Rotação - Rotation

Uma esfera girando (girando) em torno de um eixo

Rotação é o movimento circular de um objeto em torno de um eixo de rotação . Um objeto tridimensional pode ter um número infinito de eixos de rotação.

Se o eixo de rotação passa internamente pelo centro de massa do próprio corpo, diz-se que o corpo está girando ou girando automaticamente , e a interseção da superfície do eixo pode ser chamada de pólo . Uma rotação em torno de um eixo completamente externo, por exemplo, o planeta Terra ao redor do Sol , é chamada de rotação ou órbita , normalmente quando é produzida pela gravidade , e as extremidades do eixo de rotação podem ser chamadas de pólos orbitais .

Matemática

Rotação ( deslocamento angular ) de uma figura plana em torno de um ponto
Órbita Rotacional v Spin
Relações entre eixo de rotação, plano de órbita e inclinação axial (para a Terra).

Matematicamente , uma rotação é um movimento de corpo rígido que, ao contrário de uma translação , mantém um ponto fixo. Esta definição se aplica a rotações em duas e três dimensões (em um plano e no espaço, respectivamente).

Todos os movimentos do corpo rígido são rotações, translações ou combinações dos dois.

Uma rotação é simplesmente uma orientação radial progressiva para um ponto comum. Esse ponto comum está dentro do eixo desse movimento. O eixo é 90 graus perpendicular ao plano do movimento. Se o eixo de rotação estiver externo ao corpo em questão, o corpo está em órbita. Não há diferença fundamental entre uma “rotação” e uma “órbita” e / ou “giro”. A principal distinção é simplesmente onde está o eixo de rotação, dentro ou fora de um corpo em questão. Esta distinção pode ser demonstrada para corpos “rígidos” e “não rígidos”.

Se uma rotação em torno de um ponto ou eixo for seguida por uma segunda rotação em torno do mesmo ponto / eixo, resultará em uma terceira rotação. O reverso ( inverso ) de uma rotação também é uma rotação. Assim, as rotações em torno de um ponto / eixo formam um grupo . No entanto, uma rotação em torno de um ponto ou eixo e uma rotação em torno de um ponto / eixo diferente pode resultar em algo diferente de uma rotação, por exemplo, uma translação.

As rotações em torno dos eixos x , y e z são chamadas de rotações principais . A rotação em torno de qualquer eixo pode ser realizada fazendo uma rotação em torno do eixo x , seguida por uma rotação em torno do eixo y e seguida por uma rotação em torno do eixo z . Ou seja, qualquer rotação espacial pode ser decomposta em uma combinação de rotações principais.

Na dinâmica de vôo , os principais rotações são conhecidos como guinada , arremesso , e rolo (conhecido como ângulos de Tait-Bryan ). Essa terminologia também é usada em computação gráfica .

Astronomia

Rastros de estrelas causados ​​pela rotação da Terra durante o longo tempo de exposição da câmera .

Em astronomia , a rotação é um fenômeno comumente observado. Estrelas , planetas e corpos semelhantes giram sobre seus eixos. A taxa de rotação dos planetas no sistema solar foi medida pela primeira vez rastreando recursos visuais. A rotação estelar é medida por meio do deslocamento Doppler ou rastreando recursos de superfície ativa.

Essa rotação induz uma aceleração centrífuga no referencial da Terra que contrabalança ligeiramente o efeito da gravitação quanto mais próximo estiver do equador . A gravidade da Terra combina os dois efeitos de massa de forma que um objeto pesa um pouco menos no equador do que nos pólos. Outra é que com o tempo a Terra é ligeiramente deformada em um esferóide achatado ; uma protuberância equatorial semelhante se desenvolve para outros planetas.

Outra consequência da rotação de um planeta é o fenômeno da precessão . Como um giroscópio , o efeito geral é uma leve "oscilação" no movimento do eixo de um planeta. Atualmente a inclinação do eixo da Terra em relação ao seu plano orbital ( obliquidade da eclíptica ) é de 23,44 graus, mas esse ângulo muda lentamente (ao longo de milhares de anos). (Veja também Precessão dos equinócios e Estrela Polar .)

Rotação e revolução

Embora revolução seja frequentemente usada como sinônimo de rotação, em muitos campos, particularmente astronomia e campos relacionados, revolução, muitas vezes referida como revolução orbital para maior clareza, é usada quando um corpo se move em torno de outro, enquanto a rotação é usada para significar o movimento em torno de um eixo. As luas giram em torno de seu planeta, os planetas giram em torno de sua estrela (como a Terra ao redor do Sol); e as estrelas giram lentamente em torno de seu centro galaxial . O movimento dos componentes das galáxias é complexo, mas geralmente inclui um componente de rotação.

Rotação retrógrada

A maioria dos planetas em nosso sistema solar , incluindo a Terra , gira na mesma direção em que orbitam o sol . As exceções são Vênus e Urano . Pode-se pensar que Vênus está girando lentamente para trás (ou "de cabeça para baixo"). Urano gira quase de lado em relação à sua órbita. A especulação atual é que Urano começou com uma orientação prógrada típica e foi derrubado por um grande impacto no início de sua história. O planeta anão Plutão (anteriormente considerado um planeta) é anômalo de várias maneiras, incluindo que também gira em seu lado.

Física

A velocidade de rotação é dada pela frequência angular (rad / s) ou frequência ( voltas por tempo), ou período (segundos, dias, etc.). A taxa de variação da frequência angular no tempo é a aceleração angular (rad / s²), causada pelo torque . A proporção dos dois (quão pesado é para iniciar, parar ou alterar a rotação) é dada pelo momento de inércia .

O vetor de velocidade angular (um vetor axial ) também descreve a direção do eixo de rotação. Da mesma forma, o torque é um vetor axial.

A física da rotação em torno de um eixo fixo é matematicamente descrita com a representação do ângulo do eixo das rotações. De acordo com a regra da mão direita , a direção para longe do observador está associada com a rotação no sentido horário e a direção para o observador com a rotação no sentido anti-horário, como um parafuso .

Princípio cosmológico

As leis da física são acreditados atualmente para ser invariante sob qualquer rotação fixa . (Embora pareçam mudar quando vistos de um ponto de vista giratório: consulte o quadro de referência giratório .)

Na cosmologia física moderna, o princípio cosmológico é a noção de que a distribuição da matéria no universo é homogênea e isotrópica quando vista em uma escala grande o suficiente, uma vez que se espera que as forças atuem uniformemente em todo o universo e não tenham direção preferencial, e deveriam , portanto, não produzem irregularidades observáveis ​​na estruturação em grande escala ao longo da evolução do campo de matéria que foi inicialmente estabelecido pelo Big Bang.

Em particular, para um sistema que se comporta da mesma forma, independentemente de como é orientado no espaço, seu Lagrangiano é rotacionalmente invariável. De acordo com o teorema de Noether , se a ação (a integral ao longo do tempo de seu Lagrangiano) de um sistema físico é invariante sob rotação, então o momento angular é conservado .

Rotações de Euler

Rotações de Euler da Terra. Intrínseco (verde), Precessão (azul) e Nutação (vermelho)

As rotações de Euler fornecem uma descrição alternativa de uma rotação. É uma composição de três rotações definidas como o movimento obtido pela mudança de um dos ângulos de Euler , deixando os outros dois constantes. As rotações de Euler nunca são expressas em termos da moldura externa, ou em termos da moldura do corpo girado co-móvel, mas em uma mistura. Eles constituem um sistema de eixos mistos de rotação, onde o primeiro ângulo move a linha de nós em torno do eixo externo z , o segundo gira em torno da linha de nós e o terceiro é uma rotação intrínseca em torno de um eixo fixo no corpo que se move.

Essas rotações são chamadas de precessão , nutação e rotação intrínseca .

Dinâmica de vôo

Os principais eixos de rotação no espaço

Na dinâmica de vôo , as principais rotações descritas com os ângulos de Euler acima são conhecidas como pitch , roll e yaw . O termo rotação também é usado na aviação para se referir à inclinação para cima (o nariz se move para cima) de uma aeronave, particularmente ao iniciar a subida após a decolagem.

As rotações principais têm a vantagem de modelar vários sistemas físicos, como cardan e joysticks , portanto, são facilmente visualizados e são uma forma muito compacta de armazenar uma rotação. Mas eles são difíceis de usar em cálculos, pois mesmo operações simples, como combinar rotações, são caras e sofrem de uma forma de bloqueio de cardan, em que os ângulos não podem ser calculados exclusivamente para certas rotações.

Passeios de diversão

Muitos passeios de diversão fornecem rotação. Uma roda gigante tem um eixo central horizontal, e eixos paralelos para cada gôndola, onde a rotação é oposta, por gravidade ou mecanicamente. Como resultado, a qualquer momento a orientação da gôndola é vertical (não girada), apenas transladada. A ponta do vetor de translação descreve um círculo. Um carrossel fornece rotação em torno de um eixo vertical. Muitos passeios fornecem uma combinação de rotações em torno de vários eixos. Em Chair-O-Planes, a rotação em torno do eixo vertical é fornecida mecanicamente, enquanto a rotação em torno do eixo horizontal é devida à força centrípeta . Em inversões de montanha-russa, a rotação em torno do eixo horizontal é um ou mais ciclos completos, onde a inércia mantém as pessoas em seus assentos.

Esportes

A rotação de uma bola ou outro objeto, geralmente chamado de spin , desempenha um papel em muitos esportes, incluindo topspin e backspin no tênis , inglês , follow and draw no bilhar e sinuca , curve balls no beisebol , spin bowling no críquete , esportes de disco voador , etc. As pás de tênis de mesa são fabricadas com diferentes características de superfície para permitir ao jogador dar uma maior ou menor rotação à bola.

A rotação de um jogador uma ou mais vezes em torno de um eixo vertical pode ser chamada de giro na patinação artística , giro (do bastão ou do artista) no giro do bastão ou 360 , 540 , 720 , etc. no snowboard , etc. Rotação de um jogador ou artista uma ou mais vezes em torno de um eixo horizontal pode ser chamado de flip , roll , cambalhota , heli , etc. na ginástica , esqui aquático ou muitos outros esportes, ou um e meio , dois e um -meio , gainer (começando de costas para a água), etc. no mergulho , etc. Uma combinação de rotação vertical e horizontal (back flip com 360 °) é chamada de möbius no salto de estilo livre de esqui aquático .

A rotação de um jogador em torno de um eixo vertical, geralmente entre 180 e 360 ​​graus, pode ser chamada de movimento de rotação e é usada como uma manobra enganosa ou evasiva, ou na tentativa de jogar, passar ou receber uma bola ou disco, etc. , ou para permitir a um jogador uma visão do gol ou de outros jogadores. É frequentemente visto no hóquei , basquete , futebol de vários códigos, tênis , etc.

Eixo fixo vs. ponto fixo

O resultado final de qualquer sequência de rotações de qualquer objeto em 3D em torno de um ponto fixo é sempre equivalente a uma rotação em torno de um eixo. No entanto, um objeto pode girar fisicamente em 3D em torno de um ponto fixo em mais de um eixo simultaneamente, caso em que não há um único eixo fixo de rotação - apenas o ponto fixo. No entanto, essas duas descrições podem ser reconciliadas - tal movimento físico sempre pode ser re-descrito em termos de um único eixo de rotação, desde que a orientação desse eixo em relação ao objeto possa mudar a cada momento.

Eixo de rotações bidimensionais

As rotações bidimensionais, ao contrário das rotações tridimensionais, não possuem eixo de rotação. Isso equivale, para transformações lineares, a dizer que não há direção no lugar que é mantida inalterada por uma rotação bidimensional, exceto, é claro, a identidade.

A questão da existência de tal direção é a questão da existência de um autovetor para a matriz A que representa a rotação. Cada rotação 2D em torno da origem através de um ângulo no sentido anti-horário pode ser simplesmente representada pela seguinte matriz:

Uma determinação de autovalor padrão leva à equação característica

,

que tem

como seus autovalores. Portanto, não há autovalor real sempre , o que significa que nenhum vetor real no plano é mantido inalterado por A.

Ângulo de rotação e eixo em 3 dimensões

Sabendo que o traço é invariante, o ângulo de rotação para uma matriz de rotação ortogonal 3x3 adequada é encontrado por

Usando o arco-cosseno principal, esta fórmula fornece um ângulo de rotação satisfatório . O eixo de rotação correspondente deve ser definido para apontar em uma direção que limite o ângulo de rotação para não exceder 180 graus. (Isso sempre pode ser feito porque qualquer rotação de mais de 180 graus em torno de um eixo sempre pode ser escrita como uma rotação se o eixo for substituído por .)

Cada rotação adequada no espaço 3D tem um eixo de rotação, que é definido de forma que qualquer vetor alinhado com o eixo de rotação não seja afetado pela rotação. Consequentemente ,, e o eixo de rotação, portanto, corresponde a um autovetor da matriz de rotação associado a um autovalor de 1. Enquanto o ângulo de rotação for diferente de zero (ou seja, a rotação não é o tensor de identidade), existe um e apenas um tal direção. Como A tem apenas componentes reais, há pelo menos um autovalor real e os dois autovalores restantes devem ser complexos conjugados entre si (consulte Autovalores e autovetores # Autovalores e o polinômio característico ). Sabendo que 1 é um autovalor, segue-se que os dois autovalores restantes são complexos conjugados um do outro, mas isso não implica que sejam complexos - eles poderiam ser reais com dupla multiplicidade. No caso degenerado de um ângulo de rotação , os dois autovalores restantes são ambos iguais a -1. No caso degenerado de um ângulo de rotação zero, a matriz de rotação é a identidade e todos os três valores próprios são 1 (que é o único caso para o qual o eixo de rotação é arbitrário).

Não é necessária uma análise espectral para encontrar o eixo de rotação. Se denota o autovetor unitário alinhado com o eixo de rotação, e se denota o ângulo de rotação, então isso pode ser mostrado . Consequentemente, o gasto de uma análise de autovalor pode ser evitado simplesmente normalizando esse vetor se ele tiver uma magnitude diferente de zero. Por outro lado, se esse vetor tiver magnitude zero, isso significa que sim . Em outras palavras, este vetor será zero se e somente se o ângulo de rotação for 0 ou 180 graus, e o eixo de rotação pode ser atribuído, neste caso, normalizando qualquer coluna de magnitude diferente de zero.

Esta discussão se aplica a uma rotação adequada e, portanto . Qualquer matriz 3x3 ortogonal imprópria pode ser escrita como , em que é ortogonal adequada. Ou seja, qualquer matriz ortogonal 3x3 imprópria pode ser decomposta como uma rotação adequada (a partir da qual um eixo de rotação pode ser encontrado conforme descrito acima) seguida por uma inversão (multiplicação por -1). Segue-se que o eixo de rotação de também é o autovetor de correspondendo a um autovalor de -1.

Plano de rotação

Assim como toda rotação tridimensional tem um eixo de rotação, também toda rotação tridimensional possui um plano, que é perpendicular ao eixo de rotação e que é deixado invariante pela rotação. A rotação, restrita a este plano, é uma rotação 2D comum.

A prova procede de maneira semelhante à discussão acima. Primeiro, suponha que todos os autovalores da matriz de rotação 3D A sejam reais. Isso significa que existe uma base ortogonal, formada pelos autovetores correspondentes (que são necessariamente ortogonais), sobre a qual o efeito da matriz de rotação é apenas alongá-la. Se escrevermos A nesta base, é diagonal; mas uma matriz ortogonal diagonal é feita de apenas + 1s e -1s nas entradas diagonais. Portanto, não temos uma rotação adequada, mas sim a identidade ou o resultado de uma sequência de reflexos.

Segue-se, então, que uma rotação adequada tem algum autovalor complexo. Seja v o autovetor correspondente. Então, como mostramos no tópico anterior, é também um autovetor e é tal que seu produto escalar desaparece:

porque, por ser real, é igual a seu conjugado complexo , e e são ambas representações do mesmo produto escalar entre e .

Isso significa e são vetores ortogonais. Além disso, ambos são vetores reais por construção. Esses vetores abrangem o mesmo subespaço que e , que é um subespaço invariante sob a aplicação de A. Portanto, eles abrangem um plano invariante.

Este plano é ortogonal ao eixo invariante, que corresponde ao autovetor remanescente de A, com autovalor 1, devido à ortogonalidade dos autovetores de A.

Veja também

Referências

links externos