramente algébricos. Na linguagem moderna, o que Diofanto fez foi encontrar parametrizações racionais de variedades; isto é, dada uma equação da forma (digamos) , seu objetivo era encontrar (em essência) três funções racionais tais que, para todos os valores de e , estabelecendo para fornece uma solução para
Diofanto também estudou as equações de algumas curvas não racionais, para as quais nenhuma parametrização racional é possível. Ele conseguiu encontrar alguns pontos racionais nessas curvas (curvas elípticas , por acaso, no que parece ser sua primeira ocorrência conhecida) por meio do que equivale a uma construção tangente: traduzida em geometria de coordenadas (que não existia no tempo de Diofanto ), seu método seria visualizado como desenhar uma tangente a uma curva em um ponto racional conhecido, e então encontrar o outro ponto de interseção da tangente com a curva; esse outro ponto é um novo ponto racional. (Diofanto também recorreu ao que poderia ser chamado de caso especial de construção secante.)
Enquanto Diofanto estava preocupado em grande parte com soluções racionais, ele assumiu alguns resultados em números inteiros, em particular que todo número inteiro é a soma de quatro quadrados (embora ele nunca tenha declarado isso explicitamente).
Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara
Enquanto a astronomia grega provavelmente influenciou o aprendizado indiano, a ponto de introduzir a trigonometria, parece ser o caso que a matemática indiana é uma tradição indígena; em particular, não há evidências de que os Elementos de Euclides tenham chegado à Índia antes do século XVIII.
Āryabhaṭa (476–550 dC) mostrou que pares de congruências simultâneas , poderiam ser resolvidos por um método que ele chamou de kuṭṭaka , ou pulverizador ; este é um procedimento próximo (uma generalização) do algoritmo euclidiano , que provavelmente foi descoberto independentemente na Índia. Āryabhaṭa parece ter em mente aplicações em cálculos astronômicos.
Brahmagupta (628 d.C.) iniciou o estudo sistemático de equações quadráticas indefinidas - em particular, a equivocadamente chamada equação de Pell , na qual Arquimedes pode ter se interessado primeiro e que não começou a ser resolvida no Ocidente até a época de Fermat e Euler. Mais tarde, autores sânscritos seguiriam, usando a terminologia técnica de Brahmagupta. Um procedimento geral (o chakravala , ou "método cíclico") para resolver a equação de Pell foi finalmente encontrado por Jayadeva (citado no século XI; seu trabalho está perdido); a mais antiga exposição sobrevivente aparece na Bhāskara II 's Bīja-gaṇita (século XII).
A matemática indiana permaneceu em grande parte desconhecida na Europa até o final do século XVIII; O trabalho de Brahmagupta e Bhāskara foi traduzido para o inglês em 1817 por Henry Colebrooke .
Aritmética na idade de ouro islâmica
No início do século IX, o califa Al-Ma'mun ordenou traduções de muitas obras matemáticas gregas e pelo menos uma obra em sânscrito (o Sindhind , que pode ou não ser o Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta ). A principal obra de Diofanto, a Arithmetica , foi traduzida para o árabe por Qusta ibn Luqa (820–912). Parte do tratado al-Fakhri (por al-Karajī , 953 – ca. 1029) baseia-se nele até certo ponto. De acordo com Rashed Roshdi, o contemporâneo de Al-Karajī, Ibn al-Haytham, sabia o que mais tarde seria chamado de teorema de Wilson .
Europa Ocidental na Idade Média
Além de um tratado sobre quadrados em progressão aritmética de Fibonacci - que viajou e estudou no norte da África e Constantinopla - nenhuma teoria dos números foi feita na Europa ocidental durante a Idade Média. As coisas começaram a mudar na Europa no final do Renascimento , graças a um estudo renovado das obras da antiguidade grega. Um catalisador foi a emenda textual e tradução para o latim da Arithmetica de Diofanto .
Teoria dos números moderna precoce
Fermat
Pierre de Fermat (1607–1665) nunca publicou seus escritos; em particular, seu trabalho sobre teoria dos números está quase inteiramente contido em cartas a matemáticos e em notas marginais particulares. Em suas anotações e cartas, quase não escreveu provas - não tinha modelos na área.
Ao longo de sua vida, Fermat fez as seguintes contribuições para o campo:
- Um dos primeiros interesses de Fermat foram os números perfeitos (que aparecem em Euclides, Elementos IX) e os números amigáveis ; esses temas o levaram a trabalhar com divisores inteiros , que desde o início estiveram entre os assuntos da correspondência (1636 em diante) que o colocaram em contato com a comunidade matemática da época.
- Em 1638, Fermat afirmou, sem provas, que todos os números inteiros podem ser expressos como a soma de quatro quadrados ou menos.
- O pequeno teorema de Fermat (1640): se a não é divisível por um primo p , então
- Se aeb são primos , então não é divisível por nenhum primo congruente a −1 módulo 4; e todo primo congruente a 1 módulo 4 pode ser escrito na forma . Essas duas declarações também datam de 1640; em 1659, Fermat declarou a Huygens que havia provado a última afirmação pelo método da descendência infinita .
- Em 1657, Fermat colocou o problema da resolução como um desafio para os matemáticos ingleses. O problema foi resolvido em poucos meses por Wallis e Brouncker. Fermat considerou sua solução válida, mas apontou que eles forneceram um algoritmo sem uma prova (assim como Jayadeva e Bhaskara, embora Fermat não estivesse ciente disso). Ele afirmou que uma prova poderia ser encontrada por descendência infinita.
- Fermat afirmou e provou (por descendência infinita) no apêndice de Observações sobre Diofanto (Obs. XLV) que não tem soluções não triviais nos inteiros. Fermat também mencionou aos seus correspondentes que não tem soluções não triviais, e que isso também pode ser comprovado por descida infinita. A primeira prova conhecida deve-se a Euler (1753; na verdade, por descendência infinita).
- Fermat afirmou ( Último Teorema de Fermat ) ter mostrado que não há soluções para todos ; esta afirmação aparece em suas anotações nas margens de sua cópia de Diofanto.
Euler
O interesse de Leonhard Euler (1707-1783) pela teoria dos números foi estimulado pela primeira vez em 1729, quando um amigo dele, o amador Goldbach , indicou-lhe alguns dos trabalhos de Fermat sobre o assunto. Isso foi chamado de "renascimento" da moderna teoria dos números, após a relativa falta de sucesso de Fermat em chamar a atenção de seus contemporâneos para o assunto. O trabalho de Euler na teoria dos números inclui o seguinte:
- Provas das declarações de Fermat. Isso inclui o pequeno teorema de Fermat (generalizado por Euler para módulos não primos); o fato de que se e somente se ; trabalho inicial para uma prova de que todo inteiro é a soma de quatro quadrados (a primeira prova completa é de Joseph-Louis Lagrange (1770), logo melhorada pelo próprio Euler); a falta de soluções inteiras não nulas para (implicando o caso n=4 do último teorema de Fermat, o caso n=3 do qual Euler também provou por um método relacionado).
- A equação de Pell , inicialmente mal nomeada por Euler. Ele escreveu sobre a ligação entre frações contínuas e a equação de Pell.
- Primeiros passos para a teoria analítica dos números . Em seu trabalho de somas de quatro quadrados, partições , números pentagonais e distribuição de números primos, Euler foi pioneiro no uso do que pode ser visto como análise (em particular, séries infinitas) na teoria dos números. Como viveu antes do desenvolvimento da análise complexa , a maior parte de sua obra se restringe à manipulação formal de séries de potências . Ele fez, no entanto, alguns trabalhos iniciais muito notáveis (embora não totalmente rigorosos) sobre o que mais tarde seria chamado de função zeta de Riemann .
- Formas quadráticas . Seguindo a liderança de Fermat, Euler fez mais pesquisas sobre a questão de quais primos podem ser expressos na forma , alguns deles prefigurando a reciprocidade quadrática .
- Equações diofantinas . Euler trabalhou em algumas equações diofantinas do gênero 0 e 1. Em particular, ele estudou o trabalho de Diophantus ; ele tentou sistematizá-la, mas ainda não havia chegado o momento para tal empreendimento — a geometria algébrica ainda estava em sua infância. Ele notou que havia uma conexão entre problemas diofantinos e integrais elípticas , cujo estudo ele mesmo havia iniciado.
Lagrange, Legendre e Gauss
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) foi o primeiro a dar provas completas de alguns dos trabalhos e observações de Fermat e Euler - por exemplo, o teorema dos quatro quadrados e a teoria básica da mal chamada "equação de Pell" (para a qual um algoritmo A solução foi encontrada por Fermat e seus contemporâneos, e também por Jayadeva e Bhaskara II antes deles.) Ele também estudou formas quadráticas em plena generalidade (em oposição a ) - definindo sua relação de equivalência, mostrando como colocá-las em forma reduzida, etc.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833) foi o primeiro a estabelecer a lei da reciprocidade quadrática. Ele também conjecturou o que equivale ao teorema dos números primos e ao teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas . Ele deu um tratamento completo da equação e trabalhou em formas quadráticas ao longo das linhas desenvolvidas posteriormente por Gauss. Em sua velhice, ele foi o primeiro a provar o Último Teorema de Fermat para (concluindo o trabalho de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , e creditando tanto ele quanto Sophie Germain ).
Em suas Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) provou a lei da reciprocidade quadrática e desenvolveu a teoria das formas quadráticas (em particular, definindo sua composição). Ele também introduziu algumas notações básicas ( congruências ) e dedicou uma seção a questões computacionais, incluindo testes de primalidade. A última seção das Disquisitiones estabeleceu uma ligação entre as raízes da unidade e a teoria dos números:
A teoria da divisão do círculo... que é tratada no sec. 7 não pertence por si só à aritmética, mas seus princípios só podem ser extraídos da aritmética superior.
Desta forma, sem dúvida, Gauss fez uma primeira incursão tanto no trabalho de Évariste Galois quanto na teoria algébrica dos números .
Maturidade e divisão em subcampos
A partir do início do século XIX, os seguintes desenvolvimentos gradualmente ocorreram:
- A ascensão à autoconsciência da teoria dos números (ou aritmética superior ) como um campo de estudo.
- O desenvolvimento de grande parte da matemática moderna necessária para a teoria dos números moderna básica: análise complexa , teoria dos grupos, teoria de Galois — acompanhada de maior rigor na análise e abstração em álgebra.
- A subdivisão grosseira da teoria dos números em seus subcampos modernos - em particular, a teoria dos números analítica e algébrica.
Pode-se dizer que a teoria algébrica dos números começou com o estudo da reciprocidade e da ciclotomia , mas realmente se destacou com o desenvolvimento da álgebra abstrata e da teoria ideal inicial e da teoria da avaliação ; Veja abaixo. Um ponto de partida convencional para a teoria analítica dos números é o teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas (1837), cuja prova introduziu funções L e envolveu alguma análise assintótica e um processo limitante em uma variável real. O primeiro uso de ideias analíticas na teoria dos números remonta a Euler (1730), que usava séries de potências formais e argumentos limitantes não rigorosos (ou implícitos). O uso da análise complexa na teoria dos números vem depois: o trabalho de Bernhard Riemann (1859) sobre a função zeta é o ponto de partida canônico; O teorema dos quatro quadrados de Jacobi (1839), que o antecede, pertence a uma vertente inicialmente diferente que agora assumiu um papel de liderança na teoria analítica dos números ( formas modulares ).
A história de cada subcampo é brevemente abordada em sua própria seção abaixo; veja o artigo principal de cada subcampo para tratamentos mais completos. Muitas das questões mais interessantes em cada área permanecem em aberto e estão sendo ativamente trabalhadas.
Principais subdivisões
Teoria elementar dos números
O termo elementar geralmente denota um método que não usa análise complexa . Por exemplo, o teorema dos números primos foi provado pela primeira vez usando análise complexa em 1896, mas uma prova elementar foi encontrada apenas em 1949 por Erdős e Selberg . O termo é um tanto ambíguo: por exemplo, provas baseadas em teoremas tauberianos complexos (por exemplo, Wiener-Ikehara ) são muitas vezes vistas como bastante esclarecedoras, mas não elementares, apesar de usarem análise de Fourier, em vez de análise complexa como tal. Aqui como em outros lugares, uma prova elementar pode ser mais longa e mais difícil para a maioria dos leitores do que uma não elementar.
A teoria dos números tem a reputação de ser um campo cujos resultados podem ser declarados ao leigo. Ao mesmo tempo, as provas desses resultados não são particularmente acessíveis, em parte porque a gama de ferramentas que eles usam é, no mínimo, extraordinariamente ampla dentro da matemática.
Teoria analítica dos números
A teoria analítica dos números pode ser definida
- em termos de suas ferramentas, como o estudo dos inteiros por meio de ferramentas de análise real e complexa; ou
- em termos de suas preocupações, como o estudo dentro da teoria dos números de estimativas de tamanho e densidade, em oposição a identidades.
Alguns assuntos geralmente considerados como parte da teoria analítica dos números, por exemplo, a teoria do crivo , são melhor cobertos pela segunda definição do que pela primeira: alguns da teoria do crivo, por exemplo, usam pouca análise, mas pertencem à teoria analítica dos números .
Os seguintes são exemplos de problemas na teoria analítica dos números: o teorema dos números primos , a conjectura de Goldbach (ou a conjectura dos primos gêmeos , ou as conjecturas de Hardy-Littlewood ), o problema de Waring e a hipótese de Riemann . Algumas das ferramentas mais importantes da teoria analítica dos números são o método do círculo , métodos de peneira e funções L (ou melhor, o estudo de suas propriedades). A teoria das formas modulares (e, mais geralmente, as formas automórficas ) também ocupa um lugar cada vez mais central na caixa de ferramentas da teoria analítica dos números.
Pode-se fazer perguntas analíticas sobre números algébricos e usar meios analíticos para responder a tais perguntas; é assim que a teoria dos números algébrica e analítica se cruzam. Por exemplo, pode-se definir ideais primos (generalizações de números primos no campo dos números algébricos) e perguntar quantos ideais primos existem até um determinado tamanho. Essa questão pode ser respondida por meio de um exame das funções zeta de Dedekind , que são generalizações da função zeta de Riemann , um objeto analítico chave nas raízes do sujeito. Este é um exemplo de um procedimento geral na teoria analítica dos números: derivar informações sobre a distribuição de uma sequência (aqui, ideais primos ou números primos) do comportamento analítico de uma função de valor complexo adequadamente construída.
Teoria dos números algébricos
Um número algébrico é qualquer número complexo que é uma solução para alguma equação polinomial com coeficientes racionais; por exemplo, toda solução de (digamos) é um número algébrico. Os campos de números algébricos também são chamados de campos de números algébricos ou, abreviadamente, campos de números . A teoria dos números algébricos estuda os campos dos números algébricos. Assim, a teoria dos números analítica e algébrica podem e se sobrepõem: a primeira é definida por seus métodos, a segunda por seus objetos de estudo.
Pode-se argumentar que o tipo mais simples de campos numéricos (ou seja, campos quadráticos) já foi estudado por Gauss, pois a discussão de formas quadráticas em Disquisitiones arithmeticae pode ser reafirmada em termos de ideais e normas em campos quadráticos. (Um campo quadrático consiste em todos os números da forma , onde e são números racionais e é um número racional fixo cuja raiz quadrada não é racional) . para encontrar as unidades de um corpo de números quadráticos reais. No entanto, nem Bhāskara nem Gauss conheciam os campos numéricos como tal.
Os fundamentos do assunto como o conhecemos foram estabelecidos no final do século XIX, quando se desenvolveram os números ideais , a teoria dos ideais e a teoria da valoração ; estas são três maneiras complementares de lidar com a falta de fatoração única em campos de números algébricos. (Por exemplo, no campo gerado pelos racionais e , o número pode ser fatorado tanto como e ; todos de , e são irredutíveis e, portanto, em um sentido ingênuo, análogo a primos entre os inteiros.) O impulso inicial para o desenvolvimento dos números ideais (por Kummer ) parece ter vindo do estudo das leis de reciprocidade superiores, ou seja, generalizações da reciprocidade quadrática .
Os campos numéricos são frequentemente estudados como extensões de campos numéricos menores: um campo L é considerado uma extensão de um campo K se L contiver K . (Por exemplo, os números complexos C são uma extensão dos reais R , e os reais R são uma extensão dos racionais Q .) Classificar as possíveis extensões de um dado campo numérico é um problema difícil e parcialmente aberto. Extensões abelianas - isto é, extensões L de K tais que o grupo Galois Gal( L / K ) de L sobre K é um grupo abeliano - são relativamente bem compreendidas. Sua classificação foi o objeto do programa de teoria de campo de classe , que foi iniciado no final do século 19 (em parte por Kronecker e Eisenstein ) e realizado em grande parte em 1900-1950.
Um exemplo de uma área ativa de pesquisa em teoria algébrica dos números é a teoria de Iwasawa . O programa Langlands , um dos principais planos atuais de pesquisa em larga escala em matemática, às vezes é descrito como uma tentativa de generalizar a teoria de campos de classe para extensões não abelianas de campos numéricos.
Geometria diofantina
O problema central da geometria diofantina é determinar quando uma equação diofantina tem soluções e, se tiver, quantas. A abordagem adotada é pensar nas soluções de uma equação como um objeto geométrico.
Por exemplo, uma equação em duas variáveis define uma curva no plano. Mais geralmente, uma equação, ou sistema de equações, em duas ou mais variáveis define uma curva , uma superfície ou algum outro objeto no espaço n -dimensional. Na geometria diofantina, pergunta-se se existem pontos racionais (pontos cujas coordenadas são todas racionais) ou pontos integrais (pontos cujas coordenadas são todas inteiras) na curva ou superfície. Se houver algum desses pontos, o próximo passo é perguntar quantos existem e como eles são distribuídos. Uma questão básica nessa direção é se existem finitos ou infinitos pontos racionais em uma dada curva (ou superfície).
Na equação pitagórica gostaríamos de estudar suas soluções racionais, ou seja, suas soluções tais que x e y sejam ambas racionais. Isso é o mesmo que pedir todas as soluções inteiras para ; qualquer solução para a última equação nos dá uma solução para a primeira. Também é o mesmo que pedir todos os pontos com coordenadas racionais na curva descrita por . (Esta curva é um círculo de raio 1 em torno da origem.)
A reformulação de questões sobre equações em termos de pontos em curvas acaba sendo feliz. A finitude ou não do número de pontos racionais ou inteiros em uma curva algébrica – isto é, soluções racionais ou inteiras de uma equação , onde é um polinômio em duas variáveis – acaba por depender crucialmente do gênero da curva. O gênero pode ser definido da seguinte forma: permitir que as variáveis em sejam números complexos; então define uma superfície bidimensional no espaço (projetivo) bidimensional (já que duas variáveis complexas podem ser decompostas em quatro variáveis reais, ou seja, quatro dimensões). Se contarmos o número de furos (donut) na superfície; chamamos esse número de gênero de . Outras noções geométricas acabam sendo igualmente cruciais.
Há também a área intimamente ligada das aproximações diofantinas : dado um número , então descobrindo quão bem ele pode ser aproximado por racionais. (Estamos procurando por aproximações que sejam boas em relação à quantidade de espaço necessária para escrever o racional: chame (com ) uma boa aproximação para if , onde é grande.) Esta questão é de especial interesse se for um número algébrico. Se não puder ser bem aproximado, então algumas equações não têm soluções inteiras ou racionais. Além disso, vários conceitos (especialmente o de altura ) se tornam críticos tanto na geometria diofantina quanto no estudo das aproximações diofantinas. Esta questão também é de especial interesse na teoria dos números transcendentais : se um número pode ser mais bem aproximado do que qualquer número algébrico, então é um número transcendental . É por este argumento que π e e se mostraram transcendentais.
A geometria diofantina não deve ser confundida com a geometria dos números , que é uma coleção de métodos gráficos para responder a certas questões na teoria algébrica dos números. Geometria aritmética , no entanto, é um termo contemporâneo para praticamente o mesmo domínio coberto pelo termo geometria diofantina . O termo geometria aritmética é provavelmente usado com mais frequência quando se deseja enfatizar as conexões com a geometria algébrica moderna (como, por exemplo, o teorema de Faltings ) em vez de técnicas em aproximações diofantinas.
Outros subcampos
As áreas abaixo não datam de meados do século XX, mesmo que sejam baseadas em material mais antigo. Por exemplo, como será explicado abaixo, a questão dos algoritmos na teoria dos números é muito antiga, em certo sentido mais antiga que o conceito de prova; ao mesmo tempo, o estudo moderno da computabilidade data apenas das décadas de 1930 e 1940, e a teoria da complexidade computacional da década de 1970.
Teoria dos números probabilísticos
Grande parte da teoria dos números probabilísticos pode ser vista como um caso especial importante do estudo de variáveis que são quase, mas não completamente, mutuamente independentes . Por exemplo, o evento de um inteiro aleatório entre um e um milhão ser divisível por dois e o evento de ser divisível por três são quase independentes, mas não exatamente.
Diz-se às vezes que a combinatória probabilística usa o fato de que tudo o que acontece com probabilidade maior do que deve acontecer às vezes; pode-se dizer com igual justiça que muitas aplicações da teoria dos números probabilísticos dependem do fato de que tudo o que é incomum deve ser raro. Se certos objetos algébricos (digamos, soluções racionais ou inteiras para certas equações) podem ser mostrados na cauda de certas distribuições sensatamente definidas, segue-se que deve haver poucos deles; esta é uma afirmação não probabilística muito concreta que segue de uma probabilística.
Às vezes, uma abordagem probabilística não rigorosa leva a uma série de algoritmos heurísticos e problemas abertos, notadamente a conjectura de Cramér .
Combinatória aritmética
Se começarmos de um conjunto infinito bastante "grosso" , ele contém muitos elementos em progressão aritmética: , , digamos? Deveria ser possível escrever inteiros grandes como somas de elementos de ?
Estas questões são características da aritmética combinatória . Este é um campo atualmente coalescente; ele engloba a teoria aditiva dos números (que se preocupa com certos conjuntos muito específicos de significado aritmético, como os primos ou os quadrados) e, sem dúvida, parte da geometria dos números , juntamente com algum novo material em rápido desenvolvimento. Seu foco em questões de crescimento e distribuição é responsável em parte por seus vínculos em desenvolvimento com a teoria ergódica , a teoria dos grupos finitos , a teoria dos modelos e outros campos. O termo combinatória aditiva também é usado; entretanto, os conjuntos que estão sendo estudados não precisam ser conjuntos de inteiros, mas sim subconjuntos de grupos não comutativos , para os quais o símbolo de multiplicação, não o símbolo de adição, é tradicionalmente usado; eles também podem ser subconjuntos de anéis , caso em que o crescimento de e · pode ser comparado.
Teoria computacional dos números
Enquanto a palavra algoritmo remonta apenas a certos leitores de al-Khwārizmī , descrições cuidadosas de métodos de solução são mais antigas que provas: tais métodos (ou seja, algoritmos) são tão antigos quanto qualquer matemática reconhecível – egípcio antigo, babilônico, védico, chinês – enquanto as provas apareceram apenas com os gregos do período clássico.
Um caso inicial é o que hoje chamamos de algoritmo euclidiano . Em sua forma básica (ou seja, como um algoritmo para calcular o máximo divisor comum ) aparece como Proposição 2 do Livro VII em Elementos , juntamente com uma prova de correção. No entanto, na forma que é frequentemente usada na teoria dos números (ou seja, como um algoritmo para encontrar soluções inteiras para uma equação , ou, o que é o mesmo, para encontrar as quantidades cuja existência é assegurada pelo teorema do resto chinês ) aparece primeiro nas obras de Āryabhaṭa (5º-6º século EC) como um algoritmo chamado kuṭṭaka ("pulverizador"), sem uma prova de correção.
Há duas questões principais: "Podemos calcular isso?" e "Podemos computá-lo rapidamente?" Qualquer um pode testar se um número é primo ou, se não for, dividi-lo em fatores primos; fazê-lo rapidamente é outra questão. Agora conhecemos algoritmos rápidos para testar primalidade , mas, apesar de muito trabalho (tanto teórico quanto prático), nenhum algoritmo realmente rápido para fatoração.
A dificuldade de um cálculo pode ser útil: protocolos modernos para criptografar mensagens (por exemplo, RSA ) dependem de funções que são conhecidas por todos, mas cujos inversos são conhecidos apenas por alguns escolhidos, e levaria muito tempo para descobrir fora por conta própria. Por exemplo, essas funções podem ser tais que seus inversos podem ser calculados somente se certos números inteiros grandes forem fatorados. Embora muitos problemas computacionais difíceis fora da teoria dos números sejam conhecidos, a maioria dos protocolos de criptografia em funcionamento hoje em dia são baseados na dificuldade de alguns problemas teóricos dos números.
Algumas coisas podem não ser computáveis; na verdade, isso pode ser comprovado em alguns casos. Por exemplo, em 1970, foi provado, como solução para o 10º problema de Hilbert , que não existe uma máquina de Turing que possa resolver todas as equações diofantinas. Em particular, isso significa que, dado um conjunto de axiomas computavelmente enumeráveis , existem equações diofantinas para as quais não há prova, a partir dos axiomas, se o conjunto de equações tem ou não soluções inteiras. (Estaríamos necessariamente falando de equações diofantinas para as quais não há soluções inteiras, pois, dada uma equação diofantina com pelo menos uma solução, a própria solução fornece uma prova do fato de que existe uma solução. Não podemos provar que uma determinada diofantina equação é desse tipo, pois isso implicaria que ela não tem soluções.)
Formulários
O teórico dos números Leonard Dickson (1874-1954) disse: "Graças a Deus que a teoria dos números é imaculada por qualquer aplicação". Tal visão não é mais aplicável à teoria dos números. Em 1974, Donald Knuth disse "... praticamente todos os teoremas da teoria elementar dos números surgem de maneira natural e motivada em conexão com o problema de fazer os computadores fazerem cálculos numéricos de alta velocidade". A teoria elementar dos números é ensinada em cursos de matemática discreta para cientistas da computação ; por outro lado, a teoria dos números também tem aplicações para o contínuo na análise numérica . Além das conhecidas aplicações para criptografia , existem também aplicações para muitas outras áreas da matemática.
Prêmios
A American Mathematical Society concede o Prêmio Cole em Teoria dos Números . Além disso, a teoria dos números é uma das três subdisciplinas matemáticas premiadas pelo Prêmio Fermat .
Veja também
Notas
Referências
Fontes
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- Este artigo incorpora material do artigo do Citizendium " Teoria dos números ", que está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada, mas não sob a GFDL .
Leitura adicional
Duas das introduções mais populares ao assunto são:
- GH Hardy ; EM Wright (2008) [1938]. Uma introdução à teoria dos números (rev. por DR Heath-Brown e JH Silverman, 6ª ed.). Imprensa da Universidade de Oxford . ISBN 978-0-19-921986-5. Recuperado 2016-03-02 .
- Vinogradov, IM (2003) [1954]. Elements of Number Theory (reedição da edição de 1954). Mineola, NY: Dover Publications.
O livro de Hardy e Wright é um clássico abrangente, embora sua clareza às vezes sofra devido à insistência dos autores em métodos elementares ( Apostol sd ). A principal atração de Vinogradov consiste em seu conjunto de problemas, que rapidamente levam aos próprios interesses de pesquisa de Vinogradov; o texto em si é muito básico e próximo do mínimo. Outras primeiras introduções populares são:
- Ivan M. Niven ; Herbert S. Zuckerman; Hugh L. Montgomery (2008) [1960]. Uma introdução à teoria dos números (reedição da 5ª edição 1991 ed.). John Wiley & Filhos . ISBN 978-81-265-1811-1. Recuperado em 28-02-2016 .
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As escolhas populares para um segundo livro incluem:
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- Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. Um curso de aritmética . Textos de graduação em matemática . Vol. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.
links externos
- Mídia relacionada à teoria dos números no Wikimedia Commons
- entrada Teoria dos Números na Enciclopédia de Matemática
- Teoria dos Números Web