Pêndulo (mecânica) - Pendulum (mechanics)

Parte de uma série sobre
Mecânica clássica
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Segunda lei do movimento
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Um pêndulo é um corpo suspenso por um suporte fixo de modo que oscila livremente para a frente e para trás sob a influência da gravidade. Quando um pêndulo é deslocado lateralmente de sua posição de repouso e equilíbrio, ele está sujeito a uma força restauradora devido à gravidade que o acelera de volta à posição de equilíbrio. Quando liberada, a força restauradora que atua sobre a massa do pêndulo faz com que ele oscile em torno da posição de equilíbrio, balançando-o para frente e para trás. A matemática dos pêndulos é em geral bastante complicada. Suposições simplificadas podem ser feitas, as quais, no caso de um pêndulo simples, permitem que as equações de movimento sejam resolvidas analiticamente para oscilações de pequeno ângulo.

Pêndulo de gravidade simples

Um pêndulo de gravidade simples é um modelo matemático idealizado de um pêndulo real. Este é um peso (ou bob ) na extremidade de um cabo sem massa suspenso por um pivô , sem atrito . Como neste modelo não há perda de energia por atrito, quando dado um deslocamento inicial, ele oscilará para frente e para trás em uma amplitude constante . O modelo é baseado nestas premissas:

• A haste ou corda na qual o pêndulo oscila não tem massa, é inextensível e sempre permanece esticada.
• O prumo é uma massa pontual.
• O movimento ocorre apenas em duas dimensões , ou seja, o pêndulo não traça uma elipse, mas um arco .
• O movimento não perde energia por atrito ou resistência do ar .
• O campo gravitacional é uniforme.
• O suporte não se move.

A equação diferencial que representa o movimento de um pêndulo simples é

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0}$ Eq. 1

onde g é a magnitude do campo gravitacional , ℓ é o comprimento da haste ou cabo e θ é o ângulo da vertical ao pêndulo.

Derivação "Forçar" de ( Eq. 1 ) Figura 1. Diagrama de força de um pêndulo de gravidade simples. Considere a Figura 1 à direita, que mostra as forças agindo sobre um pêndulo simples. Observe que a trajetória do pêndulo forma um arco de círculo. O ângulo θ é medido em radianos e isso é crucial para esta fórmula. A seta azul é a força gravitacional que atua no pêndulo, e as setas violetas são a mesma força resolvida em componentes paralelos e perpendiculares ao movimento instantâneo do pêndulo. A direção da velocidade instantânea do pêndulo sempre aponta ao longo do eixo vermelho, que é considerado o eixo tangencial porque sua direção é sempre tangente ao círculo. Considere a segunda lei de Newton , ${\ displaystyle F = ma}$ onde F é a soma das forças no objeto, m é a massa e a é a aceleração. Como estamos preocupados apenas com as mudanças na velocidade e porque o pêndulo é forçado a permanecer em um caminho circular, aplicamos a equação de Newton apenas ao eixo tangencial. A seta violeta curta representa o componente da força gravitacional no eixo tangencial e a trigonometria pode ser usada para determinar sua magnitude. Assim, ${\ displaystyle {\ begin {alinhado} F & = - mg \ sin \ theta = ma, \ qquad {\ text {so}} \\ a & = - g \ sin \ theta, \ end {alinhado}}}$ onde g é a aceleração da gravidade próxima à superfície da terra. O sinal negativo no lado direito implica que θ e a sempre apontam em direções opostas. Isso faz sentido porque, quando um pêndulo oscila mais para a esquerda, esperaríamos que ele acelerasse de volta para a direita. Esta aceleração linear a ao longo do eixo vermelho pode estar relacionada à mudança no ângulo θ pelas fórmulas do comprimento do arco; s é o comprimento do arco: ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} s & = \ ell \ theta, \\ v & = {\ frac {ds} {dt}} = \ ell {\ frac {d \ theta} {dt}}, \\ a & = {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} = \ ell {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}}, \ end {alinhado}}}$ portanto: ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ ell {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} & = - g \ sin \ theta, \\ {\ frac {d ^ {2 } \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta & = 0. \ end {alinhado}}}$

Derivação de "torque" de ( Eq. 1 ) A equação (1) pode ser obtida usando duas definições para torque. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}}.}$ Comece definindo o torque no pêndulo usando a força da gravidade. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {l} \ times \ mathbf {F} _ {\ mathrm {g}},}$ onde l é o vetor comprimento do pêndulo e F g é a força da gravidade. Por enquanto, apenas considere a magnitude do torque no pêndulo. ${\ displaystyle | {\ boldsymbol {\ tau}} | = -mg \ ell \ sin \ theta,}$ onde m é a massa do pêndulo, g é a aceleração da gravidade, l é o comprimento do pêndulo e θ é o ângulo entre o vetor comprimento e a força da gravidade. Em seguida, reescreva o momento angular. ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = m \ mathbf {r} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}).}$ Novamente, considere apenas a magnitude do momento angular. ${\ displaystyle | \ mathbf {L} | = mr ^ {2} \ omega = m \ ell ^ {2} {\ frac {d \ theta} {dt}}.}$ e sua derivada do tempo ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} | \ mathbf {L} | = m \ ell ^ {2} {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}},}$ De acordo com τ = d L/dt, podemos obter comparando as magnitudes ${\ displaystyle -mg \ ell \ sin \ theta = m \ ell ^ {2} {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}},}$ portanto: ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0,}$ que é o mesmo resultado obtido através da análise de força.

Derivação de "energia" de ( Eq. 1 ) Figura 2. Trigonometria de um pêndulo gravitacional simples. Também pode ser obtido por meio do princípio da conservação da energia mecânica : qualquer objeto que caia a uma distância vertical adquirirá energia cinética igual à que perdeu com a queda. Em outras palavras, a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética. Mudança na energia potencial é dada por ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle \ Delta U = mgh. \,}$ A mudança na energia cinética (corpo partiu do repouso) é dada por ${\ displaystyle \ Delta K = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}.}$ Uma vez que nenhuma energia é perdida, o ganho em um deve ser igual à perda no outro ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2} = mgh. \,}$ A mudança na velocidade para uma determinada mudança na altura pode ser expressa como ${\ displaystyle v = {\ sqrt {2gh}}. \,}$ Usando a fórmula do comprimento do arco acima, esta equação pode ser reescrita em termos de dθ/dt: ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} v = \ ell {\ frac {d \ theta} {dt}} & = {\ sqrt {2gh}}, \ quad {\ text {so}} \\ {\ frac { d \ theta} {dt}} & = {\ frac {\ sqrt {2gh}} {l}}, \ end {alinhado}}}$ onde h é a distância vertical em que o pêndulo caiu. Observe a Figura 2, que apresenta a trigonometria de um pêndulo simples. Se o pêndulo começar sua oscilação a partir de algum ângulo inicial θ 0 , então y 0 , a distância vertical do parafuso, é dada por ${\ displaystyle y_ {0} = \ ell \ cos \ theta _ {0}. \,}$ Da mesma forma, para y 1 , temos ${\ displaystyle y_ {1} = \ ell \ cos \ theta. \,}$ Então h é a diferença dos dois ${\ displaystyle h = \ ell \ left (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0} \ right).}$ Em termos de dθ/dt dá ${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {dt}} = {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}}.}$ Eq. 2 Esta equação é conhecida como a primeira integral do movimento , fornece a velocidade em termos de localização e inclui uma constante de integração relacionada ao deslocamento inicial ( θ 0 ). Podemos diferenciar, aplicando a regra da cadeia , no que diz respeito ao tempo para obter a aceleração ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} {\ frac {d \ theta} {dt}} & = {\ frac {d} {dt}} {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} \ left (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0} \ right)}}, \\ {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2} }} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {- {\ frac {2g} {\ ell}} \ sin \ theta} {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}}} {\ frac {d \ theta} {dt}} \\ & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {- { \ frac {2g} {\ ell}} \ sin \ theta} {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}}} {\ sqrt {{\ frac {2g} {\ ell}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}} = - {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta, \\ {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} & + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0, \ end {alinhado}}}$ que é o mesmo resultado obtido através da análise de força.

Aproximação de pequeno ângulo

A equação diferencial fornecida acima não é facilmente resolvida e não há solução que possa ser escrita em termos de funções elementares. No entanto, adicionar uma restrição ao tamanho da amplitude da oscilação dá uma forma cuja solução pode ser facilmente obtida. Se for assumido que o ângulo é muito menor que 1  radiano (frequentemente citado como menor que 0,1 radianos, cerca de 6 °), ou

${\ displaystyle \ theta \ ll 1, \,}$

em seguida, substituindo sin θ na Eq. 1 usando a aproximação de pequeno ângulo ,

${\ displaystyle \ sin \ theta \ approx \ theta, \,}$

produz a equação para um oscilador harmônico ,

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ theta = 0.}$

O erro devido à aproximação é da ordem θ ³ (da expansão de Taylor para sen θ ).

Seja o ângulo inicial θ ₀ . Se for assumido que o pêndulo é liberado com velocidade angular zero , a solução torna-se

O movimento é um movimento harmônico simples, onde θ ₀ é a amplitude da oscilação (ou seja, o ângulo máximo entre a haste do pêndulo e a vertical). O período aproximado correspondente do movimento é então

que é conhecida como a lei de Christiaan Huygens para o período. Observe que sob a aproximação de pequeno ângulo, o período é independente da amplitude θ ₀ ; esta é a propriedade do isocronismo que Galileu descobriu.

Regra prática para comprimento do pêndulo

${\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}}}$ pode ser expresso como ${\ displaystyle \ ell = {\ frac {g} {\ pi ^ {2}}} {\ frac {T_ {0} ^ {2}} {4}}.}$

Se unidades SI forem usadas (ou seja, medida em metros e segundos), e assumindo que a medição está ocorrendo na superfície da Terra, então g ≈ 9,81 m / s ² , eg/π ²≈ 1 (0,994 é a aproximação para 3 casas decimais).

Portanto, as aproximações relativamente razoáveis ​​para a duração e o período são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ ell & \ approx {\ frac {T_ {0} ^ {2}} {4}}, \\ T_ {0} & \ approx 2 {\ sqrt {\ ell}} \ end {alinhado}}}$

onde T ₀ é o número de segundos entre duas batidas (uma batida para cada lado do balanço) e l é medido em metros.

Período de amplitude arbitrária

Para amplitudes além da aproximação de pequeno ângulo , pode-se calcular o período exato, primeiro invertendo a equação para a velocidade angular obtida a partir do método de energia ( Eq. 2 ),

${\ displaystyle {\ frac {dt} {d \ theta}} = {\ sqrt {\ frac {\ ell} {2g}}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}}}$

e então a integração ao longo de um ciclo completo,

${\ displaystyle T = t (\ theta _ {0} \ rightarrow 0 \ rightarrow - \ theta _ {0} \ rightarrow 0 \ rightarrow \ theta _ {0}),}$

ou duas vezes o meio-ciclo

${\ displaystyle T = 2t (\ theta _ {0} \ rightarrow 0 \ rightarrow - \ theta _ {0}),}$

ou quatro vezes o quarto de ciclo

${\ displaystyle T = 4t (\ theta _ {0} \ rightarrow 0),}$

o que leva a

${\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {\ ell} {2g}}} \ int _ {0} ^ {\ theta _ {0}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}} \, d \ theta.}$

Observe que esta integral diverge conforme θ _{0 se} aproxima da vertical

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta _ {0} \ rightarrow {\ frac {\ pi} {2}}} T = \ infty,}$

de modo que um pêndulo com a energia certa para ficar vertical nunca chegará lá. (Por outro lado, um pêndulo perto de seu máximo pode levar um tempo arbitrariamente longo para cair.)

Esta integral pode ser reescrita em termos de integrais elípticas como

${\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}} F \ left ({\ frac {\ pi} {2}}, \ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ direita)}$

onde F é a integral elíptica incompleta do primeiro tipo definida por

${\ displaystyle F (\ varphi, k) = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {1} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} u}}} \ , du \ ,.}$

Ou mais concisamente pela substituição

${\ displaystyle \ sin {u} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ theta} {2}}} {\ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}}}}}$

expressando θ em termos de u ,

Aqui K é a integral elíptica completa do primeiro tipo definida por

${\ displaystyle K (k) = F \ left ({\ frac {\ pi} {2}}, k \ right) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {1} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} u}}} \, du \ ,.}$

Para comparação da aproximação da solução completa, considere o período de um pêndulo de comprimento 1 m na Terra ( g =9,806 65  m / s ² ) no ângulo inicial de 10 graus é

${\ displaystyle 4 {\ sqrt {\ frac {1 {\ text {m}}} {g}}} \ K \ left (\ sin {\ frac {10 ^ {\ circ}} {2}} \ right) \ approx 2.0102 {\ text {s}}.}$

A aproximação linear dá

${\ displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {1 {\ text {m}}} {g}}} \ approx 2.0064 {\ text {s}}.}$

A diferença entre os dois valores, inferior a 0,2%, é muito menor do que a causada pela variação de g com a localização geográfica.

A partir daqui, há muitas maneiras de proceder para calcular a integral elíptica.

Solução polinomial de Legendre para a integral elíptica

Dada a Eq. 3 e a solução polinomial de Legendre para a integral elíptica:

${\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(2n-1) !!} {(2n ) !!}} k ^ {n} \ right) ^ {2}}$

onde n !! denota o duplo fatorial , uma solução exata para o período de um pêndulo simples é:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} T & = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}} \ left (1+ \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right ) ^ {2} \ sin ^ {4} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} + \ left ({\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 }} \ right) ^ {2} \ sin ^ {6} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} + \ cdots \ right) \\ & = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac { \ ell} {g}}} \ cdot \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ left ({\ frac {(2n)!} {(2 ^ {n} \ cdot n!) ^ {2}}} \ right) ^ {2} \ cdot \ sin ^ {2n} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right). \ End {alignat}}}$

A Figura 4 mostra os erros relativos usando a série de potências. T ₀ é a aproximação linear, e T ₂ a T ₁₀ incluem, respectivamente, os termos até a 2ª à 10ª potências.

Solução de série de potência para a integral elíptica

Outra formulação da solução acima pode ser encontrada na seguinte série Maclaurin:

${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} = {\ frac {1} {2}} \ theta _ {0} - {\ frac {1} {48}} \ theta _ {0} ^ {3} + {\ frac {1} {3 \, 840}} \ theta _ {0} ^ {5} - {\ frac {1} {645 \, 120}} \ theta _ { 0} ^ {7} + \ cdots.}$

é usado na solução polinomial de Legendre acima. A série de potências resultante é:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} T & = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}} \ left (1 + {\ frac {1} {16}} \ theta _ {0} ^ {2} + {\ frac {11} {3 \, 072}} \ theta _ {0} ^ {4} + {\ frac {173} {737 \, 280}} \ theta _ {0 } ^ {6} + {\ frac {22 \, 931} {1 \, 321 \, 205 \, 760}} \ theta _ {0} ^ {8} + {\ frac {1 \, 319 \, 183 } {951 \, 268 \, 147 \, 200}} \ theta _ {0} ^ {10} + {\ frac {233 \, 526 \, 463} {2 \, 009 \, 078 \, 326 \, 886 \, 400}} \ theta _ {0} ^ {12} + \ cdots \ right) \ end {alignat}}}$,

mais frações disponíveis em OEIS :  A223067 OEIS :  A223068 .

Solução média aritmético-geométrica para integral elíptica

Dada a Eq. 3 e a solução média aritmética-geométrica da integral elíptica:

${\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ frac {\ pi} {2}} {M (1-k, 1 + k)}},}$

onde M ( x , y ) é a média aritmético-geométrica de x e y .

Isso produz uma fórmula alternativa e de convergência mais rápida para o período:

${\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {M \ left (1, \ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right)}} {\ sqrt {\ frac {\ ell} {g}}}.}$

A primeira iteração deste algoritmo dá

${\ displaystyle T_ {1} = {\ frac {2T_ {0}} {1+ \ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}}}}.}$

Essa aproximação tem o erro relativo de menos de 1% para ângulos de até 96,11 graus. Uma vez que a expressão pode ser escrita de forma mais concisa como ${\ displaystyle {\ frac {1+ \ cos (\ theta _ {0} / 2)} {2}} = \ cos ^ {2} {\ frac {\ theta _ {0}} {4}},}$

${\ displaystyle T_ {1} = T_ {0} \ sec ^ {2} {\ frac {\ theta _ {0}} {4}}.}$

A expansão de segunda ordem de reduz a${\ displaystyle \ sec ^ {2} (\ theta _ {0} / 4)}$${\ displaystyle T \ approx T_ {0} \ left (1 + {\ frac {\ theta _ {0} ^ {2}} {16}} \ right).}$

Uma segunda iteração deste algoritmo dá

${\ displaystyle T_ {2} = {\ frac {4T_ {0}} {1+ \ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} + 2 {\ sqrt {\ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}}}}}} = {\ frac {4T_ {0}} {\ left (1 + {\ sqrt {\ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2} }}} \ right) ^ {2}}}.}$

Essa segunda aproximação tem um erro relativo de menos de 1% para ângulos de até 163,10 graus.

Fórmulas aproximadas para o período do pêndulo não linear

Embora o período exato possa ser determinado, para qualquer amplitude finita rad, avaliando a integral elíptica completa correspondente , onde isso é frequentemente evitado em aplicações porque não é possível expressar essa integral de forma fechada em termos de funções elementares. Isso abriu caminho para a pesquisa de fórmulas aproximadas simples para o aumento do período do pêndulo com amplitude (úteis em laboratórios de física introdutória, mecânica clássica, eletromagnetismo, acústica, eletrônica, supercondutividade, etc. As fórmulas aproximadas encontradas por diferentes autores podem ser classificadas como segue: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ theta _ {0} <\ pi}$${\ displaystyle K (k)}$${\ displaystyle k \ equiv \ sin (\ theta _ {0} / 2)}$

• Fórmulas de 'ângulo não tão grande', ou seja, aquelas que produzem boas estimativas para amplitudes abaixo de rad (um limite natural para um pêndulo na extremidade de uma corda flexível), embora o desvio em relação ao período exato aumente monotonicamente com a amplitude, sendo inadequada para amplitudes próximas a rad. Uma das fórmulas mais simples encontradas na literatura é a seguinte de Lima (2006):, onde .${\ displaystyle \ pi / 2}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle T \ approx - \, T_ {0} \, {\ frac {\ ln {a}} {1-a}}}$${\ displaystyle a \ equiv \ cos {(\ theta _ {0} / 2)}}$

• Fórmulas de 'ângulo muito grande', ou seja, aquelas que se aproximam do período exato assintoticamente para amplitudes próximas a rad, com um erro que aumenta monotonicamente para amplitudes menores (ou seja, inadequadas para amplitudes pequenas). Um dos tais fórmulas melhor é que por Cromer, a saber: .${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle T \ approx {\ frac {2} {\ pi}} \, T_ {0} \, \ ln {(4 / a)}}$

Claro, o aumento de com a amplitude é mais aparente quando , como foi observado em muitos experimentos usando uma haste rígida ou um disco. Como temporizadores e sensores precisos estão disponíveis até mesmo em laboratórios de física introdutória, os erros experimentais encontrados em experimentos de 'ângulo muito grande' já são pequenos o suficiente para uma comparação com o período exato e um acordo muito bom entre a teoria e os experimentos nos quais o atrito é insignificante foi encontrado. Uma vez que esta atividade foi encorajada por muitos instrutores, uma fórmula aproximada simples para o período do pêndulo válida para todas as amplitudes possíveis, com a qual os dados experimentais pudessem ser comparados, foi buscada. Em 2008, Lima derivou uma fórmula de média ponderada com esta característica: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ pi / 2 <\ theta _ {0} <\ pi}$

${\ displaystyle T \ approx {\ frac {r \, a ^ {2} \, T_ {Lima} + k ^ {2} \, T_ {Cromer}} {r \, a ^ {2} + k ^ { 2}}}}$,

onde , que apresenta um erro máximo de apenas 0,6% (at ). ${\ displaystyle r = 7,17}$${\ displaystyle \ theta _ {0} = 95 ^ {\ circ}}$

Série de Fourier de deslocamento angular de amplitude arbitrária

A expansão da série de Fourier é dada por ${\ displaystyle \ theta (t)}$

${\ displaystyle \ theta (t) = 8 \ sum _ {n \ geq 1 {\ text {odd}}} {\ frac {(-1) ^ {\ left \ lfloor {n / 2} \ right \ rfloor} } {n}} {\ frac {q ^ {n / 2}} {1 + q ^ {n}}} \ cos (n \ omega t)}$

onde é o Nome elíptica , e a frequência angular. ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q = \ exp (- \ pi K '/ K)}$${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi / T}$

Se alguém define

${\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {1 - {\ sqrt {\ cos {\ frac {\ theta _ {0}} {2}}}}} {2 + 2 {\ sqrt {\ cos {\ frac { \ theta _ {0}} {2}}}}}}}$

${\ displaystyle q}$ pode ser aproximado usando a expansão

${\ displaystyle q = \ epsilon +2 \ epsilon ^ {5} +15 \ epsilon ^ {9} +150 \ epsilon ^ {13} +1707 \ epsilon ^ {17} +20910 \ epsilon ^ {21} + \ cdots }$

(consulte OEIS :  A002103 ). Observe que, por termos , a aproximação é aplicável mesmo para grandes amplitudes. ${\ displaystyle \ theta _ {0} <\ pi}$${\ displaystyle \ epsilon <{\ tfrac {1} {2}}}$

Exemplos

As animações abaixo representam o movimento de um pêndulo simples (sem atrito) com quantidades crescentes de deslocamento inicial do pêndulo ou velocidade inicial equivalente aumentando. O pequeno gráfico acima de cada pêndulo é o diagrama do plano de fase correspondente ; o eixo horizontal é o deslocamento e o eixo vertical é a velocidade. Com uma velocidade inicial grande o suficiente, o pêndulo não oscila para frente e para trás, mas gira completamente em torno do pivô.

• 

  Ângulo inicial de 0 °, um equilíbrio estável

• 

  Ângulo inicial de 45 °

• 

  Ângulo inicial de 90 °

• 

  Ângulo inicial de 135 °

• 

  Ângulo inicial de 170 °

• 

  Ângulo inicial de 180 °, equilíbrio instável

• 

  Pêndulo mal com energia suficiente para um balanço completo

• 

  Pêndulo com energia suficiente para um balanço completo

Pêndulo composto

Um pêndulo composto (ou pêndulo físico ) é aquele em que a haste não é sem massa e pode ter tamanho estendido; isto é, um corpo rígido com formato arbitrário balançando por um pivô. Neste caso, o período do pêndulo depende de seu momento de inércia I em torno do ponto de pivô.

A equação de torque fornece:

${\ displaystyle \ tau = I \ alpha \,}$

Onde:

α é a aceleração angular.

τ é o torque

O torque é gerado pela gravidade, então:

${\ displaystyle \ tau = -mgL \ sin \ theta \,}$

Onde:

m é a massa do corpo

L é a distância do pivô ao centro de massa do objeto

θ é o ângulo da vertical

Portanto, sob a aproximação de pequeno ângulo sen θ ≈ θ ,

${\ displaystyle \ alpha = {\ ddot {\ theta}} \ aprox - {\ frac {mgL \ theta} {I}}}$

onde I é o momento de inércia do corpo sobre o ponto pivô.

A expressão para α é da mesma forma que o pêndulo simples convencional e dá um período de

${\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {I} {mgL}}}}$

E uma frequência de

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {T}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {mgL} {I}}}}$

Se o ângulo inicial for levado em consideração (para grandes amplitudes), a expressão para torna-se: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha = {\ ddot {\ theta}} = - {\ frac {mgL \ sin \ theta} {I}}}$

e dá um período de:

${\ displaystyle T = 4 \ operatorname {K} \ left (\ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ right) {\ sqrt {\ frac {I} {mgL} }}}$

onde θ ₀ é o ângulo máximo de oscilação (em relação à vertical) e K ( k ) é a integral elíptica completa do primeiro tipo .

Interpretação física do período imaginário

A função elíptica Jacobiana que expressa a posição de um pêndulo em função do tempo é uma função duplamente periódica com um período real e um período imaginário . O período real é, obviamente, o tempo que o pêndulo leva para percorrer um ciclo completo. Paul Appell apontou uma interpretação física do período imaginário: se θ ₀ é o ângulo máximo de um pêndulo e 180 ° - θ ₀ é o ângulo máximo de outro, então o período real de cada um é a magnitude do período imaginário do de outros.

Pêndula acoplada

Os pêndulos acoplados podem afetar o movimento um do outro, seja por meio de uma conexão de direção (como uma mola conectando os bobs) ou por meio de movimentos em uma estrutura de suporte (como uma mesa). As equações de movimento para dois pêndulos simples idênticos acoplados por uma mola conectando os bobs podem ser obtidas usando a Mecânica Lagrangiana .

A energia cinética do sistema é:

${\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} mL ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {\ theta}} _ {2} ^ {2} \ right)}$

onde está a massa dos bobs, é o comprimento das cordas e , são os deslocamentos angulares dos dois bobs do equilíbrio. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {2}}$

A energia potencial do sistema é:

${\ displaystyle E _ {\ text {p}} = mgL (2- \ cos \ theta _ {1} - \ cos \ theta _ {2}) + {\ frac {1} {2}} kL ^ {2} (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) ^ {2}}$

onde está a aceleração gravitacional , e é a constante da mola . O deslocamento da mola de sua posição de equilíbrio assume a aproximação de pequeno ângulo . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle L (\ theta _ {2} - \ theta _ {1})}$

O Lagrangiano é então

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} mL ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} _ {1} ^ {2} + {\ dot { \ theta}} _ {2} ^ {2} \ right) -mgL (2- \ cos \ theta _ {1} - \ cos \ theta _ {2}) - {\ frac {1} {2}} kL ^ {2} (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) ^ {2}}$

o que leva ao seguinte conjunto de equações diferenciais acopladas:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ ddot {\ theta}} _ {1} + {\ frac {g} {L}} \ sin \ theta _ {1} + {\ frac {k} {m} } (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) & = 0 \\ {\ ddot {\ theta}} _ {2} + {\ frac {g} {L}} \ sin \ theta _ { 2} - {\ frac {k} {m}} (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) & = 0 \ end {alinhado}}}$

Adicionar e subtrair essas duas equações, por sua vez, e aplicar a aproximação de pequeno ângulo, dá duas equações do oscilador harmônico nas variáveis e : ${\ displaystyle \ theta _ {1} + \ theta _ {2}}$${\ displaystyle \ theta _ {1} - \ theta _ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ ddot {\ theta}} _ {1} + {\ ddot {\ theta}} _ {2} + {\ frac {g} {L}} (\ theta _ { 1} + \ theta _ {2}) & = 0 \\ {\ ddot {\ theta}} _ {1} - {\ ddot {\ theta}} _ {2} + \ left ({\ frac {g} {L}} + 2 {\ frac {k} {m}} \ right) (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) & = 0 \ end {alinhado}}}$

com as soluções correspondentes

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ theta _ {1} + \ theta _ {2} & = A \ cos (\ omega _ {1} t + \ alpha) \\\ theta _ {1} - \ theta _ {2} & = B \ cos (\ omega _ {2} t + \ beta) \ end {alinhado}}}$

Onde

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ omega _ {1} & = {\ sqrt {\ frac {g} {L}}} \\\ omega _ {2} & = {\ sqrt {{\ frac {g } {L}} + 2 {\ frac {k} {m}}}} \ end {alinhado}}}$

e , , , são constantes de integração . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Expressando as soluções em termos de e sozinho: ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {1} & = {\ frac {1} {2}} A \ cos (\ omega _ {1} t + \ alpha) + {\ frac {1} {2 }} B \ cos (\ omega _ {2} t + \ beta) \\\ theta _ {2} & = {\ frac {1} {2}} A \ cos (\ omega _ {1} t + \ alpha) - {\ frac {1} {2}} B \ cos (\ omega _ {2} t + \ beta) \ end {alinhado}}}$

Se os bobs não receberem um empurrão inicial, a condição exige , o que dá (após alguns rearranjos): ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {1} (0) = {\ dot {\ theta}} _ {2} (0) = 0}$${\ displaystyle \ alpha = \ beta = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A & = \ theta _ {1} (0) + \ theta _ {2} (0) \\ B & = \ theta _ {1} (0) - \ theta _ {2} (0) \ end {alinhado}}}$

Veja também

• Pêndulo de Blackburn
• Pêndulo cônico
• Pêndulo cicloidal
• Pêndulo duplo
• Pêndulo invertido
• Pêndulo de Kapitza
• Pêndulo de Rayleigh-Lorentz
• Pêndulo da mola
• Função Mathieu
• Equações do pêndulo (software)

Referências

Leitura adicional

• Baker, Gregory L .; Blackburn, James A. (2005). O Pêndulo: Um Estudo de Caso de Física (PDF) . Imprensa da Universidade de Oxford.
• Ochs, Karlheinz (2011). "Uma solução analítica abrangente do pêndulo não linear". European Journal of Physics . 32 (2): 479–490. Bibcode : 2011EJPh ... 32..479O . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 32/2/019 .
• Sala, Kenneth L. (1989). "Transformações da função de amplitude Jacobiana e seu cálculo via média aritmético-geométrica". SIAM J. Math. Anal . 20 (6): 1514–1528. doi : 10.1137 / 0520100 .

links externos

• Artigo do Mathworld sobre a função Mathieu