O paradoxo de Parrondo - Parrondo's paradox

O paradoxo de Parrondo , um paradoxo na teoria dos jogos , foi descrito como: Uma combinação de estratégias de perda torna-se uma estratégia de vitória . Recebeu o nome de seu criador, Juan Parrondo , que descobriu o paradoxo em 1996. Uma descrição mais explicativa é:

Existem pares de jogos, cada um com maior probabilidade de perder do que de ganhar, para os quais é possível construir uma estratégia de vitória jogando os jogos alternadamente.

Parrondo concebeu o paradoxo em conexão com sua análise da catraca browniana , um experimento mental sobre uma máquina que pode supostamente extrair energia de movimentos térmicos aleatórios popularizados pelo físico Richard Feynman . No entanto, o paradoxo desaparece quando analisado com rigor. Estratégias de vitória consistindo em várias combinações de estratégias de perda foram exploradas na biologia antes que o paradoxo de Parrondo fosse publicado. Mais recentemente, problemas em biologia evolutiva e ecologia foram modelados e explicados em termos do paradoxo.


Exemplos ilustrativos

O exemplo dente de serra

figura 1

Considere um exemplo em que existem dois pontos A e B com a mesma altitude, conforme mostrado na Figura 1. No primeiro caso, temos um perfil plano conectando-os. Aqui, se deixarmos alguns berlindes redondos no meio que se movem para frente e para trás de forma aleatória, eles irão rolar aleatoriamente, mas em direção a ambas as extremidades com a mesma probabilidade. Agora considere o segundo caso em que temos uma região semelhante a um dente de serra entre eles. Aqui também, os mármores rolarão para qualquer uma das extremidades com igual probabilidade (se houvesse uma tendência de se mover em uma direção, os mármores em um anel desta forma tenderiam a extrair espontaneamente energia térmica para girar, violando a segunda lei da termodinâmica). Agora, se nós inclinar o perfil inteiro para a direita, como mostrado na Figura 2, é bastante claro que ambos os casos irá tornar-se inclinado para B .

Agora considere o jogo em que alternamos os dois perfis enquanto escolhemos criteriosamente o tempo entre a alternância de um perfil para o outro.

Figura 2

Quando deixamos algumas bolas de gude no primeiro perfil no ponto E , eles distribuem-se no plano mostrando movimentos preferenciais para o ponto B . No entanto, se aplicarmos o segundo perfil quando alguns dos mármores tiverem cruzado o ponto C , mas nenhum cruzou o ponto D , vamos acabar tendo a maioria dos mármores no ponto E (de onde partimos inicialmente), mas alguns também no vale em direção ao ponto A, dado tempo suficiente para os mármores rolarem para o vale. Em seguida, aplicamos novamente o primeiro perfil e repetimos as etapas (os pontos C , D e E agora mudaram uma etapa para se referir ao vale final mais próximo de A ). Se nenhuma bola de gude cruzar o ponto C antes que a primeira bola de gude cruze o ponto D , devemos aplicar o segundo perfil logo antes da primeira bola de gude cruzar o ponto D , para recomeçar.

Segue-se facilmente que, eventualmente, teremos mármores no ponto A , mas nenhum no ponto B . Portanto, se definirmos ter bolas de gude no ponto A como uma vitória e ter bolas de gude no ponto B como uma derrota, ganhamos claramente alternando (em momentos escolhidos corretamente) entre dois jogos perdedores.

O exemplo do cara ou coroa

Um segundo exemplo do paradoxo de Parrondo é extraído do campo do jogo. Considere jogar dois jogos, o Jogo A e o Jogo B com as seguintes regras. Por conveniência, defina como nossa capital no momento t , imediatamente antes de jogarmos um jogo.

  1. Ganhar um jogo nos rende $ 1 e perder exige que entreguemos $ 1. Segue- se que se ganharmos na etapa t e se perdermos na etapa t .
  2. No Jogo A , lançamos uma moeda tendenciosa, Coin 1, com probabilidade de ganhar . Se , este é claramente um jogo perdedor no longo prazo.
  3. No Jogo B , primeiro determinamos se nossa capital é um múltiplo de algum inteiro . Se for, jogamos uma moeda tendenciosa, Coin 2, com probabilidade de ganhar . Se não for, jogamos outra moeda tendenciosa, a Moeda 3, com probabilidade de ganhar . O papel do módulo fornece a periodicidade como nos dentes da catraca.

É claro que, ao jogar o Jogo A, quase certamente perderemos no longo prazo. Harmer e Abbott mostram através de simulação que se e o Jogo B também são quase um jogo perdedor. Na verdade, o Jogo B é uma cadeia de Markov , e uma análise de sua matriz de transição de estado (novamente com M = 3) mostra que a probabilidade de estado estacionário de usar a moeda 2 é 0,3836 e a de usar a moeda 3 é 0,6164. Como a moeda 2 é selecionada quase 40% das vezes, ela tem uma influência desproporcional no pagamento do Jogo B e resulta em um jogo perdedor.

No entanto, quando esses dois jogos perdedores são jogados em alguma sequência alternada - por exemplo, dois jogos de A seguidos de dois jogos de B (AABBAABB ...), a combinação dos dois jogos é, paradoxalmente, um jogo vencedor . Nem todas as sequências alternadas de A e B resultam em jogos vencedores. Por exemplo, um jogo de A seguido por um jogo de B (ABABAB ...) é um jogo perdedor, enquanto um jogo de A seguido por dois jogos de B (ABBABB ...) é um jogo vencedor. Esse exemplo de cara ou coroa tornou-se a ilustração canônica do paradoxo de Parrondo - dois jogos, ambos perdidos quando jogados individualmente, tornam-se um jogo vencedor quando jogados em uma sequência alternada específica.

Resolvendo o paradoxo

O aparente paradoxo foi explicado usando uma série de abordagens sofisticadas, incluindo cadeias de Markov, catracas intermitentes, recozimento simulado e teoria da informação. Uma maneira de explicar o aparente paradoxo é a seguinte:

  • Embora o Jogo B seja um jogo perdedor na distribuição de probabilidade que resulta para o módulo quando é jogado individualmente (o módulo é o resto quando é dividido por ), pode ser um jogo vencedor em outras distribuições, pois há pelo menos um estado em que sua expectativa é positiva.
  • Como a distribuição dos resultados do Jogo B depende do capital do jogador, os dois jogos não podem ser independentes. Se estivessem, reproduzi-los em qualquer sequência também perderia.

O papel de agora entra em foco. Serve apenas para induzir uma dependência entre os Jogos A e B, de forma que um jogador tenha maior probabilidade de entrar em estados em que o Jogo B tenha uma expectativa positiva, permitindo-lhe superar as perdas do Jogo A. Com esse entendimento, o paradoxo se resolve : Os jogos individuais estão perdendo apenas em uma distribuição diferente daquela que é realmente encontrada ao jogar o jogo composto. Em resumo, o paradoxo de Parrondo é um exemplo de como a dependência pode causar estragos em cálculos probabilísticos feitos sob uma suposição ingênua de independência. Uma exposição mais detalhada deste ponto, junto com vários exemplos relacionados, pode ser encontrada em Philips e Feldman.

Um exemplo simplificado

Para um exemplo mais simples de como e por que o paradoxo funciona, considere novamente dois jogos, o Jogo A e o Jogo B , desta vez com as seguintes regras:

  1. No Jogo A , você simplesmente perde $ 1 toda vez que joga.
  2. No Jogo B , você conta quanto dinheiro ainda tem ⁠ ⁠ - se for um número par, você ganha $ 3, caso contrário, perde $ 5.

Digamos que você comece com $ 100 no bolso. Se você começar a jogar exclusivamente o Jogo A, obviamente perderá todo o seu dinheiro em 100 rodadas. Da mesma forma, se você decidir jogar exclusivamente o Jogo B, também perderá todo o seu dinheiro em 100 rodadas.

No entanto, considere jogar os jogos alternativamente, começando com o Jogo B, seguido por A, depois por B e assim por diante (BABABA ...). Deve ser fácil ver que você ganhará continuamente um total de $ 2 para cada dois jogos.

Assim, mesmo que cada jogo seja uma proposição perdedora se jogado sozinho, porque os resultados do Jogo B são afetados pelo Jogo A, a sequência em que os jogos são jogados pode afetar a frequência com que o Jogo B gera dinheiro para você e, subsequentemente, o resultado é diferente do caso em que qualquer jogo é jogado sozinho.

Formulários

O paradoxo de Parrondo é amplamente utilizado na teoria dos jogos, e sua aplicação à engenharia, dinâmica populacional, risco financeiro, etc., são áreas de pesquisa ativa. Os jogos de Parrondo são de pouca utilidade prática, como para investir em bolsas de valores, já que os jogos originais exigem que o pagamento de pelo menos um dos jogos de interação dependa do capital do jogador. No entanto, os jogos não precisam se restringir à sua forma original e o trabalho continua na generalização do fenômeno. Semelhanças com o bombeamento da volatilidade e o problema dos dois envelopes foram apontados. Modelos de livro didático de finanças simples de retornos de títulos têm sido usados ​​para provar que os investimentos individuais com retornos de longo prazo medianos negativos podem ser facilmente combinados em carteiras diversificadas com retornos de longo prazo medianos positivos. Da mesma forma, um modelo que é frequentemente usado para ilustrar regras de apostas ideais foi usado para provar que a divisão de apostas entre vários jogos pode transformar um retorno médio negativo de longo prazo em positivo. Na biologia evolutiva, tanto a variação de fase aleatória bacteriana quanto a evolução de sensores menos precisos foram modelados e explicados em termos do paradoxo. Em ecologia, a alternância periódica de certos organismos entre comportamentos nômades e coloniais foi sugerida como uma manifestação do paradoxo. Tem havido uma aplicação interessante na modelagem de sobrevivência multicelular como consequência do paradoxo e algumas discussões interessantes sobre a viabilidade disso. Aplicações do paradoxo de Parrondo também podem ser encontradas na teoria da confiabilidade. Os leitores interessados ​​podem consultar os três artigos de revisão que foram publicados ao longo dos anos, com o mais recente examinando o efeito Parrondo na biologia.

Nome

Na literatura inicial sobre o paradoxo de Parrondo, foi debatido se a palavra 'paradoxo' é uma descrição apropriada, dado que o efeito Parrondo pode ser entendido em termos matemáticos. O efeito "paradoxal" pode ser explicado matematicamente em termos de uma combinação linear convexa.

No entanto, Derek Abbott , um pesquisador líder no assunto, fornece a seguinte resposta sobre o uso da palavra 'paradoxo' neste contexto:

O paradoxo de Parrondo é realmente um "paradoxo"? Essa pergunta às vezes é feita por matemáticos, enquanto os físicos geralmente não se preocupam com essas coisas. A primeira coisa a apontar é que o "paradoxo de Parrondo" é apenas um nome, assim como o " paradoxo de Braess " ou " paradoxo de Simpson ". Em segundo lugar, como é o caso da maioria desses paradoxos nomeados, todos eles são paradoxos realmente aparentes. As pessoas abandonam a palavra "aparente" nesses casos, pois é um bocado, e é óbvio de qualquer maneira. Portanto, ninguém afirma que esses são paradoxos no sentido estrito. Em sentido amplo, um paradoxo é simplesmente algo que não é intuitivo. Os jogos de Parrondo certamente são contra-intuitivos - pelo menos até que você os tenha estudado intensamente por alguns meses. A verdade é que continuamos encontrando coisas novas e surpreendentes para nos encantar, conforme pesquisamos esses jogos. Eu tive um matemático reclamando que os jogos sempre foram óbvios para ele e, portanto, não devemos usar a palavra "paradoxo". Ele é um gênio ou nunca realmente entendeu isso em primeiro lugar. Em qualquer dos casos, não vale a pena discutir com pessoas assim.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos