Paralelepípedo - Parallelepiped
Paralelepípedo | |
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Modelo |
Plesioedro prisma |
Rostos | 6 paralelogramos |
Arestas | 12 |
Vértices | 8 |
Grupo de simetria | C i , [2 + , 2 + ], (×), ordem 2 |
Propriedades | convexo, zonoedro |
Em geometria , um paralelepípedo é uma figura tridimensional formada por seis paralelogramos (o termo romboide também é algumas vezes usado com este significado). Por analogia, ele se relaciona a um paralelogramo, assim como um cubo se relaciona a um quadrado . Na geometria euclidiana , os quatro conceitos - paralelepípedo e cubo em três dimensões, paralelogramo e quadrado em duas dimensões - são definidos, mas no contexto de uma geometria afim mais geral , em que os ângulos não são diferenciados, existem apenas paralelogramos e paralelepípedos . Três definições equivalentes de paralelepípedo são
- um poliedro com seis faces ( hexaedro ), cada uma das quais é um paralelogramo,
- um hexaedro com três pares de faces paralelas, e
- um prisma cuja base é um paralelogramo .
O cuboide retangular (seis faces retangulares ), o cubo (seis faces quadradas ) e o romboedro (seis faces do losango ) são todos casos específicos de paralelepípedo.
"Paralelepípedo" é agora geralmente pronunciado / ˌ p ÆR ə l ɛ l ɪ p ɪ p ɛ d / , / ˌ p ÆR ə l ɛ l ɪ p aɪ p ɛ d / , ou / - p ɪ d / ; tradicionalmente era / ˌ p ÆR ə l ɛ l ɛ p ɪ p ɛ d / PARR -ə-lel- EP -i-ped em conformidade com a sua etimologia em grego παραλληλεπίπεδον paralelepípedo , um corpo "tendo planos paralelos".
Paralelepípedos são uma subclasse dos prismatoides .
Propriedades
Qualquer um dos três pares de faces paralelas pode ser visto como os planos básicos do prisma. Um paralelepípedo possui três conjuntos de quatro arestas paralelas; as arestas dentro de cada conjunto têm o mesmo comprimento.
Paralelepípedos resultam de transformações lineares de um cubo (para os casos não degenerados: as transformações lineares bijetivas).
Como cada face tem simetria de ponto , um paralelepípedo é um zonoedro . Além disso, todo o paralelepípedo tem simetria de ponto C i (ver também triclínico ). Cada face é, vista de fora, a imagem espelhada da face oposta. As faces são em geral quirais , mas o paralelepípedo não.
Uma tesselação que preenche o espaço é possível com cópias congruentes de qualquer paralelepípedo.
Volume
Um paralelepípedo pode ser considerado um prisma oblíquo com um paralelogramo como base. Portanto, o volume de um paralelepípedo é o produto da área da base pela altura (ver diagrama). Com
- (onde é o ângulo entre os vetores e ), e
- (onde é o ângulo entre o vetor e o normal para a base), obtém-se:
O produto misto de três vetores é denominado produto triplo . Pode ser descrito por um determinante . Portanto, para o volume é:
- (V1) .
Outra forma de provar (V1) é usar a componente escalar na direção do vetor : O resultado segue.
Uma representação alternativa do volume usa propriedades geométricas (ângulos e comprimentos de borda) apenas:
- (V2) ,
onde e estão os comprimentos das bordas.
- Prova de (V2)
A prova de (V2) usa propriedades de um determinante e a interpretação geométrica do produto escalar :
Seja a matriz 3x3, cujas colunas são os vetores (veja acima). Então o seguinte é verdadeiro:
- (expandindo o determinante acima na primeira linha)
(As últimas etapas usam )
- Tetraedro correspondente
O volume de qualquer tetraedro que compartilha três arestas convergentes de um paralelepípedo é igual a um sexto do volume desse paralelepípedo (ver prova ).
Superfície
A área da superfície de um paralelepípedo é a soma das áreas dos paralelogramos delimitadores:
-
- .
(Para rotulagem: consulte a seção anterior.)
Casos especiais por simetria
Relações de subgrupo de simetria octaédrica com centro de inversão |
Casos especiais do paralelepípedo |
Forma | Cubo | Cuboide quadrado | Trapezoedro trigonal | Cuboide retangular | Prisma rômbico direito | Prisma paralelogramo direito | Prisma rômbico oblíquo |
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Restrições |
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Simetria |
O h pedido 48 |
D 4h pedido 16 |
D 3d pedido 12 |
D 2h pedido 8 |
C 2h ordem 4 |
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Imagem | |||||||
Rostos | 6 quadrados | 2 quadrados, 4 retângulos |
6 losangos | 6 retângulos | 4 retângulos, 2 losangos |
4 retângulos, 2 paralelogramos |
2 losangos, 4 paralelogramos |
- O paralelepípedo com simetria O h é conhecido como cubo , que possui seis faces quadradas congruentes.
- O paralelepípedo com simetria D 4h é conhecido como cuboide quadrado , que possui duas faces quadradas e quatro faces retangulares congruentes.
- O paralelepípedo com simetria D 3d é conhecido como trapézio trigonal , que possui seis faces rômbicas congruentes (também chamado de romboedro isohédrico ).
- Para paralelepípedos com simetria D 2h , existem dois casos:
- Cuboide retangular : possui seis faces retangulares (também denominado paralelepípedo retangular ou, às vezes, simplesmente cuboide ).
- Prisma rômbico direito : possui duas faces rômbicas e quatro faces retangulares congruentes.
- Nota: o caso especial totalmente rômbico, com duas faces rômbicas e quatro faces quadradas congruentes , tem o mesmo nome e o mesmo grupo de simetria (D 2h , ordem 8).
- Para paralelepípedos com simetria C 2h , existem dois casos:
- Prisma paralelogramo direito : possui quatro faces retangulares e duas faces paralelogramo.
- Prisma rômbico oblíquo : possui duas faces rômbicas, enquanto das outras faces duas adjacentes são iguais e as outras duas também (os dois pares são a imagem espelhada um do outro).
Paralelepípedo perfeito
Um paralelepípedo perfeito é um paralelepípedo com arestas de comprimento inteiro, diagonais de face e diagonais de espaço . Em 2009, dezenas de paralelepípedos perfeitos foram mostrados, respondendo a uma pergunta aberta de Richard Guy . Um exemplo tem arestas 271, 106 e 103, diagonais de face secundária 101, 266 e 255, diagonais de face principal 183, 312 e 323 e diagonais de espaço 374, 300, 278 e 272.
São conhecidos alguns paralelepípedos perfeitos com duas faces retangulares. Mas não se sabe se existe algum com todas as faces retangulares; tal caso seria chamado de cubóide perfeito .
Paralelotopo
Coxeter chamou a generalização de um paralelepípedo em dimensões superiores de paralelotopo . Na literatura moderna, a expressão paralelepípedo é freqüentemente usada também em dimensões superiores (ou finitas arbitrárias).
Especificamente no espaço n- dimensional, ele é chamado de paralelotopo n- dimensional ou simplesmente n- paralelotopo (ou n- paralelotopo). Assim, um paralelogramo é um paralelotopo 2 e um paralelepípedo é um paralelotopo 3.
Mais geralmente, um paralelotopo, ou paralelotopo de voronoi , tem facetas opostas paralelas e congruentes. Portanto, um paralelotopo 2 é um paralelogon que também pode incluir certos hexágonos, e um paralelotopo 3 é um paralelotopo , incluindo 5 tipos de poliedros.
As diagonais de um n- paralelotopo se cruzam em um ponto e são divididas por este ponto. A inversão neste ponto deixa o n- paralelotopo inalterado. Veja também pontos fixos de grupos de isometria no espaço euclidiano .
As arestas que irradiam de um vértice de um k- paralelotopo formam um k- quadro do espaço vetorial, e o paralelotopo pode ser recuperado desses vetores, tomando combinações lineares dos vetores, com pesos entre 0 e 1.
O n -volume de um n- paralelotopo embutido em onde pode ser calculado por meio do determinante de Gram . Alternativamente, o volume é a norma do produto exterior dos vetores:
Se m = n , isso equivale ao valor absoluto do determinante dos n vetores.
Outra fórmula para calcular o volume de um n- paralelotopo P in , cujos n + 1 vértices são , é
onde é o vetor linha formado pela concatenação de e 1. De fato, o determinante permanece inalterado se for subtraído de ( i > 0 ), e colocar na última posição apenas altera seu sinal.
Da mesma forma, o volume de qualquer n - simplex que compartilha n arestas convergentes de um paralelotopo tem um volume igual a 1 / n ! do volume desse paralelotopo.
Lexicografia
A palavra aparece como paralelipípedo na tradução de Elementos de Euclides de Sir Henry Billingsley , datada de 1570. Na edição de 1644 de seu Cursus mathematicus , Pierre Hérigone usou a grafia paralelepípedo . O Oxford English Dictionary cita o paralelepípedo atual como tendo aparecido pela primeira vez em Chorea gigantum de Walter Charleton (1663).
O Dicionário de Charles Hutton (1795) mostra paralelepípedo e paralelopípedo , mostrando a influência da forma combinada paralelo- , como se o segundo elemento fosse pipedon em vez de epipedon . Noah Webster (1806) inclui a grafia paralelepípedo . A edição de 1989 do Oxford English Dictionary descreve paralelopípedo (e paralelepípedo ) explicitamente como formas incorretas, mas essas são listadas sem comentários na edição de 2004, e apenas pronúncias com ênfase na quinta sílaba pi ( / paɪ / ) são fornecidas.
Uma mudança na pronúncia tradicional escondeu a partição diferente sugerida pelas raízes gregas, com epi- ("on") e pedon ("ground") combinando para dar epiped , um "plano" plano. Assim, as faces de um paralelepípedo são planas, com faces opostas sendo paralelas.
Veja também
Notas
Referências
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , 3rd ed. Nova York: Dover, p. 122, 1973. (Ele define paralelotopo como uma generalização de um paralelogramo e paralelepípedo em n-dimensões.)