Teoria de perturbação - Perturbation theory

Na matemática e na matemática aplicada , a teoria das perturbações compreende métodos para encontrar uma solução aproximada para um problema, partindo da solução exata de um problema relacionado mais simples. Uma característica crítica da técnica é uma etapa intermediária que divide o problema em partes "solucionáveis" e "perturbativas". Na teoria das perturbações, a solução é expressa como uma série de potências em um pequeno parâmetro . O primeiro termo é a solução conhecida para o problema solucionável. Os termos sucessivos da série em potências superiores geralmente tornam-se menores. Uma 'solução de perturbação' aproximada é obtida truncando a série, geralmente mantendo apenas os dois primeiros termos, a solução para o problema conhecido e a correção de perturbação de 'primeira ordem'.

A teoria de perturbação é usada em uma ampla gama de campos e atinge suas formas mais sofisticadas e avançadas na teoria quântica de campos . A teoria das perturbações (mecânica quântica) descreve o uso deste método na mecânica quântica . O campo em geral permanece ativa e pesadamente pesquisado em várias disciplinas.

Descrição

A teoria da perturbação desenvolve uma expressão para a solução desejada em termos de uma série de potências formal conhecida como uma série de perturbação em algum parâmetro "pequeno", que quantifica o desvio do problema exatamente solucionável. O termo principal nesta série de potências é a solução do problema exatamente solucionável, enquanto outros termos descrevem o desvio na solução, devido ao desvio do problema inicial. Formalmente, temos para a aproximação da solução completa A , uma série no pequeno parâmetro (aqui chamado de ε ), como a seguir:

Neste exemplo, A 0 seria a solução conhecida para o problema inicial exatamente solucionável e A 1 , A 2 , ... representam os termos de primeira ordem , segunda ordem e ordem superior , que podem ser encontrados iterativamente por um mecanismo procedimento. Para ε pequeno, esses termos de ordem superior na série geralmente (mas nem sempre) tornam-se sucessivamente menores. Uma "solução perturbativa" aproximada é obtida truncando a série, muitas vezes mantendo apenas os dois primeiros termos, expressando a solução final como uma soma da solução inicial (exata) e a correção perturbativa de "primeira ordem"

Alguns autores usam a notação O grande para indicar a ordem do erro na solução aproximada: .

Se a série de potências em ε converge com um raio de convergência diferente de zero, o problema de perturbação é chamado de problema de perturbação regular . Em problemas de perturbação regulares, a solução assintótica se aproxima suavemente da solução exata. No entanto, a série de perturbações também pode divergir, e a série truncada ainda pode ser uma boa aproximação da solução verdadeira se for truncada em um ponto em que seus elementos são mínimos. Isso é chamado de série assintótica . Se a série de perturbações é divergente ou não é uma série de potências (por exemplo, a expansão assintótica tem potências não inteiras ou potências negativas ), então o problema de perturbação é chamado de problema de perturbação singular . Muitas técnicas especiais em teoria de perturbação foram desenvolvidas para analisar problemas de perturbação singulares.

Exemplo prototípico

O primeiro uso do que agora seria chamado de teoria da perturbação foi para lidar com os problemas matemáticos insolúveis da mecânica celeste : por exemplo, a órbita da Lua , que se move visivelmente diferente de uma elipse Kepleriana simples por causa da gravitação competitiva da Terra e o sol .

Os métodos de perturbação começam com uma forma simplificada do problema original, que é simples o suficiente para ser resolvido com exatidão. Na mecânica celeste , geralmente é uma elipse Kepleriana . Sob a gravidade newtoniana , uma elipse é exatamente correta quando há apenas dois corpos gravitando (digamos, a Terra e a Lua ), mas não é totalmente correta quando há três ou mais objetos (digamos, a Terra, a Lua , o Sol e o resto do o sistema solar ) e não totalmente correto quando a interação gravitacional é declarada usando formulações da relatividade geral .

Expansão perturbativa

Mantendo o exemplo acima em mente, segue-se uma receita geral para obter a série de perturbações. A expansão perturbativa é criada adicionando correções sucessivas ao problema simplificado. As correções são obtidas forçando a consistência entre a solução não perturbada e as equações que descrevem o sistema por completo. Escreva para esta coleção de equações; isto é, deixe o símbolo substituir o problema a ser resolvido. Muitas vezes, essas são equações diferenciais, portanto, a letra "D".

O processo é geralmente mecânico, embora trabalhoso. Começa-se escrevendo as equações de modo que elas se dividam em duas partes: alguma coleção de equações que podem ser resolvidas exatamente, e algumas partes restantes adicionais para outras pequenas . A solução (para ) é conhecida e busca-se a solução geral para .

Em seguida, a aproximação é inserida em . Isso resulta em uma equação para , que, no caso geral, pode ser escrita na forma fechada como uma soma sobre integrais over . Assim, obteve -se a correção de primeira ordem e, portanto, é uma boa aproximação para . É uma boa aproximação, justamente porque as partes que foram ignoradas eram de tamanho . O processo pode então ser repetido para obter correções e assim por diante.

Na prática, esse processo explode rapidamente em uma profusão de termos, que se tornam extremamente difíceis de gerenciar manualmente. Diz-se que Isaac Newton disse, a respeito do problema da órbita da Lua , que "faz minha cabeça doer". Essa incontrolabilidade forçou a teoria da perturbação a se desenvolver em uma grande arte de gerenciar e escrever esses termos de ordem superior. Um dos avanços fundamentais para controlar a expansão são os diagramas de Feynman , que permitem que as séries de perturbações sejam escritas em diagrama.

Exemplos

A teoria da perturbação tem sido usada em um grande número de configurações diferentes na física e na matemática aplicada. Exemplos da "coleção de equações" incluem equações algébricas , equações diferenciais (por exemplo, as equações de movimento e comumente equações de onda ), energia livre termodinâmica em mecânica estatística , transferência radiativa e operadores hamiltonianos em mecânica quântica .

Exemplos dos tipos de soluções encontradas perturbativamente incluem a solução da equação ( por exemplo , a trajetória de uma partícula), a média estatística de alguma quantidade física ( por exemplo , magnetização média), a energia do estado fundamental de um problema de mecânica quântica.

Exemplos de problemas exatamente solucionáveis ​​que podem ser usados ​​como pontos de partida incluem equações lineares , incluindo equações lineares de movimento ( oscilador harmônico , equação de onda linear ), sistemas estatísticos ou mecânicos quânticos de partículas não interagentes (ou, em geral, hamiltonianos ou energias livres contendo apenas termos quadráticos em todos os graus de liberdade).

Exemplos de sistemas que podem ser resolvidos com perturbações incluem sistemas com contribuições não lineares para as equações de movimento, interações entre partículas, termos de potências mais altas no hamiltoniano / energia livre.

Para problemas físicos envolvendo interações entre partículas, os termos da série de perturbações podem ser exibidos (e manipulados) usando diagramas de Feynman .

História

A teoria da perturbação foi concebida pela primeira vez para resolver problemas de outra forma intratáveis no cálculo dos movimentos dos planetas no sistema solar. Por exemplo, a lei da gravitação universal de Newton explicava a gravitação entre dois corpos astronômicos, mas quando um terceiro corpo é adicionado, o problema era: "Como cada corpo puxa cada um?" A equação de Newton só permitiu a análise da massa de dois corpos. O aumento gradual da precisão das observações astronômicas levou a demandas incrementais na precisão das soluções para as equações gravitacionais de Newton, o que levou vários matemáticos notáveis ​​dos séculos 18 e 19, como Lagrange e Laplace , a estender e generalizar os métodos da teoria de perturbação.

Esses métodos de perturbação bem desenvolvidos foram adotados e adaptados para resolver novos problemas que surgiram durante o desenvolvimento da mecânica quântica na física atômica e subatômica do século XX. Paul Dirac desenvolveu a teoria da perturbação quântica em 1927 para avaliar quando uma partícula seria emitida em elementos radioativos. Mais tarde, isso foi chamado de regra de ouro de Fermi . A teoria da perturbação na mecânica quântica é bastante acessível, pois a notação quântica permite que as expressões sejam escritas de forma bastante compacta, tornando-as mais fáceis de compreender. Isso resultou em uma explosão de aplicações, variando do efeito Zeeman à divisão hiperfina no átomo de hidrogênio .

Apesar da notação mais simples, a teoria de perturbação aplicada à teoria quântica de campos ainda sai facilmente do controle. Richard Feynman desenvolveu os célebres diagramas de Feynman observando que muitos termos se repetem de maneira regular. Esses termos podem ser substituídos por pontos, linhas, rabiscos e marcas semelhantes, cada um representando um termo, um denominador, uma integral e assim por diante; assim, integrais complexos podem ser escritos como diagramas simples, sem absolutamente nenhuma ambigüidade quanto ao que significam. A correspondência um a um entre os diagramas e integrais específicos é o que lhes dá poder. Embora originalmente desenvolvido para a teoria quântica de campos, verifica-se que a técnica diagramática é amplamente aplicável a todas as séries perturbativas (embora, talvez, nem sempre seja tão útil).

Na segunda metade do século 20, com o desenvolvimento da teoria do caos , tornou-se claro que os sistemas não perturbados eram, em geral , sistemas completamente integráveis , ao passo que os sistemas perturbados não. Isso prontamente levou ao estudo de "sistemas quase integráveis", dos quais o toro KAM é o exemplo canônico. Ao mesmo tempo, também foi descoberto que muitos sistemas não lineares (bastante especiais) , que antes eram acessíveis apenas por meio da teoria de perturbação, são de fato completamente integráveis. Essa descoberta foi bastante dramática, pois permitiu que soluções exatas fossem fornecidas. Isso, por sua vez, ajudou a esclarecer o significado da série perturbativa, já que agora era possível comparar os resultados das séries com as soluções exatas.

O melhor entendimento dos sistemas dinâmicos provenientes da teoria do caos ajudou a lançar luz sobre o que foi denominado problema do pequeno denominador ou problema do pequeno divisor . Foi observado no século 19 (por Poincaré , e talvez antes), que às vezes os termos de 2ª ordem e superiores nas séries perturbativas têm "pequenos denominadores". Ou seja, eles têm a forma geral onde , e são algumas expressões complicadas pertinentes ao problema a ser resolvido, e e são números reais; muitas vezes, eles são a energia dos modos normais . O problema do pequeno divisor surge quando a diferença é pequena, fazendo com que a correção perturbativa exploda, tornando-se tão grande ou talvez maior que o termo da ordem zero. Esta situação sinaliza um colapso da teoria de perturbação: ela para de funcionar neste ponto e não pode ser expandida ou somada mais. Em termos formais, a série perturbativa é uma série assintótica : uma aproximação útil para alguns termos, mas, em última análise, inexata. O avanço da teoria do caos foi uma explicação de por que isso aconteceu: os pequenos divisores ocorrem sempre que a teoria da perturbação é aplicada a um sistema caótico. Um sinaliza a presença do outro.

Início no estudo do movimento planetário

Como os planetas estão muito distantes uns dos outros e como sua massa é pequena em comparação com a massa do Sol, as forças gravitacionais entre os planetas podem ser desprezadas e o movimento planetário é considerado, em uma primeira aproximação, como ocorrendo ao longo das órbitas de Kepler, que são definidas pelas equações do problema dos dois corpos, sendo os dois corpos o planeta e o sol.

Como os dados astronômicos passaram a ser conhecidos com muito mais precisão, tornou-se necessário considerar como o movimento de um planeta ao redor do Sol é afetado por outros planetas. Essa foi a origem do problema dos três corpos ; assim, ao estudar o sistema Lua-Terra-Sol, a razão de massa entre a Lua e a Terra foi escolhida como o pequeno parâmetro. Lagrange e Laplace foram os primeiros a adiantar a ideia de que as constantes que descrevem o movimento de um planeta em torno do Sol são "perturbadas", por assim dizer, pelo movimento de outros planetas e variam em função do tempo; daí o nome "teoria das perturbações".

A teoria da perturbação foi investigada pelos estudiosos clássicos - Laplace , Poisson , Gauss - e como resultado os cálculos puderam ser realizados com uma precisão muito alta. A descoberta do planeta Netuno em 1848 por Urbain Le Verrier , com base nos desvios do movimento do planeta Urano (ele enviou as coordenadas para Johann Gottfried Galle que observou Netuno com sucesso através de seu telescópio), representou um triunfo da teoria da perturbação.

Ordens de perturbação

A exposição padrão da teoria de perturbação é dada em termos da ordem em que a perturbação é realizada: teoria de perturbação de primeira ordem ou teoria de perturbação de segunda ordem, e se os estados perturbados são degenerados, o que requer perturbação singular . No caso singular, deve-se tomar cuidado extra, e a teoria é um pouco mais elaborada.

Em quimica

Muitos dos métodos ab initio da química quântica usam a teoria das perturbações diretamente ou são métodos intimamente relacionados. A teoria de perturbação implícita funciona com o hamiltoniano completo desde o início e nunca especifica um operador de perturbação como tal. A teoria de perturbação de Møller-Plesset usa a diferença entre o hamiltoniano de Hartree-Fock e o hamiltoniano não relativístico exato como a perturbação. A energia de ordem zero é a soma das energias orbitais. A energia de primeira ordem é a energia Hartree-Fock e a correlação eletrônica é incluída na segunda ordem ou superior. Cálculos de segunda, terceira ou quarta ordem são muito comuns e o código está incluído na maioria dos programas de química quântica ab initio . Um método relacionado, mas mais preciso, é o método de agrupamento acoplado .

Veja também

Referências

links externos