Ortonormalidade - Orthonormality

Na álgebra linear , dois vetores em um espaço de produto interno são ortonormais se forem vetores unitários ortogonais (ou perpendiculares ao longo de uma linha) . Um conjunto de vetores forma um conjunto ortonormal se todos os vetores no conjunto forem mutuamente ortogonais e todos de comprimento unitário. Um conjunto ortonormal que forma uma base é denominado base ortonormal .

Visão geral intuitiva

A construção da ortogonalidade de vetores é motivada por um desejo de estender a noção intuitiva de vetores perpendiculares para espaços de dimensões superiores. No plano cartesiano , dois vetores são considerados perpendiculares se o ângulo entre eles for 90 ° (ou seja, se eles formarem um ângulo reto ). Esta definição pode ser formalizada no espaço cartesiano definindo o produto escalar e especificando que dois vetores no plano são ortogonais se seu produto escalar for zero.

Da mesma forma, a construção da norma de um vetor é motivada por um desejo de estender a noção intuitiva do comprimento de um vetor para espaços de dimensões superiores. No espaço cartesiano, a norma de um vetor é a raiz quadrada do vetor pontilhado consigo mesmo. Isso é,

${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}}}$

Muitos resultados importantes em álgebra linear lidam com coleções de dois ou mais vetores ortogonais. Mas, freqüentemente, é mais fácil lidar com vetores de comprimento unitário . Ou seja, muitas vezes simplifica as coisas considerar apenas vetores cuja norma é igual a 1. A noção de restringir pares ortogonais de vetores apenas àqueles de comprimento unitário é importante o suficiente para receber um nome especial. Dois vetores ortogonais e de comprimento 1 são considerados ortonormais .

Exemplo simples

Como é um par de vetores ortonormais no espaço euclidiano 2-D?

Seja u = (x ₁ , y ₁ ) e v = (x ₂ , y ₂ ). Considere as restrições sobre x ₁ , x ₂ , Y ₁ , Y ₂ necessários para fazer u e v formam um par ortogonal.

• Pela restrição de ortogonalidade, u • v = 0.
• Da restrição de comprimento de unidade em u , || vc || = 1.
• Da restrição de comprimento de unidade em v , || v || = 1.

Expandir esses termos dá 3 equações:

1. ${\ displaystyle x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} = 0 \ quad}$
2. ${\ displaystyle {\ sqrt {{x_ {1}} ^ {2} + {y_ {1}} ^ {2}}} = 1}$
3. ${\ displaystyle {\ sqrt {{x_ {2}} ^ {2} + {y_ {2}} ^ {2}}} = 1}$

A conversão de coordenadas cartesianas em polares e a consideração da equação e da equação fornecem imediatamente o resultado r ₁ = r ₂ = 1. Em outras palavras, exigir que os vetores tenham comprimento unitário restringe os vetores a se situarem no círculo unitário . ${\ displaystyle (2)}$${\ displaystyle (3)}$

Após a substituição, a Equação se torna . Reorganizando dá . Usar uma identidade trigonométrica para converter o termo cotangente dá ${\ displaystyle (1)}$${\ displaystyle \ cos \ theta _ {1} \ cos \ theta _ {2} + \ sin \ theta _ {1} \ sin \ theta _ {2} = 0}$${\ displaystyle \ tan \ theta _ {1} = - \ cot \ theta _ {2}}$

${\ displaystyle \ tan (\ theta _ {1}) = \ tan \ left (\ theta _ {2} + {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right)}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ theta _ {1} = \ theta _ {2} + {\ tfrac {\ pi} {2}}}$

É claro que, no plano, os vetores ortonormais são simplesmente raios do círculo unitário cuja diferença em ângulos é igual a 90 °.

Definição

Deixe ser um espaço de produto interno . Um conjunto de vetores ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

${\ displaystyle \ left \ {u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n}, \ ldots \ right \} \ in {\ mathcal {V}}}$

é chamado de ortonormal se e somente se

${\ displaystyle \ forall i, j: \ langle u_ {i}, u_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}$

onde está o delta de Kronecker e é o produto interno definido acima . ${\ displaystyle \ delta _ {ij} \,}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Significado

Os conjuntos ortonormais não são especialmente significativos por si próprios. No entanto, eles apresentam certas características que os tornam fundamentais para explorar a noção de diagonalizabilidade de certos operadores em espaços vetoriais.

Propriedades

Os conjuntos ortonormais têm certas propriedades muito atraentes, que os tornam particularmente fáceis de trabalhar.

• Teorema . Se { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } for uma lista ortonormal de vetores, então

${\ displaystyle \ forall {\ textbf {a}}: = [a_ {1}, \ cdots, a_ {n}]; \ || a_ {1} {\ textbf {e}} _ {1} + a_ { 2} {\ textbf {e}} _ {2} + \ cdots + a_ {n} {\ textbf {e}} _ {n} || ^ {2} = | a_ {1} | ^ {2} + | a_ {2} | ^ {2} + \ cdots + | a_ {n} | ^ {2}}$

• Teorema . Cada lista ortonormal de vetores é linearmente independente .

Existência

• Teorema de Gram-Schmidt . Se { v ₁ , v ₂ , ..., v _n } é uma lista linearmente independente de vetores em um espaço de produto interno, então existe uma lista ortonormal { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } de vetores emque span ( e ₁ , e ₂ , ..., e _n ) = span ( v ₁ , v ₂ , ..., v _n ).${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

A prova do teorema de Gram-Schmidt é construtiva e amplamente discutida em outro lugar. O teorema de Gram-Schmidt, junto com o axioma da escolha , garante que todo espaço vetorial admite uma base ortonormal. Este é possivelmente o uso mais significativo da ortonormalidade, já que este fato permite que os operadores em espaços de produto interno sejam discutidos em termos de sua ação nos vetores de base ortonormal do espaço. O que resulta é uma relação profunda entre a diagonalizabilidade de um operador e como ele atua nos vetores de base ortonormal. Essa relação é caracterizada pelo Teorema Espectral .

Exemplos

Base padrão

A base padrão para o espaço de coordenadas F ⁿ é

{ e 1 , e 2 , ..., e n } onde	e 1 = (1, 0, ..., 0)
	e 2 = (0, 1, ..., 0)
	${\ displaystyle \ vdots}$
	e n = (0, 0, ..., 1)

Quaisquer dois vetores e _i , e _j onde i ≠ j são ortogonais, e todos os vetores são claramente de comprimento unitário. Portanto, { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } forma uma base ortonormal.

Funções com valor real

Ao se referir a reais -valued funções , geralmente o L² produto interno assume, salvo indicação contrária. Duas funções e são orthonormal sobre o intervalo se ${\ displaystyle \ phi (x)}$${\ displaystyle \ psi (x)}$ ${\ displaystyle [a, b]}$

${\ displaystyle (1) \ quad \ langle \ phi (x), \ psi (x) \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} \ phi (x) \ psi (x) dx = 0, \ quad {\ rm {e}}}$

${\ displaystyle (2) \ quad || \ phi (x) || _ {2} = || \ psi (x) || _ {2} = \ left [\ int _ {a} ^ {b} | \ phi (x) | ^ {2} dx \ right] ^ {\ frac {1} {2}} = \ left [\ int _ {a} ^ {b} | \ psi (x) | ^ {2} dx \ right] ^ {\ frac {1} {2}} = 1.}$

Séries de Fourier

A série de Fourier é um método de expressar uma função periódica em termos de funções de base senoidal . Tomando C [−π, π] como sendo o espaço de todas as funções de valor real contínuas no intervalo [−π, π] e tomando o produto interno como sendo

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) g (x) dx}$

pode ser mostrado que

${\ displaystyle \ left \ {{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}}, {\ frac {\ sin (x)} {\ sqrt {\ pi}}}, {\ frac {\ sin (2x)} {\ sqrt {\ pi}}}, \ ldots, {\ frac {\ sin (nx)} {\ sqrt {\ pi}}}, {\ frac {\ cos (x)} {\ sqrt {\ pi}}}, {\ frac {\ cos (2x)} {\ sqrt {\ pi}}}, \ ldots, {\ frac {\ cos (nx)} {\ sqrt {\ pi}}} \ direita \}, \ quad n \ in \ mathbb {N}}$

forma um conjunto ortonormal.

No entanto, isso é de pouca importância, porque C [−π, π] é infinito-dimensional e um conjunto finito de vetores não pode abrangê-lo. Porém, remover a restrição de que n seja finito torna o conjunto denso em C [−π, π] e, portanto, uma base ortonormal de C [−π, π].

Veja também

• Ortogonalização

Origens

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2ª ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , p. 106-110 , ISBN 978-0-387-98258-8
• Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentals of Circuits and Filters (3ª ed.), Boca Raton : CRC Press , p. 62 , ISBN 978-1-4200-5887-1