Número perfeito - Perfect number

Ilustração do status de número perfeito do número 6

Na teoria dos números , um número perfeito é um inteiro positivo que é igual à soma de seus divisores positivos , excluindo o próprio número. Por exemplo, 6 tem divisores 1, 2 e 3 (excluindo a si mesmo) e 1 + 2 + 3 = 6, então 6 é um número perfeito.

A soma dos divisores de um número, excluindo o próprio número, é chamada de sua soma de alíquota , portanto, um número perfeito é aquele que é igual à soma de sua alíquota. Equivalentemente, um número perfeito é um número que é a metade da soma de todos os seus divisores positivos, incluindo ele próprio; em símbolos, σ 1 ( n ) = 2 n onde σ 1 é a função da soma dos divisores . Por exemplo, 28 é perfeito como 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28.

Esta definição é antiga, aparecendo já nos Elementos de Euclides (VII.22), onde é chamada de τέλειος ἀριθμός (número perfeito , ideal ou completo ). Euclides também provou uma regra de formação (IX.36) pela qual é um número perfeito par sempre que é um primo da forma de inteiro positivo - o que agora é chamado de primo de Mersenne . Dois milênios depois, Leonhard Euler provou que todos os números pares perfeitos têm essa forma. Isso é conhecido como teorema de Euclides-Euler .

Não se sabe se existem números perfeitos ímpares, nem se existem infinitos números perfeitos. Os primeiros poucos números perfeitos são 6 , 28 , 496 e 8128 (sequência A000396 no OEIS ).

História

Em cerca de 300 aC Euclides mostrou que se 2 p  - 1 é primo, então 2 p −1 (2 p  - 1) é perfeito. Os primeiros quatro números perfeitos eram os únicos conhecidos pela matemática grega antiga , e o matemático Nicômaco notou 8128 já por volta de 100 dC. Na linguagem moderna, Nicômaco afirma sem prova que todo número perfeito tem a forma em que é primo. Ele parece não estar ciente de que n em si deve ser primo. Ele também diz (erroneamente) que os números perfeitos terminam em 6 ou 8 alternadamente. (Os primeiros 5 números perfeitos terminam com dígitos 6, 8, 6, 8, 6; mas o sexto também termina em 6.) Filo de Alexandria em seu livro do primeiro século "Sobre a criação" menciona números perfeitos, afirmando que o mundo foi criado em 6 dias e a lua orbita em 28 dias porque 6 e 28 são perfeitos. Filo é seguido por Orígenes e Dídimo, o Cego , que acrescenta a observação de que existem apenas quatro números perfeitos que são menos de 10.000. (Comentário sobre Gênesis 1. 14-19). Santo Agostinho define números perfeitos na Cidade de Deus (Livro XI, Capítulo 30) no início do século 5 DC, repetindo a afirmação de que Deus criou o mundo em 6 dias porque 6 é o menor número perfeito. O matemático egípcio Ismail ibn Fallūs (1194-1252) mencionou os próximos três números perfeitos (33.550.336; 8.589.869.056; e 137.438.691.328) e listou mais alguns que agora são conhecidos por estarem incorretos. A primeira menção europeia conhecida do quinto número perfeito é um manuscrito escrito entre 1456 e 1461 por um matemático desconhecido. Em 1588, o matemático italiano Pietro Cataldi identificou o sexto (8.589.869.056) e o sétimo (137.438.691.328) números perfeitos e também provou que todo número perfeito obtido da regra de Euclides termina com 6 ou 8.

Mesmo números perfeitos

Problema não resolvido em matemática :

Existem infinitos números perfeitos?

Euclides provou que 2 p −1 (2 p  - 1) é um número perfeito par sempre que 2 p  - 1 é primo (Elementos, Prop. IX.36).

Por exemplo, os primeiros quatro números perfeitos são gerados pela fórmula 2 p −1 (2 p  - 1), com p um número primo , como segue:

para p = 2: 2 1 (2 2  - 1) = 2 × 3 = 6
para p = 3: 2 2 (2 3  - 1) = 4 × 7 = 28
para p = 5: 2 4 (2 5  - 1) = 16 × 31 = 496
para p = 7: 2 6 (2 7  - 1) = 64 × 127 = 8128.

Os números primos da forma 2 p  - 1 são conhecidos como primos de Mersenne , em homenagem ao monge do século XVII Marin Mersenne , que estudou a teoria dos números e os números perfeitos. Para que 2 p  - 1 seja primo, é necessário que o próprio p seja primo. No entanto, nem todos os números da forma 2 p  - 1 com um p primo são primos; por exemplo, 2 11  - 1 = 2047 = 23 × 89 não é um número primo. Na verdade, os primos de Mersenne são muito raros - dos 2.610.944 números primos p até 43.112.609 , 2 p  - 1 é primo para apenas 47 deles.

Embora Nicômaco tenha declarado (sem prova) que todos os números perfeitos eram da forma onde é primo (embora ele tenha afirmado isso de forma um pouco diferente), Ibn al-Haytham (Alhazen) por volta de 1000 DC conjecturou apenas que todo número perfeito par é dessa forma. Foi só no século 18 que Leonhard Euler provou que a fórmula 2 p −1 (2 p  - 1) produzirá todos os números pares perfeitos. Assim, há uma correspondência um a um entre os números perfeitos pares e os primos de Mersenne; cada primo de Mersenne gera um número perfeito par e vice-versa. Este resultado é freqüentemente referido como teorema de Euclides-Euler .

Uma pesquisa exaustiva pelo projeto de computação distribuída GIMPS mostrou que os primeiros 48 números pares perfeitos são 2 p −1 (2 p  - 1) para

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 1254380100007, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 3243802657, sequência 5760100007 (571266667, 37601667 e 571266667, 3760166651, 3760166651, 4215669005166416616005 e 57601 664 561 664 561 664 561 664 561 664 sequência 576 641 6651, sequência no OEIS ).

Três números perfeitos mais altos também foram descobertos, a saber, aqueles para os quais p = 74207281, 77232917 e 82589933, embora possa haver outros dentro desta faixa. Em dezembro de 2018, 51 primos de Mersenne eram conhecidos e, portanto, 51 números pares perfeitos (o maior dos quais é 2 82589932 × (2 82589933  - 1) com 49.724.095 dígitos). Não se sabe se existem infinitos números perfeitos, nem se existem infinitos primos de Mersenne.

Além de ter a forma 2 p −1 (2 p  - 1), cada número perfeito par é o (2 p  - 1) º número triangular (e, portanto, igual à soma dos inteiros de 1 a 2 p  - 1 ) e o 2 p -1 th número hexagonal . Além disso, cada número perfeito par, exceto 6, é o ((2 p  + 1) / 3) o número não-diagonal centrado e é igual à soma dos primeiros 2 ( p −1) / 2 cubos ímpares:

Mesmo os números perfeitos (exceto 6) são da forma

com cada número triangular resultante T 7 = 28 , T 31 = 496 , T 127 = 8128 (depois de subtrair 1 do número perfeito e dividir o resultado por 9) terminando em 3 ou 5, a sequência começando com T 2 = 3 , T 10 = 55 , T 42 = 903, T 2730 = 3727815, ... Isso pode ser reformulado da seguinte forma: adicionando os dígitos de qualquer número perfeito par (exceto 6), então adicionando os dígitos do número resultante e repetindo este processo até que um único dígito (chamado de raiz digital ) seja obtido, sempre produz o número 1. Por exemplo, a raiz digital de 8128 é 1, porque 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 e 1 + 0 = 1. Isso funciona com todos os números perfeitos 2 p −1 (2 p  - 1) com primo ímpar p e, de fato, com todos os números da forma 2 m −1 (2 m  - 1) para inteiro ímpar (não necessariamente primo) m .

Devido à sua forma, 2 p −1 (2 p  - 1), todo número perfeito par é representado na forma binária como p uns seguidos por  p  - 1 zeros; por exemplo,

6 10 = 2 2 + 2 1 = 110 2 ,
28 10 = 2 4 + 2 3 + 2 2 = 11100 2 ,
496 10 = 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 = 111110000 2 , e
8128 10 = 2 12 + 2 11 + 2 10 + 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 = 1111111000000 2 .

Assim, todo número perfeito par é um número pernicioso .

Cada número perfeito par também é um número prático (cf. Conceitos relacionados ).

Números perfeitos ímpares

Problema não resolvido em matemática :

Existem números perfeitos ímpares?

Não se sabe se existem números perfeitos ímpares, embora vários resultados tenham sido obtidos. Em 1496, Jacques Lefèvre afirmou que a regra de Euclides fornece todos os números perfeitos, o que implica que nenhum número perfeito ímpar existe. Euler afirmou: "Se ... existem números perfeitos ímpares, é uma questão muito difícil". Mais recentemente, Carl Pomerance apresentou um argumento heurístico sugerindo que, de fato, nenhum número perfeito ímpar deveria existir. Todos os números perfeitos também são números harmônicos de minério , e também foi conjecturado que não há números harmônicos ímpares de minério além de 1.

Qualquer número perfeito ímpar N deve satisfazer as seguintes condições:

  • N > 10 1.500 .
  • N não é divisível por 105.
  • N está na forma N ≡ 1 (mod 12) ou N ≡ 117 (mod 468) ou N ≡ 81 (mod 324).
  • N é da forma
Onde:
  • qp 1 , ...,  p k são primos ímpares distintos (Euler).
  • q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
  • O menor fator primo de N é no máximo
  • Ou q α  > 10 62 , ou p j 2 e j  > 10 62 para algum j .
  • .
  • .
  • O maior fator principal de N é maior que 10 8 e menor que
  • O segundo maior fator primo é maior que 10 4 e é menor que .
  • O terceiro maior fator principal é maior que 100.
  • N tem pelo menos 101 fatores primos e pelo menos 10 fatores primos distintos. Se 3 não for um dos fatores de N , então N tem pelo menos 12 fatores primos distintos.

Além disso, vários resultados secundários são conhecidos sobre os expoentes e 1 , ...,  e k .

  • Nem todos e i  ≡ 1 ( mod 3).
  • Nem todos e i  ≡ 2 ( mod 5).
  • Se todo e i  ≡ 1 ( mod 3) ou 2 ( mod 5), então o menor fator primo de N deve estar entre 10 8 e 10 1000 .
  • De modo mais geral, se todos os 2 e i um tem um factor primordial em um dado conjunto finito S , em seguida, o menor factor primo de N deve ser menor do que uma constante calculável eficazmente dependendo apenas S .
  • Se ( e 1 , ...,  e k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) com t uns e u dois, então .
  • ( e 1 , ...,  e k ) ≠ (1, ..., 1, 3), (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).
  • Se e 1 = ... = e k = e , então
    • e não pode ser 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 ou 18.
    • e .

Em 1888, Sylvester afirmou:

... uma meditação prolongada sobre o assunto me convenceu de que a existência de qualquer um desses [número perfeito ímpar] - sua fuga, por assim dizer, da complexa teia de condições que o cercam por todos os lados - seria um pouco curta de um milagre.

Muitas das propriedades comprovadas sobre os números perfeitos ímpares também se aplicam aos números de Descartes , e Pace Nielsen sugeriu que o estudo suficiente desses números pode levar a uma prova de que não existem números perfeitos ímpares.

Resultados menores

Todos os números pares perfeitos têm uma forma muito precisa; os números perfeitos ímpares não existem ou são raros. Existem vários resultados com números perfeitos que são na verdade muito fáceis de provar, mas ainda assim superficialmente impressionantes; alguns deles também estão sob a forte lei dos pequenos números de Richard Guy :

  • O único número perfeito par da forma x 3  + 1 é 28 ( Makowski 1962 ).
  • 28 também é o único número perfeito par que é uma soma de dois cubos de inteiros positivos ( Gallardo 2010 ).
  • Os recíprocos dos divisores de um número perfeito N devem somar 2 (para conseguir isso, tome a definição de um número perfeito , e divida ambos os lados por n ):
    • Para 6, temos ;
    • Para 28, temos , etc.
  • O número de divisores de um número perfeito (par ou ímpar) deve ser par, porque N não pode ser um quadrado perfeito.
  • Os números pares perfeitos não são números trapezoidais ; ou seja, eles não podem ser representados como a diferença de dois números triangulares não consecutivos positivos . Existem apenas três tipos de números não trapezoidais: números perfeitos pares, potências de dois e os números da forma formados como o produto de um primo de Fermat com uma potência de dois de maneira semelhante à construção de números perfeitos pares de Mersenne primos.
  • O número de números perfeitos menor que n é menor que , onde c > 0 é uma constante. Na verdade, é , usando a notação pouco-o .
  • Todo número perfeito par termina em 6 ou 28, base dez; e, com a única exceção de 6, termina em 1, base 9. Portanto, em particular, a raiz digital de cada número perfeito par diferente de 6 é 1.
  • O único número perfeito sem quadrados é 6.

Conceitos relacionados

A soma dos divisores apropriados fornece vários outros tipos de números. Números em que a soma é menor que o próprio número são chamados de deficientes , e onde é maior que o número, abundantes . Esses termos, junto com o próprio perfeito , vêm da numerologia grega . Um par de números que são a soma dos divisores próprios um do outro é chamado de amigável , e ciclos maiores de números são chamados de sociável . Um número inteiro positivo, de modo que cada número inteiro positivo menor é uma soma de divisores distintos, é um número prático .

Por definição, um número perfeito é um ponto fixo da função divisora ​​restrita s ( n ) = σ ( n ) - n , e a sequência de alíquota associada a um número perfeito é uma sequência constante. Todos os números perfeitos também são números perfeitos, ou números de Granville .

Um número semiperfeito é um número natural que é igual à soma de todos ou alguns de seus divisores próprios. Um número semiperfeito que é igual à soma de todos os seus divisores próprios é um número perfeito. Os números mais abundantes também são semiperfeitos; números abundantes que não são semiperfeitos são chamados de números estranhos .

Veja também

Notas

Referências

  • Euclides, Elements , Book IX, Proposition 36. Veja o site de DE Joyce para uma tradução e discussão desta proposição e sua prova.
  • Kanold, H.-J. (1941). "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 183 : 98–109.
  • Steuerwald, R. "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl". S.-B. Bayer. Akad. Wiss . 1937 : 69–72.

Leitura adicional

links externos