Álgebra do operador - Operator algebra

Na análise funcional , um ramo da matemática , uma álgebra de operadores é uma álgebra de operadores lineares contínuos em um espaço vetorial topológico , com a multiplicação dada pela composição dos mapeamentos .

Os resultados obtidos no estudo de álgebras de operadores são formulados em termos algébricos , enquanto as técnicas utilizadas são altamente analíticas . Embora o estudo de álgebra de operador é geralmente classificada como um ramo de análise funcional, tem aplicações directas no teoria representação , geometria diferencial , mecânica quântica estatísticos , informação quântica , e teoria quântica .

Visão geral

Álgebras de operadores podem ser usadas para estudar conjuntos arbitrários de operadores com pouca relação algébrica simultaneamente . Deste ponto de vista, álgebras de operadores podem ser consideradas como uma generalização da teoria espectral de um único operador. Em geral, as álgebras de operadores são anéis não comutativos .

Uma álgebra de operador normalmente precisa ser fechada em uma topologia de operador especificada dentro de toda a álgebra de operadores lineares contínuos. Em particular, é um conjunto de operadores com propriedades de fechamento algébrico e topológico. Em algumas disciplinas, tais propriedades são axiomizadas e álgebras com certa estrutura topológica tornam-se o assunto da pesquisa.

Embora álgebras de operadores sejam estudadas em vários contextos (por exemplo, álgebras de operadores pseudo-diferenciais agindo em espaços de distribuições ), o termo álgebras de operadores é geralmente usado em referência a álgebras de operadores limitados em um espaço de Banach ou, ainda mais especialmente em referência a álgebras de operadores em um espaço de Hilbert separável , dotado da topologia de norma do operador .

No caso de operadores em um espaço de Hilbert, o mapa adjunto Hermitiano nos operadores fornece uma involução natural , que fornece uma estrutura algébrica adicional que pode ser imposta à álgebra. Nesse contexto, os exemplos mais bem estudados são álgebras de operadores auto-adjuntos , o que significa que são fechados sob adjunto. Estes incluem C * -álgebras , álgebra de Von Neumann , e AW * -álgebra . C * -álgebras podem ser facilmente caracterizadas abstratamente por uma condição que relaciona a norma, a involução e a multiplicação. Essas C * -álgebras definidas abstratamente podem ser identificadas como uma certa subálgebra fechada da álgebra dos operadores lineares contínuos em um espaço de Hilbert adequado. Um resultado semelhante é válido para as álgebras de von Neumann.

As álgebras de operadores auto-adjuntos comutativos podem ser consideradas como a álgebra de funções contínuas de valor complexo em um espaço localmente compacto , ou de funções mensuráveis em um espaço mensurável padrão . Assim, as álgebras de operadores gerais são frequentemente consideradas generalizações não comutativas dessas álgebras, ou a estrutura do espaço de base em que as funções são definidas. Este ponto de vista é elaborado como a filosofia da geometria não comutativa , que tenta estudar vários objetos não clássicos e / ou patológicos por álgebras de operadores não comutativos.

Exemplos de álgebras de operador que não são auto-adjuntas incluem:

• álgebras de ninho ,
• muitas álgebras de rede subespaço comutativa ,
• muitos limitam as álgebras .

Veja também

• Álgebra de Banach
• Topologias no conjunto de operadores em um espaço de Hilbert
• Mecânica da matriz
• Álgebra do operador de vértice

Referências

Leitura adicional

• Blackadar, Bruce (2005). Operator Algebras: Theory of C * -Algebras and Von Neumann Algebras . Enciclopédia de Ciências Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 3-540-28486-9.
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I , Springer, 2001.