Triângulo de área de um sétimo - One-seventh area triangle

A área do triângulo rosa é um sétimo da área do grande triângulo ABC.

Em geometria plana , um triângulo ABC contém um triângulo com um sétimo da área de ABC , que é formado da seguinte forma: os lados deste triângulo estão em cevians p, q, r onde

p conecta A a um ponto em BC que está a um terço da distância de B a C ,
q conecta B a um ponto em CA que está a um terço da distância de C a A ,
r liga C a um ponto em AB , que é um-terço da distância entre um de B .

A prova da existência do triângulo de uma sétima área segue da construção de seis linhas paralelas:

dois paralelos a p , um a C , o outro a qr
dois paralelos a q , um por A , o outro por rp
dois paralelos a r , um por meio de B , o outro por pq .

A sugestão de Hugo Steinhaus é que o triângulo (central) com lados p, q, r seja refletido em seus lados e vértices. Esses seis triângulos extras cobrem parcialmente o ABC e deixam seis triângulos extras pendentes fora do ABC . Enfocando o paralelismo da construção completa (oferecido por Martin Gardner por meio da revista on-line de James Randi ), as congruências de pares de peças pendentes e ausentes do ABC são evidentes. Como visto na solução gráfica, seis mais o original é igual a todo o triângulo ABC .

Solução gráfica para o problema do triângulo de uma sétima área.
A congruência dos comprimentos das arestas permite a rotação dos triângulos selecionados para formar três paralelogramos de áreas iguais, que se dividem em seis triângulos de tamanho igual ao triângulo interno original.

Uma exposição inicial desta construção geométrica e computação de área foi dada por Robert Potts em 1859 em seu livro de geometria euclidiana.

De acordo com Cook e Wood (2004), esse triângulo intrigou Richard Feynman em uma conversa durante um jantar; eles fornecem quatro provas diferentes.

Um resultado mais geral é conhecido como teorema de Routh .

Referências