Decomposição parcial da fração - Partial fraction decomposition

Na álgebra , a decomposição da fração parcial ou expansão da fração parcial de uma fração racional (ou seja, uma fração tal que o numerador e o denominador são ambos polinômios ) é uma operação que consiste em expressar a fração como a soma de um polinômio (possivelmente zero ) e uma ou várias frações com um denominador mais simples.

A importância das mentiras parciais de decomposição fracção no facto de proporcionar algoritmos para vários cálculos com funções racionais , incluindo a computação explícito de antiderivadas , expansão em série de Taylor , inverso transformadas z , e inversos transformadas de Laplace . O conceito foi descoberto independentemente em 1702 por Johann Bernoulli e Gottfried Leibniz .

Em símbolos, a decomposição da fração parcial de uma fração racional da forma em que f e g são polinômios, é sua expressão como ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {f (x)} {g (x)}},}$

${\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}} = p (x) + \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x )}}}$

onde p ( x ) é um polinômio e, para cada j , o denominador g _j ( x ) é uma potência de um polinômio irredutível (que não é fatorável em polinômios de graus positivos), e o numerador f _j ( x ) é um polinômio de um grau menor do que o grau deste polinômio irredutível.

Quando a computação explícita está envolvida, uma decomposição mais grosseira é freqüentemente preferida, que consiste em substituir "polinômio irredutível" por " polinômio sem quadrados " na descrição do resultado. Isso permite substituir a fatoração polinomial pela muito mais fácil de computar a fatoração livre de quadrados . Isso é suficiente para a maioria das aplicações e evita a introdução de coeficientes irracionais quando os coeficientes dos polinômios de entrada são inteiros ou números racionais .

Princípios básicos

Deixar

${\ displaystyle R (x) = {\ frac {F} {G}}}$

ser uma fração racional , onde F e G são polinômios univariados no x indeterminado . A existência da fração parcial pode ser provada aplicando indutivamente os seguintes passos de redução.

Parte polinomial

Existem dois polinômios E e F ₁ tais que

${\ displaystyle {\ frac {F} {G}} = E + {\ frac {F_ {1}} {G}},}$

e

${\ displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G,}$

onde indica o grau do polinómio P . ${\ displaystyle \ deg P}$

Isso resulta imediatamente da divisão euclidiana de F por G , que afirma a existência de E e F ₁ tal que e${\ displaystyle F = EG + F_ {1}}$${\ displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G.}$

Isso permite supor nas próximas etapas que ${\ displaystyle \ deg F <\ deg G.}$

Fatores do denominador

Se e ${\ displaystyle \ deg F <\ deg G,}$

${\ displaystyle G = G_ {1} G_ {2},}$

onde G ₁ e G ₂ são polinômios coprime , então existem polinômios e tais que ${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle F_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {F} {G}} = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}},}$

e

${\ displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G_ {1} \ quad {\ text {and}} \ quad \ deg F_ {2} <\ deg G_ {2}.}$

Isso pode ser provado da seguinte forma. A identidade de Bézout afirma a existência de polinômios C e D tais que

${\ displaystyle CG_ {1} + DG_ {2} = 1}$

(por hipótese, 1 é o máximo divisor comum de G ₁ e G ₂ ).

Vamos com ser a divisão euclidiana de DF por ajuste se obtém ${\ displaystyle DF = G_ {1} Q + F_ {1}}$${\ displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G_ {1}}$${\ displaystyle G_ {1}.}$${\ displaystyle F_ {2} = CF + QG_ {2},}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {F} {G}} & = {\ frac {F (CG_ {1} + DG_ {2})} {G_ {1} G_ {2}}} = {\ frac {DF} {G_ {1}}} + {\ frac {CF} {G_ {2}}} \\ & = {\ frac {F_ {1} + G_ {1} Q} {G_ {1 }}} + {\ frac {F_ {2} -G_ {2} Q} {G_ {2}}} \\ & = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}}. \ End {alinhado}}}$

Resta mostrar que, reduzindo ao mesmo denominador a última soma das frações, obtém-se e assim ${\ displaystyle \ deg F_ {2} <\ deg G_ {2}.}$${\ displaystyle F = F_ {2} G_ {1} + F_ {1} G_ {2},}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ deg F_ {2} & = \ deg (F-F_ {1} G_ {2}) - \ deg G_ {1} \ leq \ max (\ deg F, \ deg ( F_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} \\ & <\ max (\ deg G, \ deg (G_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} = \ deg G_ {2} \ end {alinhado}}}$

Poderes no denominador

Usando a decomposição anterior indutivamente, obtém-se frações da forma em que G é um polinômio irredutível . Se k > 1 , pode-se decompor ainda mais, usando que um polinômio irredutível é um polinômio livre de quadrados , ou seja, é o máximo divisor comum do polinômio e sua derivada . Se for a derivada de G , a identidade de Bézout fornece polinômios C e D tais que e, portanto, a divisão euclidiana de `por fornece polinômios e tal que e o cenário que se obtém ${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}},}$${\ displaystyle \ deg F <\ deg G ^ {k} = k \ deg G,}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle CG + DG '= 1}$${\ displaystyle F = FCG + FDG '.}$${\ displaystyle FDG '}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H_ {k}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle FDG '= QG + H_ {k}}$${\ displaystyle \ deg H_ {k} <\ deg G.}$${\ displaystyle F_ {k-1} = FC + Q,}$

${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}} = {\ frac {H_ {k}} {G ^ {k}}} + {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}},}$

com ${\ displaystyle \ deg H_ {k} <\ deg G.}$

A iteração desse processo no lugar de leva, eventualmente, ao seguinte teorema. ${\ displaystyle {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}}}$${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}}}$

Demonstração

A singularidade pode ser provada da seguinte forma. Seja d = max (1 + deg f , deg g ) . Todos juntos, b e um _ij Tem d coeficientes. A forma da decomposição define um mapa linear de vetores de coeficientes para polinômios f de grau menor que d . A prova de existência significa que este mapa é sobrejetivo . Como os dois espaços vetoriais têm a mesma dimensão, o mapa também é injetivo , o que significa exclusividade da decomposição. A propósito, esta prova induz um algoritmo para calcular a decomposição por meio da álgebra linear .

Se K é um campo de números complexos , o teorema fundamental da álgebra implica que todos os p _i têm grau um e todos os numeradores são constantes. Quando K é o campo de números reais , algumas das p _i pode ser quadrática, de modo que, no frações parciais, também pode ocorrer quocientes de polinómios lineares por potências de polinómios quadráticos. ${\ displaystyle a_ {ij}}$

No teorema anterior, pode-se substituir "polinômios irredutíveis distintos" por " polinômios coprime par a par que são coprimes com seus derivados". Por exemplo, o p _i podem ser os fatores da fatoração livre de quadrados de g . Quando K é o campo dos números racionais , como é tipicamente o caso na álgebra computacional , isso permite substituir a fatoração pelo cálculo do maior divisor comum para calcular uma decomposição de fração parcial.

Aplicação para integração simbólica

Para efeitos de integração simbólica , o resultado anterior pode ser refinado em

Isso reduz o cálculo da antiderivada de uma função racional à integração da última soma, que é chamada de parte logarítmica , porque sua antiderivada é uma combinação linear de logaritmos. Na verdade, nós temos

${\ displaystyle {\ frac {c_ {i1}} {p_ {i}}} = \ sum _ {\ alpha _ {j}: p_ {i} (\ alpha _ {j}) = 0} {\ frac { c_ {i1} (\ alpha _ {j})} {p '_ ​​{i} (\ alpha _ {j})}} {\ frac {1} {x- \ alpha _ {j}}}.}$

Existem vários métodos para calcular a decomposição acima. O mais simples de descrever é provavelmente o chamado método de Hermite . À medida que o grau de c _ij é limitado pelo grau de p _i , e o grau de b é a diferença de graus de f e g (se essa diferença é não-negativo, caso contrário, b = 0), pode-se escrever esses incógnitas polinômios como polinômios com coeficientes desconhecidos. Reduzindo os dois membros da fórmula acima ao mesmo denominador e escrevendo que os coeficientes de cada potência de x são os mesmos nos dois numeradores, obtém-se um sistema de equações lineares que pode ser resolvido para obter os valores desejados para os coeficientes desconhecidos.

Procedimento

Dados dois polinômios e , onde α _i são constantes distintas e deg  P  <  n , as frações parciais são geralmente obtidas supondo que ${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle Q (x) = (x- \ alpha _ {1}) (x- \ alpha _ {2}) \ cdots (x- \ alpha _ {n})}$

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {c_ {1}} {x- \ alpha _ {1}}} + {\ frac {c_ {2}} {x- \ alpha _ {2}}} + \ cdots + {\ frac {c_ {n}} {x- \ alpha _ {n}}}}$

e resolver para as constantes c _i , por substituição, equacionando os coeficientes de termos envolvendo as potências de x , ou de outra forma. (Esta é uma variante do método de coeficientes indeterminados .)

Um cálculo mais direto, que está fortemente relacionado com a interpolação de Lagrange, consiste em escrever

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P (\ alpha _ {i})} {Q '( \ alpha _ {i})}} {\ frac {1} {(x- \ alpha _ {i})}}}$

onde é a derivada do polinômio . ${\ displaystyle Q '}$${\ displaystyle Q}$

Esta abordagem não leva em conta vários outros casos, mas pode ser modificada de acordo:

• Se então é necessário realizar a divisão euclidiana de P por Q , usando a divisão longa polinomial , dando P ( x ) = E ( x ) Q ( x ) + R ( x ) com grau  R  <  n . Dividindo por Q ( x ), isso dá${\ displaystyle \ deg P \ geqslant \ deg Q,}$

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = E (x) + {\ frac {R (x)} {Q (x)}},}$

e então buscar frações parciais para a fração restante (que por definição satisfaz deg  R  <deg  Q ).

• Se Q ( x ) contém fatores que são irredutíveis no campo dado, então o numerador N ( x ) de cada fração parcial com tal fator F ( x ) no denominador deve ser buscado como um polinômio com grau  N  <deg  F , em vez de uma constante. Por exemplo, faça a seguinte decomposição em R :

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} +1} {(x + 2) (x-1) \ color {Blue} (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac {a } {x + 2}} + {\ frac {b} {x-1}} + {\ frac {\ color {OliveGreen} cx + d} {\ color {Blue} x ^ {2} + x + 1} }.}$

• Suponha que Q ( x ) = ( x - α ) ^r S ( x ) e S ( α ) ≠ 0 , ou seja, α é a raiz de Q ( x ) da multiplicidade r . Na decomposição da fração parcial, as r primeiras potências de ( x - α ) ocorrerão como denominadores das frações parciais (possivelmente com um numerador zero). Por exemplo, se S ( x ) = 1 a decomposição da fração parcial tem a forma

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {P (x)} {(x- \ alpha) ^ {r}}} = {\ frac {c_ {1 }} {x- \ alpha}} + {\ frac {c_ {2}} {(x- \ alpha) ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {c_ {r}} {(x- \ alfa) ^ {r}}}.}$

Ilustração

Em um exemplo de aplicação deste procedimento, (3 x + 5) / (1 - 2 x ) ² pode ser decomposto na forma

${\ displaystyle {\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {\ frac {A} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ frac {B} { (1-2x)}}.}$

Limpar os denominadores mostra que 3 x + 5 = A + B (1 - 2 x ) . Expandir e igualar os coeficientes de potências de x dá

5 = A + B e 3 x = –2 Bx

Resolver este sistema de equações lineares para A e B resulta em A = 13/2 e B = –3/2 . Portanto,

${\ displaystyle {\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {\ frac {13/2} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ frac {- 3/2} {(1-2x)}}.}$

Método de Resíduos

Sobre os números complexos, suponha que f ( x ) é uma fração racional adequada e pode ser decomposta em

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {a_ {i1}} {x-x_ {i}}} + {\ frac {a_ {i2}} {(x-x_ {i}) ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {ik_ {i}}} {(x-x_ {i}) ^ {k_ {i}}}} \ right).}$

Deixar

${\ displaystyle g_ {ij} (x) = (x-x_ {i}) ^ {j-1} f (x),}$

então, de acordo com a singularidade da série de Laurent , a _ij é o coeficiente do termo ( x  -  x _i ) ⁻¹ na expansão de Laurent de g _ij ( x ) sobre o ponto x _i , ou seja, seu resíduo

${\ displaystyle a_ {ij} = \ operatorname {Res} (g_ {ij}, x_ {i}).}$

Isso é dado diretamente pela fórmula

${\ displaystyle a_ {ij} = {\ frac {1} {(k_ {i} -j)!}} \ lim _ {x \ to x_ {i}} {\ frac {d ^ {k_ {i} - j}} {dx ^ {k_ {i} -j}}} \ left ((x-x_ {i}) ^ {k_ {i}} f (x) \ right),}$

ou no caso especial quando x _i é uma raiz simples,

${\ displaystyle a_ {i1} = {\ frac {P (x_ {i})} {Q '(x_ {i})}},}$

quando

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}.}$

Sobre os reais

As frações parciais são usadas no cálculo integral de variável real para encontrar antiderivadas com valor real de funções racionais . A decomposição em frações parciais de funções racionais reais também é usada para encontrar suas transformadas inversas de Laplace . Para aplicações de decomposição de fração parcial em reais , veja

• Aplicação para integração simbólica , acima
• Frações parciais nas transformações de Laplace

Resultado geral

Seja f ( x ) qualquer função racional sobre os números reais . Em outras palavras, suponha que existam funções polinomiais reais p ( x ) e q ( x ) ≠ 0, de modo que

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {p (x)} {q (x)}}}$

Ao dividir o numerador e o denominador pelo coeficiente líder de q ( x ), podemos supor, sem perda de generalidade, que q ( x ) é mônico . Pelo teorema fundamental da álgebra , podemos escrever

${\ displaystyle q (x) = (x-a_ {1}) ^ {j_ {1}} \ cdots (x-a_ {m}) ^ {j_ {m}} (x ^ {2} + b_ {1 } x + c_ {1}) ^ {k_ {1}} \ cdots (x ^ {2} + b_ {n} x + c_ {n}) ^ {k_ {n}}}$

onde a ₁ , ..., a _m , b ₁ , ..., b _n , c ₁ , ..., c _n são números reais com b _i ² - 4 c _i <0 e j ₁ , .. ., j _m , k ₁ , ..., k _n são inteiros positivos. Os termos ( x - a _i ) são os fatores lineares de q ( x ) que correspondem às raízes reais de q ( x ), e os termos ( x _i ² + b _i x + c _i ) são os fatores quadráticos irredutíveis de q ( x ) que correspondem a pares de raízes conjugadas complexas de q ( x ).

Então, a decomposição da fração parcial de f ( x ) é a seguinte:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {p (x)} {q (x)}} = P (x) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {r = 1} ^ {j_ {i}} {\ frac {A_ {ir}} {(x-a_ {i}) ^ {r}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {r = 1} ^ {k_ {i}} {\ frac {B_ {ir} x + C_ {ir}} {(x ^ {2} + b_ {i} x + c_ {i}) ^ {r}}}}$

Aqui, P ( x ) é um polinômio (possivelmente zero), e A _ir , B _ir e C _ir são constantes reais. As constantes podem ser encontradas de várias maneiras.

O método mais direto é multiplicar pelo denominador comum q ( x ). Obtemos então uma equação de polinômios cujo lado esquerdo é simplesmente p ( x ) e cujo lado direito tem coeficientes que são expressões lineares das constantes A _ir , B _ir e C _ir . Como dois polinômios são iguais se e somente se seus coeficientes correspondentes forem iguais, podemos igualar os coeficientes de termos semelhantes. Desta forma, obtém-se um sistema de equações lineares que sempre possui uma solução única. Esta solução pode ser encontrada usando qualquer um dos métodos padrão de álgebra linear . Também pode ser encontrado com limites (ver Exemplo 5 ).

Exemplos

Exemplo 1

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}}}$

Aqui, o denominador se divide em dois fatores lineares distintos:

${\ displaystyle q (x) = x ^ {2} + 2x-3 = (x + 3) (x-1)}$

então temos a decomposição da fração parcial

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = {\ frac {A} {x + 3}} + {\ frac {B} {x-1 }}}$

Multiplicando pelo denominador no lado esquerdo nos dá a identidade polinomial

${\ displaystyle 1 = A (x-1) + B (x + 3)}$

Substituindo x = −3 nesta equação dá A = −1/4, e substituindo x = 1 dá B = 1/4, de modo que

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = {\ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {-1} {x + 3}} + {\ frac {1} {x-1}} \ right)}$

Exemplo 2

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}}}$

Após longa divisão , temos

${\ displaystyle f (x) = 1 + {\ frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {4x ^ { 2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}}}$

O fator x ² - 4 x + 8 é irredutível sobre os reais, pois seu discriminante (−4) ²  - 4 × 8 = - 16 é negativo. Assim, a decomposição da fração parcial sobre os reais tem a forma

${\ displaystyle {\ frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}} = {\ frac {A} {x}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} -4x + 8}}}$

Multiplicando por x ³ - 4 x ² + 8 x , temos a identidade polinomial

${\ displaystyle 4x ^ {2} -8x + 16 = A (x ^ {2} -4x + 8) + (Bx + C) x}$

Tomando x = 0, vemos que 16 = 8 A , então A = 2. Comparando os coeficientes x ² , vemos que 4 = A + B = 2 + B , então B = 2. Comparando os coeficientes lineares, vemos que - 8 = −4 A + C = −8 + C , então C = 0. Ao todo,

${\ displaystyle f (x) = 1 + 2 \ left ({\ frac {1} {x}} + {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} \ right)}$

A fração pode ser completamente decomposta usando números complexos . De acordo com o teorema fundamental da álgebra, todo polinômio complexo de grau n tem raízes n (complexas) (algumas das quais podem ser repetidas). A segunda fração pode ser decomposta em:

${\ displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} = {\ frac {D} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {E} {x- (2 -2i)}}}$

Multiplicando pelo denominador dá:

${\ displaystyle x = D (x- (2-2i)) + E (x- (2 + 2i))}$

Equacionando os coeficientes de xe os coeficientes constantes (em relação ax ) de ambos os lados desta equação, obtém-se um sistema de duas equações lineares em D e E , cuja solução é

${\ displaystyle D = {\ frac {1 + i} {2i}} = {\ frac {1-i} {2}}, \ qquad E = {\ frac {1-i} {- 2i}} = { \ frac {1 + i} {2}}.}$

Assim, temos uma decomposição completa:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {2} {x}} + {\ frac {1-i} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {1 + i} {x- (2-2i)}}}$

Também se pode calcular diretamente A , D e E com o método de resíduo (ver também o exemplo 4 abaixo).

Exemplo 3

Este exemplo ilustra quase todos os "truques" que podemos precisar usar, exceto consultar um sistema de álgebra computacional .

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {9} -2x ^ {6} + 2x ^ {5} -7x ^ {4} + 13x ^ {3} -11x ^ {2} + 12x- 4} {x ^ {7} -3x ^ {6} + 5x ^ {5} -7x ^ {4} + 7x ^ {3} -5x ^ {2} + 3x-1}}}$

Depois de longa divisão e fatoração do denominador, temos

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2 } + 3x} {(x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) ^ {2}}}}$

A decomposição da fração parcial assume a forma

${\ displaystyle {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x} {(x-1) ^ {3} ( x ^ {2} +1) ^ {2}}} = {\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {B} {(x-1) ^ {2}}} + {\ frac {C} {(x-1) ^ {3}}} + {\ frac {Dx + E} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {Fx + G} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}}.}$

Multiplicando pelo denominador do lado esquerdo, temos a identidade polinomial

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 2x ^ {6} -4x ^ {5} & + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + C (x ^ {2} +1) ^ {2} + (Dx + E) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (Fx + G) (x-1) ^ {3} \ end {alinhado }}}$

Agora usamos diferentes valores de x para calcular os coeficientes:

${\ displaystyle {\ begin {cases} 4 = 4C & x = 1 \\ 2 + 2i = (Fi + G) (2 + 2i) & x = i \\ 0 = A-B + CEG & x = 0 \ end {cases}} }$

Resolvendo isso, temos:

${\ displaystyle {\ begin {cases} C = 1 \\ F = 0, G = 1 \\ E = AB \ end {cases}}}$

Usando esses valores, podemos escrever:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 2x ^ {6} -4x ^ {5} & + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + (x ^ {2} + 1) ^ {2} + (Dx + (AB)) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (x-1) ^ {3} \\ [4pt] & = (A + D) x ^ {6} + (- A-3D) x ^ {5} + (2B + 4D + 1) x ^ {4} + (- 2B-4D + 1) x ^ {3} + (- A + 2B + 3D-1) x ^ {2} + (A-2B-D + 3) x \ end {alinhado}}}$

Nós comparar os coeficientes de x ⁶ e x ⁵ em ambos os lados e nós temos:

${\ displaystyle {\ begin {cases} A + D = 2 \\ - A-3D = -4 \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad A = D = 1.}$

Portanto:

${\ displaystyle 2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = 2x ^ {6} -4x ^ {5} + (2B + 5) x ^ {4} + (- 2B-3) x ^ {3} + (2B + 1) x ^ {2} + (- 2B + 3) x}$

o que nos dá B = 0. Assim, a decomposição da fração parcial é dada por:

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + {\ frac {1} {(x-1)}} + {\ frac {1} {(x-1) ^ {3}} } + {\ frac {x + 1} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {1} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}}.}$

Alternativamente, em vez de expandir, pode-se obter outras dependências lineares nos coeficientes que calculam algumas derivadas na identidade polinomial acima. (Para este fim, lembre-se que a derivada em x = a de ( x - a ) ^m p ( x ) desaparece se m > 1 e é apenas p ( a ) para m = 1.) Por exemplo, a primeira derivada em x = 1 dá ${\ displaystyle x = 1, \ imath}$

${\ displaystyle 2 \ cdot 6-4 \ cdot 5 + 5 \ cdot 4-3 \ cdot 3 + 2 + 3 = A \ cdot (0 + 0) + B \ cdot (4 + 0) + 8 + D \ cdot 0}$

isto é 8 = 4 B + 8 então B = 0.

Exemplo 4 (método de resíduo)

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {z ^ {2} -5} {(z ^ {2} -1) (z ^ {2} +1)}} = {\ frac {z ^ {2 } -5} {(z + 1) (z-1) (z + i) (zi)}}}$

Assim, f ( z ) pode ser decomposto em funções racionais cujos denominadores são z +1, z −1, z + i, z −i. Uma vez que cada termo é de poder um, 1, 1, - i e i são pólos simples.

Portanto, os resíduos associados a cada pólo, dados por

${\ displaystyle {\ frac {P (z_ {i})} {Q '(z_ {i})}} = {\ frac {z_ {i} ^ {2} -5} {4z_ {i} ^ {3 }}},}$

estão

${\ displaystyle 1, -1, {\ tfrac {3i} {2}}, - {\ tfrac {3i} {2}},}$

respectivamente, e

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z + 1}} - {\ frac {1} {z-1}} + {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {z + i}} - {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {zi}}.}$

Exemplo 5 (método de limite)

Os limites podem ser usados ​​para encontrar uma decomposição da fração parcial. Considere o seguinte exemplo:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}}}$

Primeiro, fatorar o denominador que determina a decomposição:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac { A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}}.}$

Multiplicando tudo por e tomando o limite quando , obtemos ${\ displaystyle x-1}$${\ displaystyle x \ a 1}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} \ left ((x-1) \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \ right) \ right) = \ lim _ {x \ to 1} A + \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1) (Bx + C)} {x ^ {2} + x + 1}} = A.}$

Por outro lado,

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1)} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = \ lim _ {x \ to 1 } {\ frac {1} {x ^ {2} + x + 1}} = {\ frac {1} {3}},}$

e assim:

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {3}}.}$

Multiplicando por x e tomando o limite quando , temos ${\ displaystyle x \ to \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \ right) = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Ax} {x-1}} + \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Bx ^ {2} + Cx} { x ^ {2} + x + 1}} = A + B,}$

e

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = 0.}$

Isso implica A + B = 0 e assim . ${\ displaystyle B = - {\ frac {1} {3}}}$

Para x = 0 , obtemos e assim . ${\ displaystyle -1 = -A + C,}$${\ displaystyle C = - {\ tfrac {2} {3}}}$

Juntando tudo, obtemos a decomposição

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {1} {x-1}} + {\ frac { -x-2} {x ^ {2} + x + 1}} \ direita).}$

Exemplo 6 (integral)

Suponha que temos a integral indefinida :

${\ displaystyle \ int {\ frac {x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} + x-2}} \, dx}$

Antes de realizar a decomposição, é óbvio que devemos realizar a divisão longa do polinômio e fatorar o denominador. Fazer isso resultaria em:

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx}$

Com isso, podemos agora realizar a decomposição da fração parcial.

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx = \ int x ^ {2} +3+ { \ frac {A} {(x + 2)}} + {\ frac {B} {(x-1)}} \, dx}$

tão:

${\ displaystyle A (x-1) + B (x + 2) = - 3x + 7}$.

Ao substituir nossos valores, neste caso, onde x = 1 para resolver para B e x = -2 para resolver para A, iremos resultar em:

${\ displaystyle A = {\ frac {-13} {3}} \, B = {\ frac {4} {3}}}$

Conectar tudo isso de volta em nossa integral nos permite encontrar a resposta:

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-13/3} {(x + 2)}} + {\ frac {4/3} {(x-1)}} \, dx = {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ + 3x - {\ frac {13} {3}} \ ln (| x + 2 |) + {\ frac {4} {3}} \ ln (| x-1 |) + C}$

O papel do polinômio de Taylor

A decomposição em fração parcial de uma função racional pode ser relacionada ao teorema de Taylor da seguinte maneira. Deixar

${\ displaystyle P (x), Q (x), A_ {1} (x), \ ldots, A_ {r} (x)}$

ser polinômios reais ou complexos assumem que

${\ displaystyle Q = \ prod _ {j = 1} ^ {r} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}},}$

satisfaz

${\ displaystyle \ deg A_ {1} <\ nu _ {1}, \ ldots, \ deg A_ {r} <\ nu _ {r}, \ quad {\ text {e}} \ quad \ deg (P) <\ deg (Q) = \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ nu _ {j}.}$

Também definir

${\ displaystyle Q_ {i} = \ prod _ {j \ neq i} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}} = {\ frac {Q} {(x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}}, \ qquad 1 \ leqslant i \ leqslant r.}$

Então nós temos

${\ displaystyle {\ frac {P} {Q}} = \ sum _ {j = 1} ^ {r} {\ frac {A_ {j}} {(x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}}}}}$

se, e somente se, cada polinômio é o polinômio de Taylor de ordem no ponto : ${\ displaystyle A_ {i} (x)}$${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

${\ displaystyle A_ {i} (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {\ nu _ {i} -1} {\ frac {1} {k!}} \ left ({\ frac {P } {Q_ {i}}} \ right) ^ {(k)} (\ lambda _ {i}) \ (x- \ lambda _ {i}) ^ {k}.}$

O teorema de Taylor (no caso real ou complexo) fornece uma prova da existência e unicidade da decomposição da fração parcial e uma caracterização dos coeficientes.

Esboço da prova

A decomposição da fração parcial acima implica, para cada 1 ≤  i  ≤  r , uma expansão polinomial

${\ displaystyle {\ frac {P} {Q_ {i}}} = A_ {i} + O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {for}} x \ to \ lambda _ {i},}$

o mesmo ocorre com o polinômio de Taylor de , por causa da unicidade da expansão polinomial da ordem e por suposição . ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$${\ displaystyle \ deg A_ {i} <\ nu _ {i}}$

Por outro lado, se são os polinômios de Taylor, as expansões acima em cada retenção, portanto, também temos ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i} = O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {for}} x \ to \ lambda _ {i},}$

o que implica que o polinômio é divisível por${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i}}$${\ displaystyle (x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}.}$

Pois também é divisível por , então ${\ displaystyle j \ neq i, Q_ {j} A_ {j}}$${\ displaystyle (x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}$

${\ displaystyle P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j}}$

é divisível por . Desde a ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ deg \ left (P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} \ right) <\ deg (Q)}$

então temos

${\ displaystyle P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} = 0,}$

e encontramos a decomposição da fração parcial dividindo por . ${\ displaystyle Q}$

Frações de inteiros

A ideia de frações parciais pode ser generalizada para outros domínios integrais , digamos, o anel de inteiros onde os números primos assumem o papel de denominadores irredutíveis. Por exemplo:

${\ displaystyle {\ frac {1} {18}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {3 ^ {2}}} .}$

Notas

Referências

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links externos

• Weisstein, Eric W. "Partial Fraction Decomposition" . MathWorld .
• Blake, Sam. "Frações parciais passo a passo" .
• Faça decomposições parciais de frações com o Scilab .