Superfície paramétrica - Parametric surface

Uma superfície paramétrica é uma superfície no espaço euclidiano que é definida por uma equação paramétrica com dois parâmetros . A representação paramétrica é uma forma muito geral de especificar uma superfície, bem como a representação implícita . As superfícies que ocorrem em dois dos principais teoremas do cálculo vetorial , o teorema de Stokes e o teorema da divergência , são freqüentemente fornecidas em uma forma paramétrica. A curvatura e o comprimento do arco das curvas na superfície, área de superfície , invariantes geométricos diferenciais, como a primeira e a segunda formas fundamentais, curvaturas gaussianas , médias e principais podem ser calculados a partir de uma dada parametrização.

Exemplos

Toro , criado com as equações: x = r sen v ; y = (R + r cos v ) sen u ; z = (R + r cos v ) cos u .
Superfície paramétrica formando um nó trifólio , detalhes da equação no código-fonte em anexo.
  • O tipo mais simples de superfícies paramétricas é dado pelos gráficos de funções de duas variáveis:
  • Uma superfície racional é uma superfície que admite parametrizações por uma função racional . Uma superfície racional é uma superfície algébrica . Dada uma superfície algébrica, é comumente mais fácil decidir se é racional do que calcular sua parametrização racional, se ela existe.
  • As superfícies de revolução fornecem outra classe importante de superfícies que podem ser facilmente parametrizadas. Se o gráfico z = f ( x ) , axb é girado sobre o eixo z, então a superfície resultante tem uma parametrização
    Também pode ser parametrizado
    mostrando que, se a função f é racional, então a superfície é racional.
  • O cilindro circular reto de raio R sobre o eixo x tem a seguinte representação paramétrica:
  • Usando as coordenadas esféricas , a esfera unitária pode ser parametrizada por
    Esta parametrização quebra nos pólos norte e sul, onde o ângulo de azimute θ não é determinado exclusivamente. A esfera é uma superfície racional.

A mesma superfície admite muitas parametrizações diferentes. Por exemplo, o plano z de coordenada pode ser parametrizado como

para quaisquer constantes a , b , c , d tais que ad - bc ≠ 0 , ou seja, a matriz é invertível .

Geometria diferencial local

A forma local de uma superfície paramétrica pode ser analisada considerando a expansão de Taylor da função que a parametriza. O comprimento do arco de uma curva na superfície e a área da superfície podem ser encontrados usando integração .

Notação

Deixe a superfície paramétrica ser dada pela equação

onde é uma função com valor de vetor dos parâmetros ( u , v ) e os parâmetros variam dentro de um certo domínio D no plano uv paramétrico . Os primeiros derivados parciais com respeito aos parâmetros são geralmente denotada e e similarmente para os derivados mais elevados,

No cálculo vetorial , os parâmetros são frequentemente denotados ( s , t ) e as derivadas parciais são escritas usando a anotação :

Plano tangente e vetor normal

A parametrização é regular para os valores dados dos parâmetros se os vetores

são linearmente independentes. O plano tangente em um ponto regular é o plano afim em R 3 medido por esses vetores e passando pelo ponto r ( u , v ) na superfície determinada pelos parâmetros. Qualquer vetor tangente pode ser decomposto exclusivamente em uma combinação linear de e O produto vetorial desses vetores é um vetor normal para o plano tangente . Dividir este vetor por seu comprimento produz um vetor normal unitário para a superfície parametrizada em um ponto regular:

Em geral, existem duas escolhas do vetor normal unitário para uma superfície em um determinado ponto, mas para uma superfície parametrizada regular, a fórmula anterior escolhe consistentemente um deles e, portanto, determina a orientação da superfície. Alguns dos invariantes geométricos diferenciais de uma superfície em R 3 são definidos pela própria superfície e são independentes da orientação, enquanto outros mudam o sinal se a orientação for invertida.

Superfície

A área de superfície pode ser calculada integrando o comprimento do vetor normal à superfície sobre a região D apropriada no plano UV paramétrico :

Embora esta fórmula forneça uma expressão fechada para a área da superfície, para todas as superfícies, exceto as muito especiais, isso resulta em uma dupla integral complicada , que normalmente é avaliada usando um sistema de álgebra de computador ou aproximada numericamente. Felizmente, muitas superfícies comuns formam exceções e suas áreas são explicitamente conhecidas. Isso é verdade para um cilindro circular , esfera , cone , toro e algumas outras superfícies de revolução .

Isso também pode ser expresso como uma integral de superfície sobre o campo escalar 1:

Primeira forma fundamental

A primeira forma fundamental é uma forma quadrática

no plano tangente à superfície que é usado para calcular distâncias e ângulos. Para uma superfície parametrizada, seus coeficientes podem ser calculados da seguinte forma:

O comprimento do arco das curvas parametrizadas na superfície S , o ângulo entre as curvas em S e a área da superfície admitem expressões em termos da primeira forma fundamental.

Se ( u ( t ),  v ( t )), atb representa uma curva parametrizada nesta superfície, então seu comprimento de arco pode ser calculado como o integral:

A primeira forma fundamental pode ser vista como uma família de formas bilineares simétricas definidas positivas no plano tangente em cada ponto da superfície dependendo suavemente do ponto. Essa perspectiva ajuda a calcular o ângulo entre duas curvas em S que se cruzam em um determinado ponto. Este ângulo é igual ao ângulo entre os vetores tangentes às curvas. A primeira forma fundamental avaliada neste par de vetores é seu produto escalar , e o ângulo pode ser encontrado na fórmula padrão

expressando o cosseno do ângulo por meio do produto escalar.

A área de superfície pode ser expressa em termos da primeira forma fundamental da seguinte forma:

Pela identidade de Lagrange , a expressão sob a raiz quadrada é precisa e, portanto, é estritamente positiva nos pontos regulares.

Segunda forma fundamental

A segunda forma fundamental

é uma forma quadrática no plano tangente à superfície que, juntamente com a primeira forma fundamental, determina as curvaturas das curvas na superfície. No caso especial quando ( u , v ) = ( x , y ) e o plano tangente à superfície no ponto dado é horizontal, a segunda forma fundamental é essencialmente a parte quadrática da expansão de Taylor de z como uma função de x e y .

Para uma superfície paramétrica geral, a definição é mais complicada, mas a segunda forma fundamental depende apenas das derivadas parciais de ordem um e dois. Seus coeficientes são definidos como sendo as projeções das derivadas parciais secundárias sobre o vetor normal unitário definido pela parametrização:

Como a primeira forma fundamental, a segunda forma fundamental pode ser vista como uma família de formas bilineares simétricas no plano tangente em cada ponto da superfície dependendo suavemente do ponto.

Curvatura

A primeira e a segunda formas fundamentais de uma superfície determinam seus importantes invariantes geométricos diferenciais : a curvatura gaussiana , a curvatura média e as curvaturas principais .

As curvaturas principais são os invariantes do par que consiste na segunda e na primeira forma fundamental. Eles são as raízes κ 1 , κ 2 da equação quadrática

A curvatura gaussiana K = κ 1 κ 2 e a curvatura média H = ( κ 1 + κ 2 ) / 2 podem ser calculadas da seguinte forma:

Até certo ponto, essas quantidades são independentes da parametrização usada e, portanto, constituem ferramentas importantes para analisar a geometria da superfície. Mais precisamente, as curvaturas principais e a curvatura média mudam o sinal se a orientação da superfície for invertida, e a curvatura gaussiana é totalmente independente da parametrização.

O sinal da curvatura gaussiana em um ponto determina a forma da superfície próximo a esse ponto: para K > 0 a superfície é localmente convexa e o ponto é chamado de elíptica , enquanto para K <0 a superfície é em forma de sela e o ponto é chamado hiperbólico . Os pontos em que a curvatura gaussiana é zero são chamados de parabólicos . Em geral, os pontos parabólicos formam uma curva na superfície chamada linha parabólica . A primeira forma fundamental é definida positiva , logo seu determinante EG - F 2 é positivo em todos os lugares. Portanto, o sinal de K coincide com o sinal de LN - M 2 , o determinante da segunda fundamental.

Os coeficientes da primeira forma fundamental apresentada acima podem ser organizados em uma matriz simétrica:

E o mesmo para os coeficientes da segunda forma fundamental , também apresentados acima:

Definindo agora matriz , as curvaturas principais k 1 e k 2 são os valores próprios de uma .

Agora, se v 1 = ( v 11 , v 12 ) é o autovetor de A correspondente à curvatura principal κ 1 , o vetor unitário na direção de é chamado de vetor principal correspondente à curvatura principal κ 1 .

Consequentemente, se v 2 = ( v 21 , v 22 ) é o autovetor de A correspondente à curvatura principal κ 2 , o vetor unitário na direção de é chamado de vetor principal correspondente à curvatura principal κ 2 .

Veja também

Referências

links externos