conjunto de propriedades Perfect - Perfect set property

Em teoria descritiva de conjuntos , um subconjunto de um espaço polonês tem a propriedade conjunto perfeito se ele é ou contável ou tem uma nonempty perfeito subconjunto (Kechris 1995, p. 150). Tendo a propriedade conjunto perfeito não é a mesma propriedade de um subconjunto como sendo um conjunto perfeito .

Como conjunto perfeito não vazios em um espaço Polish sempre tem a cardinalidade do continuum , um conjunto com a propriedade conjunto perfeito não pode ser um contra-exemplo para a hipótese do contínuo , expressa na forma que cada conjunto incontável de reais tem a cardinalidade do continuum.

Os teorema Cantor-Bendixson estados que conjuntos fechados de um espaço Polish X tem a propriedade conjunto perfeito de uma forma particularmente forte; qualquer conjunto fechado C pode ser escrita de forma única como a união disjuntos de um conjunto perfeito P e um conjunto contáveis S . Assim, segue-se que cada subconjunto fechado de um espaço polonês tem a propriedade conjunto perfeito. Em particular, cada espaço Polish incontável tem a propriedade conjunto perfeito, e pode ser escrito como a união disjunta de um conjunto perfeito e um conjunto aberto contáveis.

O axioma da escolha implica a existência de conjuntos de reais que não têm a propriedade conjunto perfeito, tais como conjuntos de Bernstein . No entanto, no modelo de Solovay , que satisfaz todos os axiomas de ZF, mas não o axioma da escolha, cada conjunto de reais tem a propriedade conjunto perfeito, de modo que o uso do axioma da escolha é necessária. Cada conjunto analítica tem a propriedade conjunto perfeito. Decorre a existência de suficientemente grandes cardeais que cada conjunto projetivo tem a propriedade conjunto perfeito.

Referências

  • Kechris, AS (1995), Classical descritiva Teoria dos Conjuntos , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN  978-1-4612-8692-9