Em matemática, a fórmula Parseval-Gutzmer afirma que, se é uma função analítica sobre um disco fechado de raio r , com a série de Taylor f {\ Displaystyle f}
f ( z ) = Σ k = 0 ∞ uma k z k , {\ Displaystyle F (z) = \ _ {soma k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} z ^ {k},} em seguida, para z = re iθ na fronteira do disco,
∫ 0 2 π | f ( r e Eu θ ) | 2 d θ = 2 π Σ k = 0 ∞ | uma k | 2 r 2 k , {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (re ^ {i \ teta}) | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ teta = 2 \ pi \ soma _ {k = 0} ^ {\ infty} | a_ {k} | ^ {2} r ^ {2k},} que também pode ser escrito como
1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e Eu θ ) | 2 d θ = Σ k = 0 ∞ | uma k r k | 2 . {\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (re ^ {i \ theta}) | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ theta = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} | a_ {k} r ^ {k} |. ^ {2}} Prova A fórmula integral de Cauchy para coeficientes afirma que para as condições acima:
uma n = 1 2 π Eu ∫ γ f ( z ) z n + 1 d z {\ A_ displaystyle {n} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} ^ {} {\ frac {F (z)} {Z ^ {n + 1}}} \, \ mathrm {d} z} onde γ é definido como sendo o trajecto circular em torno de origem do raio r . Também para nós: Aplicando esses dois fatos para o problema começando com o segundo fato:
X ∈ C , {\ Displaystyle x \ in \ mathbb {C},} X ¯ X = | X | 2 . {\ Displaystyle {\ overline {x}} {x} = | x | ^ {2}.}
∫ 0 2 π | f ( r e Eu θ ) | 2 d θ = ∫ 0 2 π f ( r e Eu θ ) f ( r e Eu θ ) ¯ d θ = ∫ 0 2 π f ( r e Eu θ ) ( Σ k = 0 ∞ uma k ( r e Eu θ ) k ¯ ) d θ Usando expansão de Taylor na conjugado = ∫ 0 2 π f ( r e Eu θ ) ( Σ k = 0 ∞ uma k ¯ ( r e - Eu θ ) k ) d θ = Σ k = 0 ∞ ∫ 0 2 π f ( r e Eu θ ) uma k ¯ ( r e - Eu θ ) k d θ convergência uniforme da série de Taylor = Σ k = 0 ∞ ( 2 π uma k ¯ r 2 k ) ( 1 2 π Eu ∫ 0 2 π f ( r e Eu θ ) ( r e Eu θ ) k + 1 r Eu e Eu θ ) d θ = Σ k = 0 ∞ ( 2 π uma k ¯ r 2 k ) uma k Aplicando fórmula integral de Cauchy = 2 π Σ k = 0 ∞ | uma k | 2 r 2 k {\ Displaystyle {\ begin {alinhado} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {2} \, \ mathrm { d} \ theta & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) {\ overline {f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) }} \, \ mathrm {d} \ teta \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ a esquerda (re ^ {i \ teta} \ direita) \ esquerda (\ _ soma {k = 0} ^ {\ infty} {\ sobrelinhado {a_ {k} \ esquerda (re ^ {i \ teta} \ direita) ^ {k}}} \ direita) \, \ mathrm {d} \ teta && {\ text {Usando expansão de Taylor na conjugado}} \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ overline {a_ {k}}} \ left (re ^ {- i \ theta} \ right) ^ {k} \ right) \, \ mathrm {d} \ theta \\ [6pt] & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) {\ overline {a_ {k}}} \ left (re ^ {- i \ theta} \ right) ^ {k} \, \ mathrm {d} \ theta && {\ text {convergência uniforme da série de Taylor}} \\ [6pt ] & = \ soma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ esquerda (2 \ pi {\ sobrelinhado {a_ {k}}} r ^ {2k} \ direita) \ esquerda ({\ frac {1} { 2 {\ pi} i}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {f \ left (re ^ {i \ theta} \ right)} {(re ^ {i \ theta}) ^ {k + 1}}} {Rie ^ {i \ teta}} \ direita) \ mathrm {d} \ \\ & teta = \ Sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (2 \ pi {\ overline {a_ {k}}} r ^ {2k} \ right) a_ {k} && {\ text {Aplicando Cauchy Integral fórmula}} \\ & = {2 \ pi} \ _ {soma k = 0} ^ {\ infty} {| a_ {k} | ^ {2} r ^ {2k}} \ final {alinhados}}} outras aplicações Utilizando esta fórmula, é possível mostrar que
Σ k = 0 ∞ | uma k | 2 r 2 k ⩽ M r 2 {\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} | a_ {k} | ^ {2} r ^ {2k} \ leqslant M_ {r} ^ {2}} Onde
M r = cear { | f ( z ) | : | z | = r } . {\ Displaystyle M_ {R} = \ sup \ {| f (z) |.: | Z | = \ r}} Isso é feito utilizando a integral
∫ 0 2 π | f ( r e Eu θ ) | 2 d θ ⩽ 2 π | max θ ∈ [ 0 , 2 π ) ( f ( r e Eu θ ) ) | 2 = 2 π | max | z | = r ( f ( z ) ) | 2 = 2 π M r 2 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ theta \ leqslant 2 \ pi \ left | \ max _ {\ theta \ in [0,2 \ pi)} \ left (f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right) \ right | ^ {2} = 2 \ pi \ left | \ max _ {| z | = r} (f (z)) \ right | ^ {2} = 2 \ pi M_ {r} ^ {2}} Referências
<img src="//en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ Displaystyle {\ begin {alinhado} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {2} \, \ mathrm { d} \ theta & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) {\ overline {f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) }} \, \ mathrm {d} \ teta \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ a esquerda (re ^ {i \ teta} \ direita) \ esquerda (\ _ soma {k = 0} ^ {\ infty} {\ sobrelinhado {a_ {k} \ esquerda (re ^ {i \ teta} \ direita) ^ {k}}} \ direita) \, \ mathrm {d} \ teta && {\ text {Usando expansão de Taylor na conjugado}} \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ overline {a_ {k}}} \ left (re ^ {- i \ theta} \ right) ^ {k} \ right) \, \ mathrm {d} \ theta \\ [6pt] & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) {\ overline {a_ {k}}} \ left (re ^ {- i \ theta} \ right) ^ {k} \, \ mathrm {d} \ theta && {\ text {convergência uniforme da série de Taylor}} \\ [6pt ] & = \ soma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ esquerda (2 \ pi {\ sobrelinhado {a_ {k}}} r ^ {2k} \ direita) \ esquerda ({\ frac {1} { 2 {\ pi} i}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {f \ left (re ^ {i \ theta} \ right)} {(re ^ {i \ theta}) ^ {k + 1}}} {Rie ^ {i \ teta}} \ direita) \ mathrm {d} \ \\ & teta = \ Sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (2 \ pi {\ overline {a_ {k}}} r ^ {2k} \ right) a_ {k} && {\ text {Aplicando Cauchy Integral fórmula}} \\ & = {2 \ pi} \ _ {soma k = 0} ^ {\ infty} {| a_ {k} | ^ {2} r ^ {2k}} \ final {alinhados}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4226b99415ef1d1ce74760cd96c184e0ddd44b91)
