Octonion - Octonion
Octonions | |
---|---|
Símbolo | |
Modelo | Álgebra hipercomplexa |
Unidades | e 0 , ..., e 7 |
Identidade multiplicativa | e 0 |
Propriedades principais |
Não comutativo Não associativo |
Sistemas comuns | |
Em matemática , as octonions são uma álgebra de divisão normada sobre os números reais , uma espécie de sistema numérico hipercomplexo . As octonions são geralmente representadas pela letra maiúscula O, usando negrito O ou negrito no quadro-negro . Octonions tem oito dimensões ; duas vezes o número de dimensões dos quatérnios , dos quais são uma extensão. Eles são não comutativos e não associativos , mas satisfazem uma forma mais fraca de associatividade; ou seja, eles são alternativos . Eles também são associativos de poder .
Octonions não são tão conhecidos quanto os quaternions e números complexos , que são muito mais amplamente estudados e usados. Octonions estão relacionados a estruturas excepcionais em matemática, entre elas os grupos de Lie excepcionais . Octonions tem aplicações em campos como a teoria das cordas , relatividade especial e lógica quântica . Aplicar a construção Cayley-Dickson às octonions produz as sedenions .
História
As octonions foram descobertas em 1843 por John T. Graves , inspirado pela descoberta dos quatérnios de seu amigo William Rowan Hamilton . Graves chamou sua descoberta de "oitavas" e as mencionou em uma carta a Hamilton datada de 16 de dezembro de 1843. Ele publicou seu resultado um pouco depois do artigo de Arthur Cayley . As octonions foram descobertas independentemente por Cayley e às vezes são chamadas de "números de Cayley" ou "álgebra de Cayley". Hamilton descreveu o início da história da descoberta de Graves.
Definição
As octonions podem ser consideradas octetos (ou 8 tuplas) de números reais. Cada octonion é uma combinação linear real das octonions unitárias :
onde e 0 é o escalar ou elemento real; pode ser identificado com o número real 1. Ou seja, cada octonion x pode ser escrito na forma
com coeficientes reais x i .
A adição e subtração de octonions são feitas adicionando e subtraindo os termos correspondentes e, portanto, seus coeficientes, como quaternions. A multiplicação é mais complexa. A multiplicação é distributiva sobre a adição, então o produto de duas octonions pode ser calculado somando os produtos de todos os termos, novamente como quaternions. O produto de cada par de termos pode ser dado pela multiplicação dos coeficientes e uma tabela de multiplicação das octonions unitárias, como esta (devido a Cayley, 1845, e Graves, 1843):
A maioria dos elementos fora da diagonal da tabela são antissimétricos, tornando-a quase uma matriz assimétrica, exceto para os elementos na diagonal principal, bem como a linha e coluna para as quais e 0 é um operando.
A tabela pode ser resumida da seguinte forma:
onde δ ij é o delta de Kronecker (igual a 1 se e somente se i = j ), e ε ijk é um tensor completamente antissimétrico com valor 1 quando ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 .
A definição acima não é única; é apenas uma das 480 definições possíveis para multiplicação de octonion com e 0 = 1 . Os demais podem ser obtidos permutando e alterando os sinais dos elementos de base não escalar { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 } . As 480 álgebras diferentes são isomórficas e raramente é necessário considerar qual regra de multiplicação específica é usada.
Cada uma dessas 480 definições é invariável até os sinais sob algum 7-ciclo dos pontos (1234567), e para cada 7-ciclo há quatro definições, diferindo por sinais e reversão de ordem. Uma escolha comum é usar a definição invariante sob o 7-ciclo (1234567) com e 1 e 2 = e 4 - usando o diagrama de multiplicação triangular, ou plano de Fano abaixo que também mostra a lista ordenada de 124 tríades de 7 ciclos baseadas e suas matrizes de multiplicação associadas nos formatos e n e IJKL.
Uma variação disso às vezes usada é rotular os elementos da base pelos elementos ∞ , 0, 1, 2, ..., 6, da linha projetiva sobre o corpo finito de ordem 7. A multiplicação é então dada por e ∞ = 1 e e 1 e 2 = e 4 , e todas as expressões obtidas a partir disso adicionando uma constante ( módulo 7) a todos os subscritos: em outras palavras, usando os sete triplos (124) (235) (346) (450) ( 561) (602) (013). Essas são as palavras-código diferentes de zero do código de resíduo quadrático de comprimento 7 sobre o campo de Galois de dois elementos, GF (2) . Há uma simetria de ordem 7 dada pela adição de um mod constante 7 a todos os subscritos, e também uma simetria de ordem 3 dada pela multiplicação de todos os subscritos por um dos resíduos quadráticos 1, 2, 4 mod 7.
A tabela de multiplicação para uma álgebra geométrica de assinatura (−−−−) pode ser dada em termos dos seguintes 7 triplos quaterniônicos (omitindo o elemento de identidade):
- ( I , j , k ), ( i , J , k ), ( i , j , K ), ( I , J , K ), (∗ I , i , m ), (∗ J , j , m ), (∗ K , k , m )
em que os itens em minúsculas são vetores e os maiúsculos são bivetores e ∗ = mijk (que é o operador estrela de Hodge ). Se o ∗ for forçado a ser igual à identidade, então a multiplicação deixa de ser associativa, mas o ∗ pode ser removido da tabuada resultando em uma tabuada de multiplicação de oitavadas.
Mantendo ∗ = mijk associativo e, portanto, não reduzindo a álgebra geométrica quadridimensional a uma de octonião, toda a tabela de multiplicação pode ser derivada da equação para ∗ . Considere as matrizes gama . A fórmula que define a quinta matriz gama mostra que é o ∗ de uma álgebra geométrica quadridimensional das matrizes gama.
Construção Cayley-Dickson
Uma maneira mais sistemática de definir as octonions é por meio da construção Cayley-Dickson. Assim como os quatérnions podem ser definidos como pares de números complexos, as octonions podem ser definidas como pares de quaternions. A adição é definida aos pares. O produto de dois pares de quatérnions ( a , b ) e ( c , d ) é definido por
onde z * denota o conjugado do quaternion z . Esta definição é equivalente àquela dada acima, quando as oito octonions unitárias são identificadas com os pares
- (1, 0), ( i , 0), ( j , 0), ( k , 0), (0, 1), (0, i ), (0, j ), (0, k )
Fano avião mnemônico
Um mnemônico conveniente para lembrar os produtos das octonões unitárias é dado pelo diagrama, que representa a tabuada de Cayley e Graves. Este diagrama com sete pontos e sete linhas (o círculo através de 1, 2 e 3 é considerado uma linha) é chamado de plano de Fano . As linhas são direcionais. Os sete pontos correspondem aos sete elementos básicos padrão de Im ( O ) (ver definição abaixo ). Cada par de pontos distintos encontra-se em uma linha única e cada linha passa por exatamente três pontos.
Sejam ( a , b , c ) um triplo ordenado de pontos situados em uma determinada linha com a ordem especificada pela direção da seta. Então a multiplicação é dada por
- ab = c e ba = - c
junto com permutações cíclicas . Essas regras junto com
- 1 é a identidade multiplicativa,
-
e2
eu= -1 para cada ponto no diagrama
define completamente a estrutura multiplicativa das octonions. Cada uma das linhas de sete gera um subálgebra de ó isomorfo para os quatérnions H .
Conjugado, norma e inverso
O conjugado de uma octonion
É dado por
Conjugação é uma involução de O e satisfaz ( xy ) * = y * x * (observe a mudança na ordem).
A parte real de x é dada por
e a parte imaginária por
O conjunto de todas as octonões puramente imaginárias abrange um subespaço 7- dimensional de O , denotado por Im ( O ) .
Conjugação de octonions satisfaz a equação
O produto de uma octonion com seu conjugado, x * x = xx * , é sempre um número real não negativo:
Usando isso, a norma de uma octonion pode ser definida, como
Esta norma está de acordo com a norma euclidiana 8-dimensional padrão em R 8 .
A existência de uma norma sobre O implica a existência de inversos para cada elemento diferente de zero de O . O inverso de x ≠ 0 , que é o único octonion x −1 satisfazendo xx −1 = x −1 x = 1 , é dado por
Propriedades
A multiplicação octoniônica não é comutativa :
- e i e j = - e j e i ≠ e j e i se i , j são distintos e diferentes de zero,
nem associativo :
- ( e i e j ) e k = - e i ( e j e k ) ≠ e i ( e j e k ) se i , j , k forem distintos, diferentes de zero e e i e j ≠ ± e k .
As octonions satisfazem uma forma mais fraca de associatividade: são alternativas. Isso significa que a subálgebra gerada por quaisquer dois elementos é associativa. Na verdade, pode-se mostrar que a subálgebra gerada por quaisquer dois elementos de O é isomórfica a R , C ou H , todos os quais são associativos. Por causa de sua não-associatividade, octoniones não pode ser representado por um subálgebra de um anel de matriz mais , ao contrário dos números reais, números complexos e quaternions.
As octonions retêm uma propriedade importante compartilhada por R , C e H : a norma em O satisfaz
Esta equação significa que as octonions formam uma álgebra de composição . Todas as álgebras de dimensões superiores definidas pela construção Cayley-Dickson (começando com os sedenions ) falham em satisfazer esta propriedade. Todos eles têm zero divisores .
Existem sistemas numéricos mais amplos que têm um módulo multiplicativo (por exemplo, sedenions cônicas de 16 dimensões). Seu módulo é definido de forma diferente de sua norma e também contém zero divisores.
Como mostrado por Hurwitz , R , C , H e O são as únicas álgebras de divisão normadas sobre os números reais. Essas quatro álgebras também formam a única alternativa, álgebras de divisão de dimensão finita sobre os números reais ( até o isomorfismo).
Não sendo associativos, os elementos diferentes de zero de O não formam um grupo . Eles, no entanto, formam um loop , especificamente um loop Moufang .
Comutador e produto cruzado
O comutador de dois octoniones x e y é dada pela
Isso é anti-simétrico e imaginário. Se for considerado apenas como um produto no subespaço imaginário Im ( O ), ele define um produto naquele espaço, o produto cruzado de sete dimensões , dado por
Como o produto cruzado em três dimensões este é um vector ortogonal para x e y com magnitude
Mas, como o produto octonion, não é definido de maneira única. Em vez disso, existem muitos produtos cruzados diferentes, cada um dependendo da escolha do produto de octonion.
Automorfismos
Um automorfismo , A , das octonions é uma transformação linear invertível de O que satisfaz
O conjunto de todos os automorfismos de O forma um grupo denominado G 2 . O grupo G 2 é um grupo de Lie simples , compacto e real de dimensão 14. Este grupo é o menor dos grupos de Lie excepcionais e é isomórfico ao subgrupo de Spin (7) que preserva qualquer vetor particular escolhido em sua dimensão 8 representação real do spinor. O grupo Spin (7) é, por sua vez, um subgrupo do grupo de isotopias descrito a seguir.
Veja também : PSL (2,7) - o grupo de automorfismo do plano de Fano.
Isotopias
Uma isotopia de uma álgebra é um triplo de mapas lineares bijetivos a , b , c tais que se xy = z então a ( x ) b ( y ) = c ( z ) . Para a = b = c, isso é o mesmo que um automorfismo. O grupo de isotopia de uma álgebra é o grupo de todas as isotopias, que contém o grupo de automorfismos como um subgrupo.
O grupo de isotopia das octonions é o grupo Spin 8 ( R ) , com a , b , c atuando como as três representações em 8 dimensões. O subgrupo de elementos onde c fixa a identidade é o subgrupo Spin 7 ( R ) , e o subgrupo onde a , b , c fixam a identidade é o grupo de automorfismo G 2 .
Formulários
As octonions desempenham um papel significativo na classificação e construção de outras entidades matemáticas. Por exemplo, o grupo de Lie excepcional G 2 é o grupo de automorfismo das octonions, e os outros grupos de Lie excepcionais F 4 , E 6 , E 7 e E 8 podem ser entendidos como as isometrias de certos planos projetivos definidos usando as octonions. O conjunto de matrizes octoniônicas 3 × 3 auto-adjuntas , equipadas com um produto de matriz simetrizado, define a álgebra de Albert . Na matemática discreta , as octonions fornecem uma derivação elementar da rede Leech e, portanto, estão intimamente relacionadas aos grupos simples esporádicos .
As aplicações das octonions à física têm sido amplamente conjeturais. Por exemplo, na década de 1970, foram feitas tentativas de entender os quarks por meio de um espaço de Hilbert octoniônico . É sabido que as octonions, e o fato de que apenas quatro álgebras de divisão normada podem existir, se relacionam com as dimensões do espaço - tempo nas quais as teorias quânticas supersimétricas de campo podem ser construídas. Além disso, têm sido feitas tentativas para se obter o modelo padrão da física de partículas elementar de construções octonionic, por exemplo, utilizando a "álgebra Dixon" C ⊗ H ⊗ ó .
Octonions também surgiram no estudo da entropia dos buracos negros e na ciência da informação quântica .
Octonions têm sido usados em soluções para o problema de calibração mão-olho na robótica .
As redes deep octonion fornecem um meio de expressão eficiente e compacta em aplicativos de aprendizado de máquina.
Octonions integrais
Existem várias maneiras naturais de escolher uma forma integral das octonions. O mais simples é apenas pegar as octonions cujas coordenadas são inteiras . Isso fornece uma álgebra não associativa sobre os inteiros chamados de octonões de Graves. No entanto, não é uma ordem máxima (no sentido da teoria dos anéis); há exatamente sete ordens máximas que o contêm. Essas sete ordens máximas são todas equivalentes sob automorfismos. A frase "octonions integrais" geralmente se refere a uma escolha fixa de uma dessas sete ordens.
Essas ordens máximas foram construídas por Kirmse (1925) , Dickson e Bruck como segue. Rotule os oito vetores de base pelos pontos da linha projetiva sobre o campo com sete elementos. Primeiro, forme os "inteiros de Kirmse": consistem em octonions cujas coordenadas são inteiros ou meio-inteiros, e que são meio-inteiros (isto é, metades de inteiros ímpares) em um dos 16 conjuntos
- ∅ (∞124) (∞235) (∞346) (∞450) (∞561) (∞602) (∞013) (∞0123456) (0356) (1460) (2501) (3612) (4023) (5134 ) (6245)
do código de resíduo quadrático estendido de comprimento 8 sobre o campo de dois elementos, dado por ∅ , (∞124) e suas imagens ao adicionar um módulo constante 7, e os complementos desses oito conjuntos. Em seguida, mude o infinito e qualquer outra coordenada; esta operação cria uma bijeção dos inteiros de Kirmse em um conjunto diferente, que é uma ordem máxima. Existem sete maneiras de fazer isso, dando sete ordens máximas, que são todas equivalentes sob permutações cíclicas das sete coordenadas 0123456. (Kirmse afirmou incorretamente que os inteiros de Kirmse também formam uma ordem máxima, então ele pensou que havia oito ordens máximas em vez de sete, mas como Coxeter (1946) apontou, eles não são fechados para multiplicação; esse erro ocorre em vários artigos publicados.)
Os inteiros Kirmse e as ordens máximas sete são todos isométrica ao E 8 treliça redimensionado por um fator de 1 / √ 2 . Em particular, existem 240 elementos de norma mínima diferente de zero 1 em cada uma dessas ordens, formando um loop Moufang da ordem 240.
Os octoniones integrais têm uma "divisão com resto" propriedade: dada octoniones integrais um e b ≠ 0 , podemos encontrar q e r com um = qb + r , onde o restante r tem norma menor do que a b .
Nas octonions integrais, todos os ideais esquerdos e ideais direitos são ideais de dois lados, e os únicos ideais de dois lados são os ideais principais nO, onde n é um número inteiro não negativo.
As octonions integrais têm uma versão de fatoração em primos, embora não seja fácil afirmar, porque as octonions não são associativas, de modo que o produto das octonions depende da ordem em que os produtos são feitos. As octonions integrais irredutíveis são exatamente aquelas da norma primária, e cada octonion integral pode ser escrita como um produto de octonions irredutíveis. Mais precisamente, uma oitava integral de norma mn pode ser escrita como um produto de oitonões integrais de normas m e n .
O grupo de automorfismo das octonões integrais é o grupo G 2 ( F 2 ) da ordem 12.096, que possui um subgrupo simples de índice 2 isomorfo ao grupo unitário 2 A 2 (3 2 ) . O grupo de isotopia das octonions integrais é a cobertura dupla perfeita do grupo de rotações da rede E 8 .
Veja também
Notas
Referências
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- Baez, John C. (2005). "Errata para The Octonions " (PDF) . Boletim da American Mathematical Society . 42 (2): 213–214. doi : 10.1090 / S0273-0979-05-01052-9 .
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- Freudenthal, Hans (1985) [1951], "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Geom. Dedicata , 19 (1): 7–63, doi : 10.1007 / BF00233101 , MR 0797151 , S2CID 121496094
- Graves (1845), "Sobre uma conexão entre a teoria geral dos casais normais e a teoria das funções quadráticas completas de duas variáveis" , Phil. Mag. , 26 : 315–320, doi : 10.1080 / 14786444508645136
- Kirmse (1924), "Über die Darstellbarkeit natürlicher ganzer Zahlen als Summen von acht Quadraten und über ein mit diesem Problem zusammenhängendes nichtkommutatives und nichtassoziatives Zahlensystem", Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Matemática. Phys. Kl. , 76 : 63-82
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links externos
- "Cayley numbers" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Wilson, RA (2008), Octonions (PDF) , Pure Mathematics Seminar notes