A soma dos quadrados dos 4 lados de um paralelogramo é igual à das 2 diagonais
Um paralelogramo. Os lados são mostrados em azul e as diagonais em vermelho.
Em matemática , a forma mais simples da lei do paralelogramo (também chamada de identidade do paralelogramo ) pertence à geometria elementar . Ele afirma que a soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos das duas diagonais. Usamos essas notações para os lados: AB , BC , CD , DA . Mas, uma vez que na geometria euclidiana um paralelogramo tem necessariamente lados opostos iguais, isto é, AB = CD e BC = DA , a lei pode ser declarada como
Se o paralelogramo é um retângulo , as duas diagonais têm comprimentos iguais AC = BD , então
e a afirmação se reduz ao
teorema de Pitágoras . Para o
quadrilátero geral com quatro lados não necessariamente iguais,
onde é o comprimento do
segmento de linha que une os pontos médios das diagonais. Pode-se ver no diagrama que, para um paralelogramo, a fórmula geral simplifica para a lei do paralelogramo.
Prova
No paralelogramo à direita, seja AD = BC = a , AB = DC = b . Usando a
lei dos cossenos no triângulo , obtemos:
Em um paralelogramo, os ângulos adjacentes são suplementares , portanto, usar a
lei dos cossenos no triângulo produz:
Ao aplicar a identidade trigonométrica ao primeiro resultado prova:
Agora, a soma dos quadrados pode ser expressa como:
Simplificando essa expressão, ela se torna:
A lei do paralelogramo nos espaços internos do produto
Vetores envolvidos na lei do paralelogramo.
Em um espaço normatizado , o enunciado da lei do paralelogramo é uma equação que relaciona as normas :
A lei do paralelogramo é equivalente à afirmação aparentemente mais fraca:
porque a desigualdade inversa pode ser obtido a partir dele por substituindo por e para e, em seguida, a simplificação. Com a mesma prova, a lei do paralelogramo também equivale a:
Em um espaço de produto interno , a norma é determinada usando o produto interno :
Como consequência desta definição, em um espaço de produto interno, a lei do paralelogramo é uma identidade algébrica, prontamente estabelecida usando as propriedades do produto interno:
Adicionando essas duas expressões:
como requerido.
Se é ortogonal ao significado e a equação acima para a norma de uma soma torna-se:
que é o teorema de Pitágoras .
Espaços vetoriais normados que satisfazem a lei do paralelogramo
A maioria dos espaços vetoriais normados reais e complexos não tem produtos internos, mas todos os espaços vetoriais normados têm normas (por definição). Por exemplo, uma norma comumente usada é a -norm :
onde são os componentes do vetor
Dada uma norma, pode-se avaliar ambos os lados da lei do paralelogramo acima. Um fato notável é que, se a lei do paralelogramo se mantém, a norma deve surgir da maneira usual de algum produto interno. Em particular, isso vale para a norma se e somente se a chamada norma
euclidiana ou norma padrão.
Para qualquer norma que satisfaça a lei do paralelogramo (que necessariamente é uma norma de produto interno), o produto interno que gera a norma é único como consequência da identidade de polarização . No caso real, a identidade de polarização é dada por:
ou equivalentemente por
No caso complexo, é dado por:
Por exemplo, usando a norma -com e vetores reais e a avaliação do produto interno procede da seguinte forma:
que é o produto escalar padrão de dois vetores.
Veja também
espaço vetorial no qual uma distância é definida
Identidade de polarização - Fórmula relacionando a norma e o produto interno em um espaço de produto interno
Referências
links externos