Um grupo de parâmetros - One-parameter group

Em matemática , um grupo de um parâmetro ou um parâmetro subgrupo geralmente significa um contínuo homomorphism grupo

a partir do eixo real (como um grupo de aditivos ) a algum outro grupo topológico . Isso significa que não é na verdade um grupo , estritamente falando; se é injetivo seguida , a imagem, será um subgrupo de que é isomorfa a grupo como aditivo.

Grupos de um dos parâmetros foram introduzidos por Sophus Lie em 1893 para definir transformações infinitesimais . De acordo com Lie, uma transformação infinitesimal é infinitamente pequena transformação do grupo de um parâmetro que ele gera. É estas transformações infinitesimais que geram uma álgebra de Lie que é usado para descrever um grupo de Lie de qualquer dimensão.

Discussão

Isto é, nós começamos sabendo apenas que

onde , se os parâmetros '' dos elementos de grupo no . Pode ser que tenhamos

, O elemento de identidade em ,

para alguns . Isto acontece, por exemplo, se é o círculo unitário e

.

Nesse caso, o núcleo da consiste nos múltiplos inteiros .

A acção de um grupo de um parâmetro sobre um conjunto é conhecido como um fluxo .

A complicação técnica é que como um subespaço de pode transportar uma topologia que é mais grossa do que no ; isso pode acontecer nos casos em que é injective. Pense, por exemplo, do caso em que é um toro , e é construído por enrolamento de uma linha recta redonda em uma pista de irracional.

Por conseguinte, um grupo de um parâmetro ou um parâmetro subgrupo deve ser distinguido a partir de um grupo ou subgrupo em si, para os três razões

  1. ele tem um definitivo parametrização ,
  2. o homomorphism grupo podem não ser injetivo, e
  3. a topologia induzida pode não ser o padrão da linha real.

Exemplos

Tais grupos são um parâmetro de importância fundamental na teoria de grupos de Lie , para o qual cada elemento do associado álgebra de Lie define um tal o homomorphism, mapa exponencial . No caso de grupos de matriz é dado pela matriz exponencial .

Outro caso importante é visto na análise funcional , com sendo o grupo de operadores unitários numa espaço de Hilbert . Veja o teorema de pedra em grupo unitário de um parâmetro .

Em seus 1957 monografia grupos de Lie , PM Cohn dá o seguinte teorema na página 58:

Qualquer grupo de Lie 1-dimensional ligado é analiticamente isomórfico, quer para o grupo aditivo de números reais , ou para , o grupo aditivo de números reais . Em particular, cada grupo de Lie 1-dimensional é localmente isomorphic a .

Física

Em física , grupos de um parâmetro descrever sistemas dinâmicos . Além disso, sempre que um sistema de leis físicas admite um grupo de um parâmetro de diferenciáveis simetrias , então há uma quantidade conservada , pelo teorema de Noether .

No estudo de espaço-tempo a utilização da unidade de hipérbole para calibrar medições espácio-temporais tornou-se comum desde Hermann Minkowski discutido em 1908. O princípio de relatividade foi reduzida a arbitrariedade de que o diâmetro da unidade de hipérbole foi usada para determinar um mundial linha . Utilizando a parametrização da hipérbole com ângulo hiperbólico , a teoria da relatividade especial fornecido um cálculo de movimento em relação com o grupo um parâmetro indexado por rapidez . A rapidez substitui a velocidade em cinemática e dinâmica da teoria da relatividade. Desde rapidez é ilimitado, o grupo um parâmetro que está em cima é não-compacto. O conceito rapidez foi introduzido por ET Whittaker , em 1910, e nomeado por Alfred Robb o próximo ano. O parâmetro rapidez equivale ao comprimento de um versor hiperbólica , um conceito do século XIX. Físicos matemáticos James Cockle , William Kingdon Clifford e Alexander Macfarlane tinha todos empregados em seus escritos um mapeamento equivalente do plano cartesiano pelo operador , onde é o ângulo hiperbólica e .

Em GL (n, ℂ)

Um exemplo importante na teoria de grupos de Lie surge quando é tomada como sendo , o grupo de inversíveis matrizes com entradas complexas. Nesse caso, o resultado básico é o seguinte:

Teorema : Suponha que é um grupo de um parâmetro. Em seguida, existe uma única matriz de tal modo que
para todos .

Decorre este resultado que é diferenciável, mesmo que esta não era uma suposição do teorema. A matriz pode então ser recuperado a partir de

.

Este resultado pode ser usado, por exemplo, para mostrar que qualquer homomorphism contínua entre grupos de Lie de matriz é lisa.

Veja também

Referências

  • Salão, Brian C. (2015), grupos de Lie, Lie Algebras e Representações: Um Fundamental Introdução , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2ª ed.), Springer, ISBN  978-3319134666.