Caminho (topologia) - Path (topology)

Os pontos traçados por um caminho de para em No entanto, caminhos diferentes podem traçar o mesmo conjunto de pontos.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$

Em matemática , um caminho em um espaço topológico é uma função contínua do intervalo de unidade fechado para${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle X.}$

Os caminhos desempenham um papel importante nas áreas de Topologia e Análise Matemática . Por exemplo, um espaço topológico para o qual existe um caminho conectando quaisquer dois pontos é considerado conectado por caminho . Qualquer espaço pode ser dividido em componentes conectados por caminho . O conjunto de componentes conectados ao caminho de um espaço é frequentemente denotado${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ pi _ {0} (X).}$

Também é possível definir caminhos e loops em espaços pontiagudos , que são importantes na teoria da homotopia . Se for um espaço topológico com ponto base, então um caminho em é aquele cujo ponto inicial é . Da mesma forma, um loop in é aquele baseado em . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Definição

Uma curva em um espaço topológico é uma função contínua de um não-vazia e intervalo não degenerado Um caminho em uma curva cujo domínio é um compacto intervalo não degenerado (ou seja, são números reais ), onde é chamado o ponto inicial da caminho e é chamado de ponto terminal . Um caminho de a é um caminho cujo ponto inicial é e cujo ponto de terminal é Cada intervalo compacto não degenerado é homeomorfos a qual é por isso um caminho é por vezes, especialmente na homotopia, definido para ser uma função contínua do fechada intervalo unitário em${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f: J \ a X}$ ${\ displaystyle J \ subseteq \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: [a, b] \ a X}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle f (a)}$${\ displaystyle f (b)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y.}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle [0,1],}$ ${\ displaystyle f: [0,1] \ a X}$ ${\ displaystyle I: = [0,1]}$${\ displaystyle X.}$ Um arco ou C ⁰ -arc em é um caminho que também é uma incorporação topológica . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

É importante ressaltar que um caminho não é apenas um subconjunto do que "parece" uma curva , ele também inclui uma parametrização . Por exemplo, os mapas e representam dois caminhos diferentes de 0 a 1 na linha real. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (x) = x}$${\ displaystyle g (x) = x ^ {2}}$

Um loop em um espaço baseado em é um caminho de para Um loop pode ser igualmente bem considerado como um mapa com ou como um mapa contínuo do círculo unitário para${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle f: [0,1] \ a X}$${\ displaystyle f (0) = f (1)}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f: S ^ {1} \ a X.}$

Isso ocorre porque é o espaço quociente de quando é identificado com O conjunto de todos os loops em formas um espaço chamado espaço de loop de${\ displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle I = [0,1]}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Homotopia de caminhos

Uma homotopia entre dois caminhos.

Caminhos e loops são temas centrais de estudo no ramo da topologia algébrica chamada teoria da homotopia . Uma homotopia de caminhos torna precisa a noção de continuamente deformar um caminho enquanto mantém seus pontos finais fixos.

Especificamente, um homotopy de caminhos ou caminho-homotopy , em é uma família de caminhos indexado por tal que ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f_ {t}: [0,1] \ a X}$${\ displaystyle I = [0,1]}$

• ${\ displaystyle f_ {t} (0) = x_ {0}}$e são fixos.${\ displaystyle f_ {t} (1) = x_ {1}}$
• o mapa fornecido por é contínuo.${\ displaystyle F: [0,1] \ times [0,1] \ a X}$${\ displaystyle F (s, t) = f_ {t} (s)}$

Os caminhos e conectados por uma homotopia são ditos homotópicos (ou mais precisamente homotópicos de caminhos , para distinguir entre a relação definida em todas as funções contínuas entre espaços fixos). Da mesma forma, pode-se definir uma homotopia de loops mantendo o ponto de base fixo. ${\ displaystyle f_ {0}}$${\ displaystyle f_ {1}}$

A relação de ser homotópico é uma relação de equivalência em caminhos em um espaço topológico. A classe de equivalência de um caminho sob esta relação é chamada de classe de homotopia de muitas vezes denotado${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle [f].}$

Composição do caminho

Pode-se compor caminhos em um espaço topológico da seguinte maneira. Suponha que seja um caminho de para e um caminho de para . O caminho é definido como o caminho obtido primeiro percorrendo e depois percorrendo : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle fg}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle fg (s) = {\ begin {cases} f (2s) & 0 \ leq s \ leq {\ frac {1} {2}} \\ g (2s-1) & {\ frac {1} { 2}} \ leq s \ leq 1. \ end {casos}}}$

Claramente, a composição do caminho só é definida quando o ponto terminal de coincide com o ponto inicial de. Se considerarmos todos os loops baseados em um ponto , a composição do caminho é uma operação binária . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g.}$${\ displaystyle x_ {0},}$

A composição do caminho, quando definida, não é associativa devido à diferença na parametrização. No entanto, é associativo até a homotopia de trajetória. Ou seja, a composição do caminho define uma estrutura de grupo no conjunto de classes de homotopia de loops com base em um ponto em O grupo resultante é chamado de grupo fundamental de com base em geralmente denotado${\ displaystyle [(fg) h] = [f (gh)].}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (X, x_ {0} \ right).}$

Em situações que pedem associatividade da composição caminho "no nariz," um caminho no em vez disso pode ser definida como um mapa contínuo a partir de um intervalo de para qualquer verdadeiro Um caminho deste tipo tem um comprimento definido como composição Path é então definido como antes com a seguinte modificação: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle [0, a]}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a \ geq 0.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle | f |}$${\ displaystyle a.}$

${\ displaystyle fg (s) = {\ begin {cases} f (s) & 0 \ leq s \ leq | f | \\ g (s- | f |) & | f | \ leq s \ leq | f | + | g | \ end {cases}}}$

Considerando que com a definição anterior,, e todos têm comprimento (o comprimento do domínio do mapa), esta definição faz O que fez a associatividade falhar para a definição anterior é que embora e tenham o mesmo comprimento, ou seja, o ponto médio de ocorrido entre e enquanto o ponto médio de ocorreu entre e . Com esta definição modificada e têm o mesmo comprimento, ou seja, e o mesmo ponto médio, encontrado em ambos e ; de modo mais geral, eles têm a mesma parametrização do começo ao fim. ${\ displaystyle f,}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle fg}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle | fg | = | f | + | g |.}$${\ displaystyle (fg) h}$${\ displaystyle f (gh)}$${\ displaystyle 1,}$${\ displaystyle (fg) h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h,}$${\ displaystyle f (gh)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle (fg) h}$${\ displaystyle f (gh)}$${\ displaystyle | f | + | g | + | h |,}$${\ displaystyle \ left (| f | + | g | + | h | \ right) / 2}$${\ displaystyle (fg) h}$${\ displaystyle f (gh)}$

Grupóide fundamental

Há uma imagem categórica de caminhos que às vezes é útil. Qualquer espaço topológico dá origem a uma categoria em que os objetos são os pontos de e os morfismos são as classes de homotopia dos caminhos. Uma vez que qualquer morfismo nesta categoria é um isomorfismo, esta categoria é um grupóide , chamado de grupóide fundamental de Loops nesta categoria são os endomorfismos (todos os quais são na verdade automorfismos ). O grupo de automorfismo de um ponto em é apenas o grupo fundamental baseado em . De maneira mais geral, pode-se definir o grupóide fundamental em qualquer subconjunto do uso de classes de homotopia de caminhos que unem pontos de Isso é conveniente para o Teorema de Van Kampen . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle A.}$

Veja também

• Curva § Topologia
• Espaço conectado por caminho local
• Espaço do caminho (desambiguação)
• Espaço conectado por caminho

Referências

• Ronald Brown , Topologia e grupóides, Booksurge PLC, (2006).
• J. Peter May , Um curso conciso em topologia algébrica, University of Chicago Press, (1999).
• James Munkres , Topology 2ed, Prentice Hall, (2000).