Lei do paralelogramo - Parallelogram law

Um paralelogramo. Os lados são mostrados em azul e as diagonais em vermelho.

Em matemática , a forma mais simples da lei do paralelogramo (também chamada de identidade do paralelogramo ) pertence à geometria elementar . Ele afirma que a soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos das duas diagonais. Usamos essas notações para os lados: AB , BC , CD , DA . Mas, uma vez que na geometria euclidiana um paralelogramo tem necessariamente lados opostos iguais, isto é, AB = CD e BC = DA , a lei pode ser declarada como

Se o paralelogramo é um retângulo , as duas diagonais têm comprimentos iguais AC = BD , então

e a afirmação se reduz ao teorema de Pitágoras . Para o quadrilátero geral com quatro lados não necessariamente iguais,
onde é o comprimento do segmento de linha que une os pontos médios das diagonais. Pode-se ver no diagrama que, para um paralelogramo, a fórmula geral simplifica para a lei do paralelogramo.

Prova

Paralelograma de cores.svg

No paralelogramo à direita, seja AD = BC = a , AB = DC = b . Usando a

lei dos cossenos no triângulo , obtemos:

Em um paralelogramo, os ângulos adjacentes são suplementares , portanto, usar a

lei dos cossenos no triângulo produz:

Ao aplicar a identidade trigonométrica ao primeiro resultado prova:

Agora, a soma dos quadrados pode ser expressa como:

Simplificando essa expressão, ela se torna:

A lei do paralelogramo nos espaços internos do produto

Vetores envolvidos na lei do paralelogramo.

Em um espaço normatizado , o enunciado da lei do paralelogramo é uma equação que relaciona as normas :

A lei do paralelogramo é equivalente à afirmação aparentemente mais fraca:

porque a desigualdade inversa pode ser obtido a partir dele por substituindo por e para e, em seguida, a simplificação. Com a mesma prova, a lei do paralelogramo também equivale a:

Em um espaço de produto interno , a norma é determinada usando o produto interno :

Como consequência desta definição, em um espaço de produto interno, a lei do paralelogramo é uma identidade algébrica, prontamente estabelecida usando as propriedades do produto interno:

Adicionando essas duas expressões:

como requerido.

Se é ortogonal ao significado e a equação acima para a norma de uma soma torna-se:

que é o teorema de Pitágoras .

Espaços vetoriais normados que satisfazem a lei do paralelogramo

A maioria dos espaços vetoriais normados reais e complexos não tem produtos internos, mas todos os espaços vetoriais normados têm normas (por definição). Por exemplo, uma norma comumente usada é a -norm :

onde são os componentes do vetor

Dada uma norma, pode-se avaliar ambos os lados da lei do paralelogramo acima. Um fato notável é que, se a lei do paralelogramo se mantém, a norma deve surgir da maneira usual de algum produto interno. Em particular, isso vale para a norma se e somente se a chamada norma

euclidiana ou norma padrão.

Para qualquer norma que satisfaça a lei do paralelogramo (que necessariamente é uma norma de produto interno), o produto interno que gera a norma é único como consequência da identidade de polarização . No caso real, a identidade de polarização é dada por:

ou equivalentemente por

No caso complexo, é dado por:

Por exemplo, usando a norma -com e vetores reais e a avaliação do produto interno procede da seguinte forma:

que é o produto escalar padrão de dois vetores.

Veja também

espaço vetorial no qual uma distância é definida
  • Identidade de polarização  - Fórmula relacionando a norma e o produto interno em um espaço de produto interno
  • Referências

    links externos