Método numérico - Numerical method

Em análise numérica , um método numérico é uma ferramenta matemática projetada para resolver problemas numéricos. A implementação de um método numérico com uma verificação de convergência apropriada em uma linguagem de programação é chamada de algoritmo numérico.

Definição matemática

Deixe ser um problema bem colocado , ou seja, é uma relação funcional real ou complexa , definida no produto cruzado de um conjunto de dados de entrada e um conjunto de dados de saída , tal que existe uma função de lipschitz localmente chamada resolvent , que tem a propriedade de que para cada raiz de , . Nós definimos o método numérico para a aproximação de , a sequência de problemas ${\ displaystyle F (x, y) = 0}$${\ displaystyle F: X \ times Y \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle g: X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle y = g (x)}$${\ displaystyle F (x, y) = 0}$

${\ displaystyle \ left \ {M_ {n} \ right \} _ {n \ in \ mathbb {N}} = \ left \ {F_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) = 0 \ right \} _ {n \ in \ mathbb {N}},}$

com , e para cada . Os problemas em que consiste o método não precisam ser bem colocados. Se forem, o método é considerado estável ou bem posicionado . ${\ displaystyle F_ {n}: X_ {n} \ vezes Y_ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {n} \ em X_ {n}}$${\ displaystyle y_ {n} \ in Y_ {n}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

Consistência

As condições necessárias para um método numérico se aproximar efetivamente são isso e aquilo se comporta como quando . Assim, um método numérico é denominado consistente se e somente se a sequência de funções convergir pontualmente para no conjunto de suas soluções: ${\ displaystyle F (x, y) = 0}$${\ displaystyle x_ {n} \ rightarrow x}$${\ displaystyle F_ {n}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ left \ {F_ {n} \ right \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ lim F_ {n} (x, y + t) = F (x, y, t) = 0, \ quad \ quad \ forall (x, y, t) \ in S.}$

Quando ativado, o método é estritamente consistente . ${\ displaystyle F_ {n} = F, \ forall n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle S}$

Convergência

Denote por uma sequência de perturbações admissíveis de para algum método numérico (ie ) e com o valor tal que . Uma condição que o método deve satisfazer para ser uma ferramenta significativa para resolver o problema é a convergência : ${\ displaystyle \ ell _ {n}}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x + \ ell _ {n} \ in X_ {n} \ forall n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle y_ {n} (x + \ ell _ {n}) \ in Y_ {n}}$${\ displaystyle F_ {n} (x + \ ell _ {n}, y_ {n} (x + \ ell _ {n})) = 0}$${\ displaystyle F (x, y) = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ forall \ varepsilon> 0, \ existe n_ {0} (\ varepsilon)> 0, \ existe \ delta _ {\ varejpsilon, n_ {0}} {\ text {tal que }} \\ & \ forall n> n_ {0}, \ forall \ ell _ {n}: \ | \ ell _ {n} \ | <\ delta _ {\ varepsilon, n_ {0}} \ Rightarrow \ | y_ {n} (x + \ ell _ {n}) - y \ | \ leq \ varepsilon. \ end {alinhado}}}$

Pode-se facilmente provar que a convergência pontual de para implica a convergência do método associado é função. ${\ displaystyle \ {y_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle y}$

Referências