Unidade de pedido - Order unit

Uma unidade de pedido é um elemento de um espaço vetorial ordenado que pode ser usado para ligar todos os elementos de cima. Desta forma (como visto no primeiro exemplo abaixo) a unidade de pedido generaliza o elemento de unidade em reais.

De acordo com HH Schaefer , "a maioria dos espaços vetoriais ordenados que ocorrem na análise não tem unidades de ordem".

Definição

Para o cone ordenador no espaço vetorial , o elemento é uma unidade de pedido (mais precisamente uma unidade de pedido ) se para cada existe um tal que (isto é, ). ${\ displaystyle K \ subseteq X}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle e \ in K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ lambda _ {x}> 0}$${\ displaystyle \ lambda _ {x} ex \ in K}$${\ displaystyle x \ leq _ {K} \ lambda _ {x} e}$

Definição equivalente

As unidades de ordem de um cone de ordenação são aqueles elementos no interior algébrica de que é, dadas pela${\ displaystyle K \ subseteq X}$${\ displaystyle K;}$${\ displaystyle \ operatorname {core} (K).}$

Exemplos

Sejam os números reais e então o elemento de unidade é uma unidade de pedido . ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle K = \ mathbb {R} _ {+} = \ {x \ in \ mathbb {R}: x \ geq 0 \},}$${\ displaystyle 1}$

Let e então o elemento unit é uma unidade de pedido . ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle K = \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R}: {\ text {for all}} i = 1, \ ldots, n: x_ {i} \ geq 0 \ right \},}$${\ displaystyle {\ vec {1}} = (1, \ ldots, 1)}$

Cada ponto interno do cone positivo de um espaço vetorial topológico ordenado é uma unidade de pedido.

Propriedades

Cada unidade de pedido de um TVS pedido está dentro do cone positivo para a topologia do pedido.

Se for um espaço vetorial pré-ordenado sobre os reais com unidade de pedido, então o mapa é um funcional sublinear . ${\ displaystyle (X, \ leq)}$${\ displaystyle u,}$${\ displaystyle p (x): = \ inf \ {t \ in \ mathbb {R}: x \ leq tu \}}$

Norma de unidade de pedido

Suponha que é um espaço vetorial ordenado sobre os reais com unidade de ordem cuja ordem é Arquimediana e deixe Então o funcional de Minkowski definido por é uma norma chamada de${\ displaystyle (X, \ leq)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle U = [- u, u].}$ ${\ displaystyle p_ {U}}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle p_ {U} (x): = \ {r> 0: x \ in r [-u, u] \},}$ norma de unidade de pedido . Ele satisfaze a bola unitária fechada determinada poré igual aisto é,${\ displaystyle p_ {U} (u) = 1}$${\ displaystyle p_ {U}}$${\ displaystyle [-u, u];}$${\ displaystyle [-u, u] = \ left \ {x \ in X: p_ {U} (x) \ leq 1 \ right \}.}$

Referências

Bibliografia

• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espaços vetoriais topológicos . Matemática pura e aplicada (segunda edição). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .