Modelo numérico do Sistema Solar - Numerical model of the Solar System

Um modelo numérico do Sistema Solar é um conjunto de equações matemáticas que, quando resolvidas, fornecem as posições aproximadas dos planetas em função do tempo. As tentativas de criar tal modelo estabeleceram o campo mais geral da mecânica celeste . Os resultados desta simulação podem ser comparados com medições anteriores para verificar a precisão e, em seguida, ser usados ​​para prever posições futuras. Portanto, seu principal uso é na preparação de almanaques.

Esforços mais antigos

As simulações podem ser feitas em coordenadas cartesianas ou esféricas . Os primeiros são mais fáceis, mas extremamente intensivos em cálculos e apenas práticos em um computador eletrônico. Como tal, apenas o último foi usado em tempos anteriores. A rigor, o último não era muito menos intensivo em cálculos, mas era possível começar com algumas aproximações simples e depois adicionar perturbações , tanto quanto necessário para atingir a precisão desejada.

Em essência, esta simulação matemática do Sistema Solar é uma forma do problema de N-corpos . O símbolo N representa o número de corpos, que podem crescer bastante se incluirmos o Sol, 8 planetas, dezenas de luas e incontáveis ​​planetoides, cometas e assim por diante. No entanto, a influência do Sol em qualquer outro corpo é tão grande, e a influência de todos os outros corpos uns sobre os outros tão pequena, que o problema pode ser reduzido ao problema de 2 corpos analiticamente solucionável. O resultado para cada planeta é uma órbita, uma descrição simples de sua posição em função do tempo. Uma vez que isso seja resolvido, as influências que as luas e os planetas têm uns sobre os outros são adicionadas como pequenas correções. Eles são pequenos em comparação com uma órbita planetária completa. Algumas correções podem ter ainda vários graus de largura, enquanto as medições podem ser feitas com uma precisão melhor que 1 ″.

Embora esse método não seja mais usado para simulações, ainda é útil encontrar uma efeméride aproximada, pois pode-se pegar a solução principal relativamente simples, talvez adicionar algumas das maiores perturbações e chegar sem muito esforço à posição planetária desejada. A desvantagem é que a teoria das perturbações é matemática muito avançada.

Método moderno

O método moderno consiste na integração numérica no espaço tridimensional. Começa-se com um valor de alta precisão para a posição ( x , y , z ) e a velocidade ( v x , v y , v z ) para cada um dos corpos envolvidos. Quando também a massa de cada corpo é conhecida, a aceleração ( a x , a y , a z ) pode ser calculada a partir da Lei da Gravitação de Newton . Cada corpo atrai o outro corpo, sendo a aceleração total a soma de todas essas atrações. Em seguida se escolhe um pequeno passo de tempo Δ t e aplica segunda lei do movimento de Newton . A aceleração multiplicada por Δ t dá uma correção para a velocidade. A velocidade multiplicada por Δ t dá uma correção para a posição. Este procedimento é repetido para todos os outros órgãos.

O resultado é um novo valor de posição e velocidade para todos os corpos. Em seguida, usando esses novos valores, inicia-se todo o cálculo para o próximo intervalo de tempo Δ t . Repetindo esse procedimento com bastante frequência, acabamos com uma descrição das posições de todos os corpos ao longo do tempo.

A vantagem deste método é que para um computador é um trabalho muito fácil de fazer e produz resultados altamente precisos para todos os corpos ao mesmo tempo, eliminando os procedimentos complexos e difíceis para determinar perturbações. A desvantagem é que se deve começar com números altamente precisos em primeiro lugar, ou os resultados se afastarão da realidade com o tempo; que se obtém as posições x , y , z , que são freqüentemente as primeiras a serem transformadas em coordenadas eclípticas ou equatoriais mais práticas antes de poderem ser usadas; e que é uma abordagem tudo ou nada. Se alguém deseja saber a posição de um planeta em um determinado momento, todos os outros planetas e todas as etapas intermediárias de tempo também devem ser calculados.

Integração

Na seção anterior, foi assumido que a aceleração permanece constante ao longo de um pequeno intervalo de tempo Δt, de modo que o cálculo se reduz simplesmente à adição de V × Δt a R e assim por diante. Na realidade, esse não é o caso, exceto quando se toma Δt tão pequeno que o número de passos a serem dados seria proibitivamente alto. Porque enquanto a qualquer momento a posição é alterada pela aceleração, o valor da aceleração é determinado pela posição instantânea. Evidentemente, é necessária uma integração completa.

Vários métodos estão disponíveis. Primeiro observe as equações necessárias:

Esta equação descreve a aceleração de todos os corpos i correndo de 1 a N exercem em um determinado corpo j . É uma equação vetorial, portanto, deve ser dividida em 3 equações para cada um dos componentes X, Y, Z, resultando em:

com os relacionamentos adicionais

,

da mesma forma para Y e Z.

A primeira equação (gravitação) pode parecer um presságio, mas seu cálculo não é problema. As últimas equações (leis de movimento) parecem mais simples, mas ainda não podem ser calculadas. Os computadores não podem se integrar, eles não podem trabalhar com valores infinitesimais, então, em vez de dt, usamos Δt e trazendo a variável resultante para a esquerda:

, e:

Lembre-se de que a ainda é uma função do tempo. A maneira mais simples de resolver isso é apenas o algoritmo de Euler , que em essência é a adição linear descrita acima. Limitando-nos a uma dimensão apenas em alguma linguagem de computador geral:

a.old = gravitationfunction(x.old)
x.new = x.old + v.old * dt
v.new = v.old + a.old * dt

Como em essência a aceleração usada para toda a duração do intervalo de tempo, é a mesma que era no início do passo de tempo, este método simples não tem alta precisão. Resultados muito melhores são alcançados tomando uma aceleração média, a média entre o valor inicial e o valor final esperado (não perturbado):

a.old = gravitationfunction(x.old)
x.expect = x.old + v.old * dt
a.expect = gravitationfunction(x.expect)
v.new = v.old + (a.old + a.expect) * 0.5 * dt
x.new = x.old + (v.new + v.old) * 0.5 * dt

É claro que resultados ainda melhores podem ser esperados tomando-se valores intermediários. É o que acontece quando se usa o método Runge-Kutta , principalmente o de 4 ou 5 graus são os mais úteis. O método mais comum usado é o método do salto, devido à sua boa conservação de energia a longo prazo.

Um método completamente diferente é o uso da série de Taylor . Nesse caso, escrevemos:

mas em vez de desenvolver até alguma derivada superior em r apenas, pode-se desenvolver em r e v (ou seja, r ') escrevendo e, em seguida, escrevendo os fatores f e g em uma série.

Aproximações

Para calcular as acelerações, deve-se levar em consideração a atração gravitacional de cada corpo sobre o outro corpo. Como consequência, a quantidade de cálculo na simulação aumenta com o quadrado do número de corpos: Dobrar o número de corpos aumenta o trabalho com um fator quatro. Para aumentar a precisão da simulação, não apenas mais decimais devem ser tomados, mas também etapas de tempo menores, novamente aumentando rapidamente a quantidade de trabalho. Evidentemente, truques devem ser aplicados para reduzir a quantidade de trabalho. Alguns desses truques são fornecidos aqui.

De longe, o truque mais importante é o uso de um método de integração adequado, conforme já descrito acima.

A escolha das unidades é importante. Em vez de trabalhar em unidades SI , o que tornaria alguns valores extremamente pequenos e alguns extremamente grandes, todas as unidades devem ser escalonadas de modo que fiquem perto de 1. Por exemplo, para distâncias no Sistema Solar, a unidade astronômica é mais direto. Se isso não for feito um é quase certo de ver uma simulação abandonada no meio de um cálculo em um ponto flutuante estouro ou estouro negativo , e se não é tão ruim, ainda precisão é provável que se perder devido ao truncamento erros.

Se N for grande (não tanto nas simulações do Sistema Solar, mas mais nas simulações de galáxias), é comum criar grupos dinâmicos de corpos. Todos os corpos em uma direção particular e em grande distância do corpo de referência, que está sendo calculado naquele momento, são tomados juntos e sua atração gravitacional é calculada em média sobre todo o grupo.

A quantidade total de energia e momento angular de um sistema fechado são quantidades conservadas. Calculando esses valores após cada passo de tempo, a simulação pode ser programada para aumentar o tamanho do passo Δt se eles não mudarem significativamente, e para reduzi-lo se começarem a mudar. Também é possível combinar os corpos em grupos como no anterior e aplicar passos maiores e, portanto, menos tempos nos corpos distantes do que nos próximos.

Para permitir uma mudança excessivamente rápida da aceleração quando um determinado corpo está próximo ao corpo de referência, é habitual introduzir um pequeno parâmetro e de modo que

Complicações

Se a maior precisão possível for necessária, os cálculos se tornam muito mais complexos. No caso de cometas, forças não gravitacionais, como pressão de radiação e arrasto de gás, devem ser levadas em consideração. No caso de Mercúrio e outros planetas para cálculos de longo prazo, os efeitos relativísticos não podem ser ignorados. Então também a energia total não é mais uma constante (porque os quatro vetores de energia com momento linear o são). A velocidade finita da luz também torna importante permitir os efeitos do tempo-luz, tanto clássicos quanto relativísticos. Os planetas não podem mais ser considerados partículas, mas sua forma e densidade também devem ser consideradas. Por exemplo, o achatamento da Terra causa precessão, o que faz com que a inclinação axial mude, o que afeta os movimentos de longo prazo de todos os planetas. Modelos de longo prazo, indo além de algumas dezenas de milhões de anos, não são possíveis devido à falta de estabilidade do Sistema Solar .

Veja também

Referências

  • Boulet, Dan L. (1991). Métodos de determinação de órbita para microcomputador . Richmond, Virginia : Willmann-Bell, Inc. ISBN   978-0-943396-34-7 . OCLC   23287041 .