Número palíndromo - Palindromic number

Um número palíndromo (também conhecido como palíndromo numérico ou palíndromo numérico ) é um número (como 16461) que permanece o mesmo quando seus dígitos são invertidos. Em outras palavras, ele tem simetria refletiva em um eixo vertical. O termo palíndromo é derivado de palíndromo , que se refere a uma palavra (como rotor ou carro de corrida ) cuja grafia permanece inalterada quando suas letras são invertidas. Os primeiros 30 números palindrômicos (em decimais ) são:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, ... (sequência A002113 no OEIS ).

Os números palíndromos recebem mais atenção no domínio da matemática recreativa . Um problema típico pede números que possuam uma certa propriedade e sejam palíndrômicos. Por exemplo:

Os primos palindrômicos são 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, ... (sequência A002385 no OEIS ).
Os números quadrados palindrômicos são 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,… (sequência A002779 no OEIS ).

É óbvio que em qualquer base existem infinitos números palindrômicos, visto que em qualquer base a seqüência infinita de números escritos (naquela base) como 101, 1001, 10001, 100001, etc. consiste apenas em números palindrômicos.

Definição formal

Embora os números palindrômicos sejam mais frequentemente considerados no sistema decimal , o conceito de palindromicidade pode ser aplicado aos números naturais em qualquer sistema numeral . Considere um número n > 0 na base b ≥ 2, onde é escrito em notação padrão com k +1 dígitos a _i como:

{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} b ^ {i}}

com, como de costume, 0 ≤ a _i < b para todo i e a _k ≠ 0. Então n é palíndrômico se e somente se a _i = a _{k - i} para todo i . Zero é escrito 0 em qualquer base e também é palíndromo por definição.

Números decimais palindrômicos

Todos os números na base 10 (e de fato em qualquer base) com um dígito são palindrômicos, portanto, existem dez números palindrômicos decimais com um dígito:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Existem 9 números palindrômicos com dois dígitos:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Existem 90 números palindrômicos com três dígitos (usando a regra do produto : 9 opções para o primeiro dígito - que também determina o terceiro dígito - multiplicado por 10 escolhas para o segundo dígito):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Existem igualmente 90 números palindrômicos com quatro dígitos (novamente, 9 opções para o primeiro dígito multiplicadas por dez escolhas para o segundo dígito. Os outros dois dígitos são determinados pela escolha dos dois primeiros):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

portanto, existem 199 números palindrômicos abaixo de 10 ⁴ .

Abaixo de 10 ⁵ existem 1099 números palindrômicos e para outros expoentes de 10 ⁿ temos: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,… (sequência A070199 no OEIS ). O número de números palindrômicos que possuem alguma outra propriedade estão listados abaixo:

	10 ¹	10 ²	10 ³	10 ⁴	10 ⁵	10 ⁶	10 ⁷	10 ⁸	10 ⁹	10 ¹⁰
n natural	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n mesmo	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n estranho	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n quadrado	4		7		14	15	20		31
n cubo	3		4	5			7			8
n primo	4	5	20		113		781		5953
n squarefree	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n não quadrado livre ( μ ( n ) = 0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n quadrado com raiz primária	2	3		5
n com um número par de fatores primos distintos (μ ( n ) = 1)	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n com um número ímpar de fatores primos distintos (μ ( n ) = - 1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n par com um número ímpar de fatores primos	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n par com um número ímpar de fatores primos distintos	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
n ímpar com um número ímpar de fatores primos	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
n ímpar com um número ímpar de fatores primos distintos	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n pares livres com um número par de fatores primos (distintos)	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n quadrado ímpar livre com um número par de fatores primos (distintos)	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
n ímpar com exatamente 2 fatores primos	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n mesmo com exatamente 2 fatores primos	2	3	11		64		413		+	+
n mesmo com exatamente 3 fatores primos	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
n mesmo com exatamente 3 fatores primos distintos	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
n ímpar com exatamente 3 fatores primos	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
n número Carmichael	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n para o qual σ ( n ) é palíndromo	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Poderes perfeitos

Existem muitos poderes perfeitos palindrômicos n ^k , onde n é um número natural ek é 2, 3 ou 4.

Quadrados palindrômicos : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (sequência A002779 no OEIS )
Cubos palindrômicos : 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (sequência A002781 no OEIS )
Palindricas quarta poderes : 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (sequência A186080 no OEIS )

Os primeiros nove termos da sequência 1 ² , 11 ² , 111 ² , 1111 ² , ... formam os palíndromos 1, 121, 12321, 1234321, ... (sequência A002477 no OEIS )

O único número não palíndromo conhecido cujo cubo é um palíndromo é 2201, e é uma conjectura que a quarta raiz de todas as quartas potências do palíndromo são um palíndromo com 100000 ... 000001 (10 ⁿ + 1).

GJ Simmons conjecturou que não há palíndromos da forma n ^k para k > 4 ( en > 1).

Outras bases

Os números palindrômicos podem ser considerados em sistemas numéricos diferentes dos decimais . Por exemplo, os números palindrômicos binários são:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (sequência A057148 no OEIS )

ou em decimal:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (sequência A006995 no OEIS )

Os primos de Fermat e os primos de Mersenne formam um subconjunto dos primos palindrômicos binários.

Qualquer número é palíndromo em todas as bases com (trivialmente, porque é então um número de um dígito), e também na base (porque é então ). Mesmo excluindo os casos em que o número é menor que a base, a maioria dos números é palíndromo em mais de uma base. Por exemplo, , . Um número que é não palíndrômico em todas as bases, onde é chamado de número estritamente não palíndromo . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle b> n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 11_ {n-1}}$ ${\ displaystyle 1221_ {4} = 151_ {8} = 77_ {14} = 55_ {20} = 33_ {34} = 11_ {104}}$ ${\ displaystyle 1991_ {10} = 7C7_ {16}}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle 1 <b <n-1}$

Na base 7 , porque 101 ₇ é duas vezes um quadrado perfeito (5 ² = 34 ₇ ), vários de seus múltiplos são quadrados palindrômicos:

13 ²	=	202
26 ²	=	1111
55 ²	=	4444
101 ²	=	10201
143 ²	=	24442

Na base 18 , algumas potências de sete são palindrômicas:

7 ⁰	=	1
7 ¹	=	7
7 ³	=	111
7 ⁴	=	777
7 ⁶	=	12321
7 ⁹	=	1367631

E na base 24, as primeiras oito potências de cinco também são palíndrômicas:

5 ⁰	=	1
5 ¹	=	5
5 ²	=	11
5 ³	=	55
5 ⁴	=	121
5 ⁵	=	5A5
5 ⁶	=	1331
5 ⁷	=	5FF5
5 ⁸	=	14641
5 ^A	=	15AA51
5 ^C	=	16FLF61

Um número palindrômico na base b que é composto de sequências palindrômicas de comprimento l arranjadas em uma ordem palindrômica (como 101 111 010 111 101 ₂ ) é palíndromo na base b ^l (por exemplo, o número binário acima é palindrômico na base 2 ³ = 8 (é igual a 57275 ₈ ))

O quadrado de 133 ₁₀ na base 30 é 4D ₃₀² = KKK ₃₀ = 3R ₃₆² = DPD ₃₆ . Na base 24, há mais quadrados palíndrômicos devido a 5 ² = 11. E os quadrados de todos os números na forma 1666 ... 6667 (com qualquer número de 6 'entre 1 e 7) são palindrômicos. 167 ² = 1E5E1, 1667 ² = 1E3K3E1, 16667 ² = 1E3H8H3E1.

Processo Lychrel

Os números não palíndrômicos podem ser emparelhados com os palíndrômicos por meio de uma série de operações. Primeiro, o número não palíndromo é invertido e o resultado é adicionado ao número original. Se o resultado não for um número palíndromo, repete-se até obter um número palíndromo. Esse número é denominado "um palíndromo retardado".

Não se sabe se todos os números não palindrômicos podem ser emparelhados com números palindrômicos dessa maneira. Embora nenhum número tenha sido provado não estar emparelhado, muitos parecem não estar. Por exemplo, 196 não produz um palíndromo mesmo após 700 milhões de iterações. Qualquer número que nunca se torne palíndromo dessa forma é conhecido como número de Lychrel .

Em 24 de janeiro de 2017, o número 1.999.291.987.030.606.810 foi publicado na OEIS como A281509 e anunciou "O maior palíndromo conhecido mais atrasado". A sequência de 125 palíndromos mais atrasados de 261 etapas precedendo 1.999.291.987.030.606.810 e não relatada antes foi publicada separadamente como A281508 .

Soma dos recíprocos

A soma dos recíprocos dos números palindrômicos é uma série convergente, cujo valor é de aproximadamente 3,37028 ... (seqüência A118031 no OEIS ).

Números Scheherazade

Os números de Scheherazade são um conjunto de números identificados por Buckminster Fuller em seu livro Synergetics . Fuller não dá uma definição formal para este termo, mas a partir dos exemplos que ele dá, pode ser entendido como aqueles números que contêm um fator do n # primorial , onde n ≥13 e é o maior fator primo do número. Fuller chamou esses números de números Scheherazade porque eles devem ter um fator de 1001. Scheherazade é a contadora de histórias das Mil e Uma Noites , contando uma nova história a cada noite para atrasar sua execução. Uma vez que n deve ser pelo menos 13, o primorial deve ser pelo menos 1 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13, e 7 × 11 × 13 = 1001. Fuller também se refere a potências de 1001 como números Scheherazade. O menor primorial contendo o número Scheherazade é 13 # = 30.030.

Fuller apontou que alguns desses números são palíndromos por grupos de dígitos. Por exemplo, 17 # = 510.510 mostra uma simetria de grupos de três dígitos. Fuller chamou esses números de Scheherazade Dividendos Abrangentes Sublimemente Lembráveis, ou números SSRCD. Fuller observa que 1001 elevado a uma potência não apenas produz números sublimemente memoráveis que são palíndromos em grupos de três dígitos, mas também os valores dos grupos são os coeficientes binomiais . Por exemplo,

{\ displaystyle (1001) ^ {6} = 1.006.015.020.015.006.001}

Essa sequência falha em (1001) ¹³ porque há um dígito de transporte levado para o grupo à esquerda em alguns grupos. Fuller sugere escrever essas repercussões em uma linha separada. Se isso for feito, usando mais linhas de spillover conforme necessário, a simetria é preservada indefinidamente para qualquer potência. Muitos outros números de Scheherazade mostram simetrias semelhantes quando expressos desta forma.

Somas de palíndromos

Em 2018, um artigo foi publicado demonstrando que todo número inteiro positivo pode ser escrito como a soma de três números palíndromos em todo sistema numérico com base 5 ou maior.

Veja também

Notas

Referências

Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number de Euclid aos computadores mais recentes : CRC Press 1986, ISBN 0-85274-495-1 , S. 61 ( Limited Online-Version (Google Books) )

links externos

Weisstein, Eric W. "Palindromic Number" . MathWorld .
Jason Doucette - 196 Palindrome Quest / Most Delayed Palindromic Number
196 e outros números de Lychrel
Em números palíndromos gerais em MathPages
Números palíndromos para 100.000 de Ask Dr. Math
P. De Geest, cubos palindrômicos
Yutaka Nishiyama , Numerical Palindromes and the 196 Problem , IJPAM, Vol.80, No.3, 375-384, 2012.

Languages

In other projects