Derivativo parcial - Partial derivative

Em matemática , uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é sua derivada em relação a uma dessas variáveis, com as outras constantes (em oposição à derivada total , na qual todas as variáveis ​​podem variar). Derivadas parciais são usadas em cálculo vetorial e geometria diferencial .

A derivada parcial de uma função em relação à variável é denotada de várias maneiras por ${\ displaystyle f (x, y, \ dots)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f '_ {x}}$, , , , , , Ou .${\ displaystyle f_ {x}}$${\ displaystyle \ partial _ {x} f}$${\ displaystyle \ D_ {x} f}$${\ displaystyle D_ {1} f}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}$

Às vezes, pois , a derivada parcial de em relação a é denotada como Uma vez que uma derivada parcial geralmente tem os mesmos argumentos que a função original, sua dependência funcional às vezes é explicitamente significada pela notação, como em: ${\ displaystyle z = f (x, y, \ ldots)}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial z} {\ partial x}}.}$

${\ displaystyle f_ {x} (x, y, \ ldots), {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y, \ ldots).}$

O símbolo usado para denotar derivadas parciais é ∂ . Um dos primeiros usos conhecidos deste símbolo na matemática é pelo Marquês de Condorcet de 1770, que o usou para diferenças parciais. A notação derivada parcial moderna foi criada por Adrien-Marie Legendre (1786) (embora mais tarde ele a tenha abandonado, Carl Gustav Jacob Jacobi reintroduziu o símbolo em 1841).

Definição

Como as derivadas comuns, a derivada parcial é definida como um limite . Seja U um subconjunto aberto de e uma função. A derivada parcial de f no ponto em relação à i -ésima variável x _i é definida como ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ in U}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f ( a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}) - f (a_ {1}, \ ldots, a_ { i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + h \ mathbf {e_ {i}} ) -f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {alinhado}}}$

Mesmo se todos os derivados parciais ∂f / ∂x _i ( um ) existentes numa determinada ponto um , a necessidade função de não ser contínuo lá. Entretanto, se todas as derivadas parciais existem em uma vizinhança de a e são contínuas ali, então f é totalmente diferenciável naquela vizinhança e a derivada total é contínua. Nesse caso, diz-se que f é uma função C ¹ . Isto pode ser utilizado para generalizar para funções avaliadas vetor, , usando cuidadosamente um argumento componente a componente. ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

A derivada parcial pode ser vista como outra função definida em U e pode ser novamente parcialmente diferenciada. Se todas as derivadas parciais de segunda ordem misturadas são contínuas em um ponto (ou em um conjunto), f é denominado uma função C ² naquele ponto (ou naquele conjunto); neste caso, as derivadas parciais podem ser trocadas pelo teorema de Clairaut : ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {i} \ parcial x_ {j}}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {j} \ parcial x_ {i}}}.}$

Notação

Para os exemplos a seguir, seja uma função em e . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle z}$

Derivadas parciais de primeira ordem:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = f_ {x} = \ partial _ {x} f.}$

Derivadas parciais de segunda ordem:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = f_ {xx} = \ partial _ {xx} f = \ partial _ {x} ^ {2} f .}$

Derivados mistos de segunda ordem :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \, \ partial x}} = {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial f } {\ parcial x}} \ direita) = (f_ {x}) _ {y} = f_ {xy} = \ parcial _ {yx} f = \ parcial _ {y} \ parcial _ {x} f.}$

Derivados parciais e mistos de ordem superior:

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {i + j + k} f} {\ parcial x ^ {i} \ parcial y ^ {j} \ parcial z ^ {k}}} = f ^ {(i, j, k)} = \ parcial _ {x} ^ {i} \ parcial _ {y} ^ {j} \ parcial _ {z} ^ {k} f.}$

Ao lidar com funções de variáveis ​​múltiplas, algumas dessas variáveis ​​podem estar relacionadas entre si, portanto, pode ser necessário especificar explicitamente quais variáveis ​​estão sendo mantidas constantes para evitar ambigüidade. Em campos como a mecânica estatística , a derivada parcial de em relação a , mantendo e constante, é muitas vezes expressa como ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) _ {y, z}.}$

Convencionalmente, para clareza e simplicidade de notação, a função derivada parcial e o valor da função em um ponto específico são combinados incluindo os argumentos da função quando o símbolo de derivada parcial (notação de Leibniz) é usado. Assim, uma expressão como

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x}}}$

é usado para a função, enquanto

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f (u, v, w)} {\ partial u}}}$

pode ser usado para o valor da função no ponto . No entanto, essa convenção quebra quando queremos avaliar a derivada parcial em um ponto como . Nesse caso, a avaliação da função deve ser expressa de uma maneira complicada como ${\ displaystyle (x, y, z) = (u, v, w)}$${\ displaystyle (x, y, z) = (17, u + v, v ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x}} (17, u + v, v ^ {2})}$

ou

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x}} \ right | _ {(x, y, z) = (17, u + v, v ^ { 2})}}$

para usar a notação de Leibniz. Assim, nesses casos, pode ser preferível usar a notação de operador diferencial de Euler com como o símbolo de derivada parcial em relação à i- ésima variável. Por exemplo, alguém escreveria para o exemplo descrito acima, enquanto a expressão representa a função derivada parcial em relação à 1ª variável. ${\ displaystyle D_ {i}}$${\ displaystyle D_ {1} f (17, u + v, v ^ {2})}$${\ displaystyle D_ {1} f}$

Para derivadas parciais de ordem superior, a derivada parcial (função) de em relação à j ésima variável é denotada . Ou seja, para que as variáveis ​​sejam listadas na ordem em que as derivadas são tomadas e, portanto, na ordem inversa de como a composição dos operadores é normalmente notada. Obviamente, o teorema de Clairaut implica que , desde que as condições de regularidade comparativamente moderadas em f sejam satisfeitas. ${\ displaystyle D_ {i} f}$${\ displaystyle D_ {j} (D_ {i} f) = D_ {i, j} f}$${\ displaystyle D_ {j} \ circ D_ {i} = D_ {i, j}}$${\ displaystyle D_ {i, j} = D_ {j, i}}$

Gradiente

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis ​​é o caso de uma função de valor escalar f ( x ₁ ,…, x _n ) em um domínio no espaço euclidiano (por exemplo, em ou ). Neste caso, f tem um derivado parcial ∂f / ∂x _j com respeito a cada variável x _j . No ponto a , essas derivadas parciais definem o vetor ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ direita).}$

Este vetor é denominado gradiente de f em a . Se f é diferenciável em cada ponto em algum domínio, em seguida, o gradiente é uma função vectorial ∇ f que tem o ponto de um para o vector ∇ f ( um ). Conseqüentemente, o gradiente produz um campo vetorial .

Um abuso comum de notação é definir o operador del (∇) da seguinte forma no espaço euclidiano tridimensional com vetores unitários : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}, {\ hat {\ mathbf {j}}}, {\ hat {\ mathbf {k}}}}$

${\ displaystyle \ nabla = \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right] {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ right] {\ hat {\ mathbf {k}}}}$

Ou, mais geralmente, para o espaço euclidiano n- dimensional com coordenadas e vetores unitários : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1}, \ ldots, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}$

${\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ right] {\ hat {\ mathbf {e}} } _ {j} = \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} \ right] {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}}} \ right] {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ dots + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x_ { n}}} \ right] {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}$

Derivada direcional

Esta seção é um trecho da Derivada direcional § Definição . [ editar ]

Um gráfico de contorno de , mostrando o vetor gradiente em preto e o vetor unitário escalado pela derivada direcional na direção de em laranja. O vetor gradiente é mais longo porque o gradiente aponta na direção de maior taxa de aumento de uma função.${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

A derivada direcional de uma função escalar

${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$

ao longo de um vetor

${\ displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$

é a função definida pelo limite${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf {v }) -f (\ mathbf {x})} {h}}.}$

Esta definição é válida em uma ampla gama de contextos, por exemplo, onde a norma de um vetor (e, portanto, de um vetor unitário) é indefinida.

Exemplo

Suponha que f seja uma função de mais de uma variável. Por exemplo,

${\ displaystyle z = f (x, y) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}}$.

Um gráfico de z = x ² + xy + y ² . Para a derivada parcial em (1, 1) que deixa y constante, a linha tangente correspondente é paralela ao plano xz .

Uma fatia do gráfico acima mostrando a função no plano xz em y = 1 . Observe que os dois eixos são mostrados aqui com escalas diferentes. A inclinação da linha tangente é 3.

O gráfico desta função define uma superfície no espaço euclidiano . Para cada ponto desta superfície, existe um número infinito de retas tangentes . A diferenciação parcial é o ato de escolher uma dessas linhas e encontrar sua inclinação . Normalmente, as linhas de maior interesse são aquelas que são paralelas ao plano -e aquelas que são paralelas ao plano-(que resultam de manter ou constante, respectivamente). ${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle yz}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Para encontrar a inclinação da reta tangente à função no plano e paralela ao plano, tratamos como uma constante. O gráfico e este plano são mostrados à direita. Abaixo, vemos como a função se parece no avião . Ao encontrar a derivada da equação assumindo que é uma constante, descobrimos que a inclinação de no ponto é: ${\ displaystyle P (1,1)}$${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y = 1}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (x, y)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} = 2x + y}$.

Então em , por substituição, a inclinação é 3. Portanto, ${\ displaystyle (1,1)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} = 3}$

no ponto . Ou seja, a derivada parcial de em relação a at é 3, conforme mostrado no gráfico. ${\ displaystyle (1,1)}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (1,1)}$

A função f pode ser reinterpretada como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis:

${\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}$

Em outras palavras, todo valor de y define uma função, denotada por f _y  , que é uma função de uma variável x . Isso é,

${\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}$

Nesta seção, a notação subscrita f _y denota uma função contingente em um valor fixo de y , e não uma derivada parcial.

Uma vez que um valor de y é escolhido, digamos a , então f ( x , y ) determina uma função f _a que traça uma curva x ² + ax + a ² no plano: ${\ displaystyle xz}$

${\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}}$.

Nesta expressão, a é uma constante , não uma variável , então f _a é uma função de apenas uma variável real, que é x . Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável se aplica:

${\ displaystyle f_ {a} '(x) = 2x + a}$.

O procedimento acima pode ser executado para qualquer escolha de a . Reunir as derivadas em uma função fornece uma função que descreve a variação de f na direção x :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}$

Esta é a derivada parcial de f em relação a x . Aqui, ∂ é um d arredondado denominado símbolo de derivada parcial ; para distingui-lo da letra d , ∂ às vezes é pronunciado "parcial".

Derivadas parciais de ordem superior

Derivadas parciais de segunda ordem e de ordem superior são definidas analogamente às derivadas de ordem superior de funções univariadas. Para a função, a segunda derivada parcial "própria" em relação ax é simplesmente a derivada parcial da derivada parcial (ambas em relação a x ): ${\ displaystyle f (x, y, ...)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ parcial x ^ {2}}} \ equiv \ parcial {\ frac {\ parcial f / \ parcial x} {\ parcial x}} \ equiv { \ frac {\ partial f_ {x}} {\ partial x}} \ equiv f_ {xx}.}$

A derivada parcial cruzada em relação a x e y é obtida tomando a derivada parcial de f em relação a x e, em seguida, tomando a derivada parcial do resultado em relação a y , para obter

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ parcial y \, \ parcial x}} \ equiv \ parcial {\ frac {\ parcial f / \ parcial x} {\ parcial y}} \ equiv {\ frac {\ partial f_ {x}} {\ partial y}} \ equiv f_ {xy}.}$

O teorema de Schwarz afirma que se as segundas derivadas são contínuas, a expressão para a derivada parcial cruzada não é afetada por qual variável a derivada parcial é tomada em relação à primeira e qual é tomada em segundo lugar. Isso é,

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x \, \ parcial y}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial y \, \ parcial x}} }$

ou equivalente ${\ displaystyle f_ {yx} = f_ {xy}.}$

Derivadas parciais próprias e cruzadas aparecem na matriz Hessiana que é usada nas condições de segunda ordem em problemas de otimização .

Análogo antiderivado

Existe um conceito para derivados parciais que é análogo às antiderivadas para derivados regulares. Dada uma derivada parcial, permite a recuperação parcial da função original.

Considere o exemplo de

${\ displaystyle {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} = 2x + y.}$

A integral "parcial" pode ser tomada em relação a x (tratando y como constante, de maneira semelhante à diferenciação parcial):

${\ displaystyle z = \ int {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \, dx = x ^ {2} + xy + g (y)}$

Aqui, a "constante" de integração não é mais uma constante, mas sim uma função de todas as variáveis ​​da função original, exceto x . A razão para isso é que todas as outras variáveis ​​são tratadas como constantes ao tirar a derivada parcial, então qualquer função que não envolva desaparecerá ao tirar a derivada parcial, e temos que levar isso em consideração quando tomarmos a antiderivada. A maneira mais geral de representar isso é fazer com que a "constante" represente uma função desconhecida de todas as outras variáveis. ${\ displaystyle x}$

Assim, o conjunto de funções , onde g é qualquer função de um argumento, representa todo o conjunto de funções nas variáveis x , y que poderiam ter produzido a derivada parcial x . ${\ displaystyle x ^ {2} + xy + g (y)}$${\ displaystyle 2x + y}$

Se todas as derivadas parciais de uma função são conhecidas (por exemplo, com o gradiente ), então as antiderivadas podem ser combinadas por meio do processo acima para reconstruir a função original até uma constante. Ao contrário do caso de variável única, no entanto, nem todo conjunto de funções pode ser o conjunto de todas as (primeiras) derivadas parciais de uma única função. Em outras palavras, nem todo campo vetorial é conservador .

Formulários

Geometria

O volume de um cone depende da altura e do raio

O volume V de um cone depende da altura do cone h e do seu raio r de acordo com a fórmula

${\ displaystyle V (r, h) = {\ frac {\ pi r ^ {2} h} {3}}.}$

A derivada parcial de V em relação a r é

${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} = {\ frac {2 \ pi rh} {3}},}$

que representa a taxa com a qual o volume de um cone muda se seu raio for variado e sua altura for mantida constante. A derivada parcial em relação a iguais que representa a taxa com a qual o volume muda se sua altura for variada e seu raio for mantido constante. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}},}$

Em contraste, a derivada total de V em relação a r e h são respectivamente

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dr}} = \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} + \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial h}} {\ frac {dh} {dr}}}$

e

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dh}} = \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial h}} + \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} {\ frac {dr} {dh}}}$

A diferença entre a derivada total e parcial é a eliminação das dependências indiretas entre as variáveis ​​nas derivadas parciais.

Se (por alguma razão arbitrária) as proporções do cone têm que permanecer as mesmas, e a altura e o raio estão em uma proporção fixa k ,

${\ displaystyle k = {\ frac {h} {r}} = {\ frac {dh} {dr}}.}$

Isso dá a derivada total em relação a r :

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dr}} = {\ frac {2 \ pi rh} {3}} + {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}} k}$

que simplifica para:

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dr}} = k \ pi r ^ {2}}$

Da mesma forma, a derivada total em relação a h é:

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dh}} = \ pi r ^ {2}}$

A derivada total no que diz respeito a ambos R e H do volume pretendido como função escalar destas duas variáveis é dada pela inclinação vetor

${\ displaystyle \ nabla V = \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial r}}, {\ frac {\ partial V} {\ partial h}} \ right) = \ left ({\ frac { 2} {3}} \ pi rh, {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} \ right)}$.

Otimização

Derivadas parciais aparecem em qualquer problema de otimização baseado em cálculo com mais de uma variável de escolha. Por exemplo, na economia de uma empresa pode querer maximizar o lucro π ( x , y ) em relação à escolha das quantidades x e y de dois tipos diferentes de saída. As condições de primeira ordem para essa otimização são π _x = 0 = π _y . Visto que ambas as derivadas parciais π _x e π _y geralmente serão funções de ambos os argumentos x e y , essas duas condições de primeira ordem formam um sistema de duas equações em duas incógnitas .

Termodinâmica, mecânica quântica e física matemática

Derivadas parciais aparecem em equações termodinâmicas como a equação de Gibbs-Duhem , na mecânica quântica como a equação de onda de Schrodinger , bem como em outras equações da física matemática . Aqui, as variáveis ​​mantidas constantes em derivadas parciais podem ser a razão de variáveis ​​simples como frações molares x _i no exemplo a seguir envolvendo as energias de Gibbs em um sistema de mistura ternário:

${\ displaystyle {\ bar {G_ {2}}} = G + (1-x_ {2}) \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial x_ {2}}} \ right) _ {\ frac {x_ {1}} {x_ {3}}}}$

Expressar frações molares de um componente como funções da fração molar de outros componentes e proporções molares binárias:

${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {1-x_ {2}} {1 + {\ frac {x_ {3}} {x_ {1}}}}}}$

${\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {1-x_ {2}} {1 + {\ frac {x_ {1}} {x_ {3}}}}}}$

Quocientes diferenciais podem ser formados em razões constantes como as acima:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial x_ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ right) _ {\ frac {x_ {1}} {x_ {3}}} = - {\ frac {x_ {1}} {1-x_ {2}}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial x_ {3}} {\ partial x_ {2}}} \ right) _ {\ frac {x_ {1}} {x_ {3}}} = - {\ frac {x_ {3}} {1-x_ {2}}}}$

As razões X, Y, Z de frações molares podem ser escritas para sistemas ternários e multicomponentes:

${\ displaystyle X = {\ frac {x_ {3}} {x_ {1} + x_ {3}}}}$

${\ displaystyle Y = {\ frac {x_ {3}} {x_ {2} + x_ {3}}}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {x_ {2}} {x_ {1} + x_ {2}}}}$

que pode ser usado para resolver equações diferenciais parciais como:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \ mu _ {2}} {\ partial n_ {1}}} \ right) _ {n_ {2}, n_ {3}} = \ left ({\ frac {\ parcial \ mu _ {1}} {\ parcial n_ {2}}} \ direita) _ {n_ {1}, n_ {3}}}$

Essa igualdade pode ser reorganizada para ter o quociente diferencial das frações molares de um lado.

Redimensionamento de imagem

Derivadas parciais são essenciais para algoritmos de redimensionamento de imagem com reconhecimento de alvo. Amplamente conhecido como escultura em costura , esses algoritmos exigem que cada pixel de uma imagem seja atribuído a uma "energia" numérica para descrever sua dissimilaridade em relação aos pixels ortogonais adjacentes. O algoritmo então remove progressivamente as linhas ou colunas com a energia mais baixa. A fórmula estabelecida para determinar a energia de um pixel (magnitude do gradiente em um pixel) depende muito das construções de derivadas parciais.

Economia

Os derivados parciais desempenham um papel proeminente na economia , em que a maioria das funções que descrevem o comportamento econômico postula que o comportamento depende de mais de uma variável. Por exemplo, uma função de consumo social pode descrever a quantia gasta em bens de consumo como dependente tanto da renda quanto da riqueza; a propensão marginal a consumir é, então, a derivada parcial da função consumo em relação à renda.

Veja também

Notas

Referências

links externos

• "Partial derivative" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Derivados parciais na MathWorld