Paralelogramo - Parallelogram

Paralelogramo
Parallelogram.svg
Este paralelogramo é um romboide, pois não tem ângulos retos e lados desiguais.
Modelo quadrilátero , trapézio
Arestas e vértices 4
Grupo de simetria C 2 , [2] + ,
Área b × h (base × altura);
ab sen θ (produto dos lados adjacentes e seno do ângulo do vértice determinado por eles)
Propriedades convexo

Na geometria euclidiana , um paralelogramo é um quadrilátero simples (sem interseção automática ) com dois pares de lados paralelos . Os lados opostos ou opostos de um paralelogramo têm o mesmo comprimento e os ângulos opostos de um paralelogramo são da mesma medida. A congruência de lados opostos e ângulos opostos é uma consequência direta do postulado do paralelo euclidiano e nenhuma condição pode ser provada sem apelar para o postulado do paralelo euclidiano ou uma de suas formulações equivalentes.

Em comparação, um quadrilátero com apenas um par de lados paralelos é um trapézio no inglês americano ou um trapézio no inglês britânico.

A contraparte tridimensional de um paralelogramo é um paralelepípedo .

A etimologia (em grego παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon , uma forma "de linhas paralelas") reflete a definição.

Casos especiais

  • Romboide - Um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos e os lados adjacentes são desiguais e cujos ângulos não são retos
  • Retângulo - Um paralelogramo com quatro ângulos de igual tamanho (ângulos retos).
  • Losango - Um paralelogramo com quatro lados de igual comprimento.
  • Quadrado - Um paralelogramo com quatro lados de igual comprimento e ângulos de igual tamanho (ângulos retos).

Caracterizações

Um quadrilátero simples (sem interseção automática) é um paralelogramo se e somente se qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira:

  • Dois pares de lados opostos são paralelos (por definição).
  • Dois pares de lados opostos são iguais em comprimento.
  • Dois pares de ângulos opostos são iguais em medida.
  • As diagonais se dividem entre si.
  • Um par de lados opostos é paralelo e igual em comprimento.
  • Os ângulos adjacentes são complementares .
  • Cada diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos congruentes .
  • A soma dos quadrados dos lados é igual à soma dos quadrados das diagonais. (Esta é a lei do paralelogramo .)
  • Possui simetria rotacional de ordem 2.
  • A soma das distâncias de qualquer ponto interno aos lados é independente da localização do ponto. (Esta é uma extensão do teorema de Viviani .)
  • Há um ponto X no plano do quadrilátero com a propriedade de que toda linha reta que passa por X divide o quadrilátero em duas regiões de área igual.

Assim, todos os paralelogramos têm todas as propriedades listadas acima e, inversamente , se apenas uma dessas afirmações for verdadeira em um quadrilátero simples, então é um paralelogramo.

Outras propriedades

  • Os lados opostos de um paralelogramo são paralelos (por definição) e, portanto, nunca se cruzarão.
  • A área de um paralelogramo é o dobro da área de um triângulo criado por uma de suas diagonais.
  • A área de um paralelogramo também é igual à magnitude do produto vetorial vetorial de dois lados adjacentes .
  • Qualquer linha através do ponto médio de um paralelogramo corta a área ao meio.
  • Qualquer transformação afim não degenerada leva um paralelogramo a outro paralelogramo.
  • Um paralelogramo tem simetria rotacional de ordem 2 (a 180 °) (ou ordem 4 se for um quadrado). Se também tiver exatamente duas linhas de simetria refletiva, então deve ser um losango ou um oblongo (um retângulo não quadrado). Se tiver quatro linhas de simetria refletiva, é um quadrado .
  • O perímetro de um paralelogramo é dois ( um + b ) onde um e b são os comprimentos de lados adjacentes.
  • Ao contrário de qualquer outro polígono convexo, um paralelogramo não pode ser inscrito em nenhum triângulo com menos de duas vezes sua área.
  • Os centros de quatro quadrados construídos interna ou externamente nas laterais de um paralelogramo são os vértices de um quadrado.
  • Se duas linhas paralelas aos lados de um paralelogramo são construídas simultaneamente a uma diagonal, então os paralelogramos formados em lados opostos daquela diagonal são iguais em área.
  • As diagonais de um paralelogramo dividem-no em quatro triângulos de áreas iguais.

Fórmula de área

Um diagrama que mostra como um paralelogramo pode ser reorganizado na forma de um retângulo
Um paralelogramo pode ser reorganizado em um retângulo com a mesma área.
Animação para a fórmula da área .

Todas as fórmulas de área para quadriláteros convexos gerais se aplicam a paralelogramos. Outras fórmulas são específicas para paralelogramos:

Um paralelogramo com base be altura h pode ser dividido em um trapézio e um triângulo retângulo , e reorganizado em um retângulo , conforme mostrado na figura à esquerda. Isso significa que a área de um paralelogramo é a mesma de um retângulo com a mesma base e altura:

A área do paralelogramo é a área da região azul, que é o interior do paralelogramo

A fórmula da área base × altura também pode ser derivada usando a figura à direita. A área K do paralelogramo à direita (a área azul) é a área total do retângulo menos a área dos dois triângulos laranja. A área do retângulo é

e a área de um único triângulo laranja é

Portanto, a área do paralelogramo é

Outra fórmula de área, para dois lados B e C e ângulo θ, é

A área de um paralelogramo com lados B e C ( BC ) e ângulo na intersecção das diagonais é dada por

Quando o paralelogramo é especificado a partir dos comprimentos B e C de dois lados adjacentes junto com o comprimento D 1 de qualquer diagonal, então a área pode ser encontrada a partir da fórmula de Heron . Especificamente é

onde e o fator principal 2 vem do fato de que a diagonal escolhida divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes.

Área em termos de coordenadas cartesianas de vértices

Sejam vetores e denotem a matriz com elementos de a e b . Então, a área do paralelogramo gerado por um e b é igual a .

Deixe vetores e deixe . Então, a área do paralelogramo gerado por um e b é igual a .

Deixe pontos . Então, a área do paralelogramo com vértices em a , b e c é equivalente ao valor absoluto do determinante de uma matriz construída usando a , b e c como linhas com a última coluna preenchida usando os seguintes:

Provar que as diagonais se cruzam

Paralelogramo ABCD

Para provar que as diagonais de um paralelogramo se dividem, usaremos triângulos congruentes :

(ângulos internos alternados são iguais em medida)
(ângulos internos alternados são iguais em medida) .

(pois são ângulos que uma transversal faz com as linhas paralelas AB e DC ).

Além disso, o lado AB é igual em comprimento ao lado DC , uma vez que os lados opostos de um paralelogramo são iguais em comprimento.

Portanto, os triângulos ABE e CDE são congruentes (postulado ASA, dois ângulos correspondentes e o lado incluído ).

Portanto,

Como as diagonais AC e BD se dividem em segmentos de igual comprimento, as diagonais se dividem entre si.

Separadamente, uma vez que as diagonais AC e BD se cruzam no ponto E , o ponto E é o ponto médio de cada diagonal.

Malha de paralelogramos

Os paralelogramos podem colocar o plano lado a lado por translação. Se as arestas são iguais ou os ângulos são retos, a simetria da rede é maior. Estes representam as quatro redes Bravais em 2 dimensões .

Treliças
Forma Quadrado Retângulo Losango Paralelogramo
Sistema Quadrado
(tetragonal)
Retangular
(ortorrômbico)
Retangular
centralizado (ortorrômbico)
Oblíquo
(monoclínico)
Restrições α = 90 °, a = b α = 90 ° a = b Nenhum
Simetria p4m, [4,4], ordem 8 n pmm, [∞, 2, ∞], ordem 4 n p1, [∞ + , 2, ∞ + ], ordem 2 n
Forma Ladrilhos isoédricos p4-56.png Ladrilhos isoédricos p4-54.png Ladrilhos isoédricos p4-55.png Ladrilhos isoédricos p4-50.png

Paralelogramos decorrentes de outras figuras

Prova sem palavras do teorema de Varignon :
  1. Um quadrilátero arbitrário e suas diagonais.
  2. As bases de triângulos semelhantes são paralelas à diagonal azul.
  3. Idem para a diagonal vermelha.
  4. Os pares de bases formam um paralelogramo com metade da área do quadrilátero, A q , como a soma das áreas dos quatro triângulos grandes, A l é 2 A q (cada um dos dois pares reconstrói o quadrilátero), enquanto o do pequeno triângulos, A s é um quarto de A l (as meias dimensões lineares resultam em um quarto da área), e a área do paralelogramo é A q menos A s .

Triângulo automediano

Um triângulo automediano é aquele cujas medianas estão nas mesmas proporções de seus lados (embora em uma ordem diferente). Se ABC é um triângulo automediano em que o vértice A está oposto ao lado a , G é o centróide (onde as três medianas do ABC se cruzam) e AL é uma das medianas estendidas do ABC com L situado no circuncrito do ABC , então BGCL é um paralelogramo.

Paralelograma de Varignon

Os pontos médios dos lados de um quadrilátero arbitrário são os vértices de um paralelogramo, denominado paralelogramo de Varignon. Se o quadrilátero for convexo ou côncavo (ou seja, sem interseção automática), a área do paralelogramo de Varignon é a metade da área do quadrilátero.

Paralelograma tangente de uma elipse

Para uma elipse , dois diâmetros são considerados conjugados se e somente se a linha tangente à elipse em um ponto final de um diâmetro for paralela ao outro diâmetro. Cada par de diâmetros conjugados de uma elipse tem um paralelogramo tangente correspondente , às vezes chamado de paralelogramo delimitador, formado pelas linhas tangentes à elipse nos quatro pontos finais dos diâmetros conjugados. Todos os paralelogramos tangentes para uma determinada elipse têm a mesma área.

É possível reconstruir uma elipse a partir de qualquer par de diâmetros conjugados ou de qualquer paralelogramo tangente.

Faces de paralelepípedo

Um paralelepípedo é uma figura tridimensional cujas seis faces são paralelogramos.

Veja também

Referências

links externos