Paralelepípedo - Parallelepiped

Paralelepípedo
Modelo	Plesioedro prisma
Rostos	6 paralelogramos
Arestas	12
Vértices	8
Grupo de simetria	C i , [2 + , 2 + ], (×), ordem 2
Propriedades	convexo, zonoedro

Em geometria , um paralelepípedo é uma figura tridimensional formada por seis paralelogramos (o termo romboide também é algumas vezes usado com este significado). Por analogia, ele se relaciona a um paralelogramo, assim como um cubo se relaciona a um quadrado . Na geometria euclidiana , os quatro conceitos - paralelepípedo e cubo em três dimensões, paralelogramo e quadrado em duas dimensões - são definidos, mas no contexto de uma geometria afim mais geral , em que os ângulos não são diferenciados, existem apenas paralelogramos e paralelepípedos . Três definições equivalentes de paralelepípedo são

• um poliedro com seis faces ( hexaedro ), cada uma das quais é um paralelogramo,
• um hexaedro com três pares de faces paralelas, e
• um prisma cuja base é um paralelogramo .

O cuboide retangular (seis faces retangulares ), o cubo (seis faces quadradas ) e o romboedro (seis faces do losango ) são todos casos específicos de paralelepípedo.

"Paralelepípedo" é agora geralmente pronunciado / ˌ p ÆR ə l ɛ l ɪ p ɪ p ɛ d / , / ˌ p ÆR ə l ɛ l ɪ p aɪ p ɛ d / , ou / - p ɪ d / ; tradicionalmente era / ˌ p ÆR ə l ɛ l ɛ p ɪ p ɛ d / PARR -ə-lel- EP -i-ped em conformidade com a sua etimologia em grego παραλληλεπίπεδον paralelepípedo , um corpo "tendo planos paralelos".

Paralelepípedos são uma subclasse dos prismatoides .

Propriedades

Qualquer um dos três pares de faces paralelas pode ser visto como os planos básicos do prisma. Um paralelepípedo possui três conjuntos de quatro arestas paralelas; as arestas dentro de cada conjunto têm o mesmo comprimento.

Paralelepípedos resultam de transformações lineares de um cubo (para os casos não degenerados: as transformações lineares bijetivas).

Como cada face tem simetria de ponto , um paralelepípedo é um zonoedro . Além disso, todo o paralelepípedo tem simetria de ponto C _i (ver também triclínico ). Cada face é, vista de fora, a imagem espelhada da face oposta. As faces são em geral quirais , mas o paralelepípedo não.

Uma tesselação que preenche o espaço é possível com cópias congruentes de qualquer paralelepípedo.

Volume

Um paralelepípedo pode ser considerado um prisma oblíquo com um paralelogramo como base. Portanto, o volume de um paralelepípedo é o produto da área da base pela altura (ver diagrama). Com ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle B = | {\ vec {a}} | \ cdot | {\ vec {b}} | \ cdot \ sin \ gamma = | {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} | ~}$(onde é o ângulo entre os vetores e ), e${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

${\ displaystyle h = | {\ vec {c}} | \ cdot | \ cos \ theta ~ | ~}$(onde é o ângulo entre o vetor e o normal para a base), obtém-se:${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ vec {c}}}$

${\ displaystyle V = B \ cdot h = (| {\ vec {a}} || {\ vec {b}} | \ sin \ gamma) \ cdot | {\ vec {c}} || \ cos \ theta ~ | = | {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} | ~ | {\ vec {c}} | ~ | \ cos \ theta ~ | = | ({\ vec {a}} \ vezes {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {c}} | ~.}$

O produto misto de três vetores é denominado produto triplo . Pode ser descrito por um determinante . Portanto, para o volume é: ${\ displaystyle {\ vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) ^ {T}, ~ {\ vec {b}} = (b_ {1}, b_ {2 }, b_ {3}) ^ {T}, ~ {\ vec {c}} = (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}) ^ {T},}$

(V1) .${\ displaystyle \ quad V = \ left | \ det \ left ({\ begin {matrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} \ end {matrix}} \ right) \ right |}$

Outra forma de provar (V1) é usar a componente escalar na direção do vetor : O resultado segue. ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {c}}}$${\ displaystyle {\ begin {alinhados} V = | {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} || \ mathrm {scal} _ {{\ vec {a}} \ times {\ vec { b}}} {\ vec {c}} | = | {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} | {\ dfrac {| ({\ vec {a}} \ times {\ vec { b}}) \ cdot {\ vec {c}} |} {| {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} |}} = | ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {c}} | \ end {alinhado}}.}$

Uma representação alternativa do volume usa propriedades geométricas (ângulos e comprimentos de borda) apenas:

(V2) ,${\ displaystyle \ quad V = abc {\ sqrt {1 + 2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2 } (\ beta) - \ cos ^ {2} (\ gamma)}}}$

onde e estão os comprimentos das bordas. ${\ displaystyle \ \ alpha = \ angle ({\ vec {b}}, {\ vec {c}}), \; \ beta = \ angle ({\ vec {a}}, {\ vec {c}} ), \; \ gamma = \ angle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}), \}$${\ displaystyle a, b, c}$

Prova de (V2)

A prova de (V2) usa propriedades de um determinante e a interpretação geométrica do produto escalar :

Seja a matriz 3x3, cujas colunas são os vetores (veja acima). Então o seguinte é verdadeiro: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}}}$

${\ displaystyle V ^ {2} = (\ det M) ^ {2} = \ det M \ det M = \ det M ^ {T} \ det M = \ det (M ^ {T} M)}$

${\ displaystyle = \ mathrm {det} \ left ({\ begin {matrix} {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}} & {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b} } & {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {c}} \\ {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {a}} & {\ vec {b}} \ cdot {\ vec { b}} & {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}} \\ {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {a}} & {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {b}} & {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {c}} \ end {matriz}} \ direita)}$

(expandindo o determinante acima na primeira linha)

${\ displaystyle = \ a ^ {2} \ left (b ^ {2} c ^ {2} -b ^ {2} c ^ {2} \ cos (\ alpha) \ right)}$

${\ displaystyle -ab \ cos (\ gamma) \ left (ab \ cos (\ gamma) c ^ {2} -ac \ cos (\ beta) \; bc \ cos (\ alpha) \ right)}$

${\ displaystyle + ac \ cos (\ beta) \ left (ab \ cos (\ gamma) bc \ cos (\ alpha) -ac \ cos (\ beta) b ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle = \ a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \ cos (\ alpha)}$

${\ displaystyle -a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \ cos ^ {2} (\ gamma) + a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \ cos (\ alpha ) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma)}$

${\ displaystyle + a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) -a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \ cos (\ beta)}$

${\ displaystyle = \ a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \ left (1- \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2} (\ gamma) + \ cos ( \ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) + \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) + \ cos ^ {2} (\ beta) \ right)}$

${\ displaystyle = \ a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \; \ left (1 + 2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2} (\ beta) - \ cos ^ {2} (\ gamma) \ right).}$

(As últimas etapas usam ) ${\ displaystyle \ {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}} = a ^ {2}, ..., \; {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = ab \ cos \ gamma, \; {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {c}} = ac \ cos \ beta, \; {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}} = bc \ cos \ alpha, ...}$

Tetraedro correspondente

O volume de qualquer tetraedro que compartilha três arestas convergentes de um paralelepípedo é igual a um sexto do volume desse paralelepípedo (ver prova ).

Superfície

A área da superfície de um paralelepípedo é a soma das áreas dos paralelogramos delimitadores:

${\ displaystyle A = 2 \ cdot \ left (| {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} | + | {\ vec {a}} \ times {\ vec {c}} | + | {\ vec {b}} \ times {\ vec {c}} | \ right)}$

${\ displaystyle = 2 (ab \ sin \ gamma + bc \ sin \ alpha + ca \ sin \ beta) \}$.

(Para rotulagem: consulte a seção anterior.)

Casos especiais por simetria

Relações de subgrupo de simetria octaédrica com centro de inversão

Casos especiais do paralelepípedo

Forma	Cubo	Cuboide quadrado	Trapezoedro trigonal	Cuboide retangular	Prisma rômbico direito	Prisma paralelogramo direito	Prisma rômbico oblíquo
Restrições	${\ displaystyle a = b = c}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 90 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle a = b}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 90 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle a = b = c}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma}$	${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 90 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle a = b}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = 90 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ alpha = \ beta = 90 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle a = b}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta}$
Simetria	O h pedido 48	D 4h pedido 16	D 3d pedido 12	D 2h pedido 8		C 2h ordem 4
Imagem
Rostos	6 quadrados	2 quadrados, 4 retângulos	6 losangos	6 retângulos	4 retângulos, 2 losangos	4 retângulos, 2 paralelogramos	2 losangos, 4 paralelogramos

• O paralelepípedo com simetria O _h é conhecido como cubo , que possui seis faces quadradas congruentes.
• O paralelepípedo com simetria D _4h é conhecido como cuboide quadrado , que possui duas faces quadradas e quatro faces retangulares congruentes.
• O paralelepípedo com simetria D _3d é conhecido como trapézio trigonal , que possui seis faces rômbicas congruentes (também chamado de romboedro isohédrico ).
• Para paralelepípedos com simetria D _2h , existem dois casos:
  • Cuboide retangular : possui seis faces retangulares (também denominado paralelepípedo retangular ou, às vezes, simplesmente cuboide ).
  • Prisma rômbico direito : possui duas faces rômbicas e quatro faces retangulares congruentes.

Nota: o caso especial totalmente rômbico, com duas faces rômbicas e quatro faces quadradas congruentes , tem o mesmo nome e o mesmo grupo de simetria (D _2h , ordem 8).${\ displaystyle (a = b = c)}$

• Para paralelepípedos com simetria C _2h , existem dois casos:
  • Prisma paralelogramo direito : possui quatro faces retangulares e duas faces paralelogramo.
  • Prisma rômbico oblíquo : possui duas faces rômbicas, enquanto das outras faces duas adjacentes são iguais e as outras duas também (os dois pares são a imagem espelhada um do outro).

Paralelepípedo perfeito

Um paralelepípedo perfeito é um paralelepípedo com arestas de comprimento inteiro, diagonais de face e diagonais de espaço . Em 2009, dezenas de paralelepípedos perfeitos foram mostrados, respondendo a uma pergunta aberta de Richard Guy . Um exemplo tem arestas 271, 106 e 103, diagonais de face secundária 101, 266 e 255, diagonais de face principal 183, 312 e 323 e diagonais de espaço 374, 300, 278 e 272.

São conhecidos alguns paralelepípedos perfeitos com duas faces retangulares. Mas não se sabe se existe algum com todas as faces retangulares; tal caso seria chamado de cubóide perfeito .

Paralelotopo

Coxeter chamou a generalização de um paralelepípedo em dimensões superiores de paralelotopo . Na literatura moderna, a expressão paralelepípedo é freqüentemente usada também em dimensões superiores (ou finitas arbitrárias).

Especificamente no espaço n- dimensional, ele é chamado de paralelotopo n- dimensional ou simplesmente n- paralelotopo (ou n- paralelotopo). Assim, um paralelogramo é um paralelotopo 2 e um paralelepípedo é um paralelotopo 3.

Mais geralmente, um paralelotopo, ou paralelotopo de voronoi , tem facetas opostas paralelas e congruentes. Portanto, um paralelotopo 2 é um paralelogon que também pode incluir certos hexágonos, e um paralelotopo 3 é um paralelotopo , incluindo 5 tipos de poliedros.

As diagonais de um n- paralelotopo se cruzam em um ponto e são divididas por este ponto. A inversão neste ponto deixa o n- paralelotopo inalterado. Veja também pontos fixos de grupos de isometria no espaço euclidiano .

As arestas que irradiam de um vértice de um k- paralelotopo formam um k- quadro do espaço vetorial, e o paralelotopo pode ser recuperado desses vetores, tomando combinações lineares dos vetores, com pesos entre 0 e 1. ${\ displaystyle (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$

O n -volume de um n- paralelotopo embutido em onde pode ser calculado por meio do determinante de Gram . Alternativamente, o volume é a norma do produto exterior dos vetores: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle m \ geq n}$

${\ displaystyle V = \ left \ | v_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {n} \ right \ |.}$

Se m = n , isso equivale ao valor absoluto do determinante dos n vetores.

Outra fórmula para calcular o volume de um n- paralelotopo P in , cujos n + 1 vértices são , é ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle V_ {0}, V_ {1}, \ ldots, V_ {n}}$

${\ displaystyle {\ rm {Vol}} (P) = | {\ rm {det}} \ ([V_ {0} \ 1] ^ {\ rm {T}}, [V_ {1} \ 1] ^ {\ rm {T}}, \ ldots, [V_ {n} \ 1] ^ {\ rm {T}}) |,}$

onde é o vetor linha formado pela concatenação de e 1. De fato, o determinante permanece inalterado se for subtraído de ( i > 0 ), e colocar na última posição apenas altera seu sinal. ${\ displaystyle [V_ {i} \ 1]}$${\ displaystyle V_ {i}}$${\ displaystyle [V_ {0} \ 1]}$${\ displaystyle [V_ {i} \ 1]}$${\ displaystyle [V_ {0} \ 1]}$

Da mesma forma, o volume de qualquer n - simplex que compartilha n arestas convergentes de um paralelotopo tem um volume igual a 1 / n ! do volume desse paralelotopo.

Lexicografia

A palavra aparece como paralelipípedo na tradução de Elementos de Euclides de Sir Henry Billingsley , datada de 1570. Na edição de 1644 de seu Cursus mathematicus , Pierre Hérigone usou a grafia paralelepípedo . O Oxford English Dictionary cita o paralelepípedo atual como tendo aparecido pela primeira vez em Chorea gigantum de Walter Charleton (1663).

O Dicionário de Charles Hutton (1795) mostra paralelepípedo e paralelopípedo , mostrando a influência da forma combinada paralelo- , como se o segundo elemento fosse pipedon em vez de epipedon . Noah Webster (1806) inclui a grafia paralelepípedo . A edição de 1989 do Oxford English Dictionary descreve paralelopípedo (e paralelepípedo ) explicitamente como formas incorretas, mas essas são listadas sem comentários na edição de 2004, e apenas pronúncias com ênfase na quinta sílaba pi ( / paɪ / ) são fornecidas.

Uma mudança na pronúncia tradicional escondeu a partição diferente sugerida pelas raízes gregas, com epi- ("on") e pedon ("ground") combinando para dar epiped , um "plano" plano. Assim, as faces de um paralelepípedo são planas, com faces opostas sendo paralelas.

Veja também

• Listas de formas

Notas

Referências

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , 3rd ed. Nova York: Dover, p. 122, 1973. (Ele define paralelotopo como uma generalização de um paralelogramo e paralelepípedo em n-dimensões.)

links externos

• Weisstein, Eric W. "Parallelepiped" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Parallelotope" . MathWorld .
• Modelo de papel paralelepípedo (rede)