Polarização de fóton - Photon polarization

A polarização de fótons é a descrição da mecânica quântica da onda eletromagnética do plano sinusoidal polarizado clássico . Um fóton individual pode ser descrito como tendo polarização circular direita ou esquerda , ou uma superposição das duas. De forma equivalente, um fóton pode ser descrito como tendo polarização linear horizontal ou vertical , ou uma superposição das duas.

A descrição da polarização do fóton contém muitos dos conceitos físicos e muito da maquinaria matemática das descrições quânticas mais envolvidas, como a mecânica quântica de um elétron em um poço de potencial. A polarização é um exemplo de grau de liberdade qubit , que constitui uma base fundamental para a compreensão de fenômenos quânticos mais complicados. Muito do maquinário matemático da mecânica quântica, como vetores de estado , amplitudes de probabilidade , operadores unitários e operadores hermitianos , emergem naturalmente das equações clássicas de Maxwell na descrição. O vetor de estado de polarização quântica para o fóton, por exemplo, é idêntico aoVetor de Jones , geralmente usado para descrever a polarização de uma onda clássica . Operadores unitários emergem do requisito clássico de conservação de energia de uma onda clássica que se propaga através de meios sem perdas que alteram o estado de polarização da onda. Operadores hermitianos seguem então para transformações infinitesimais de um estado de polarização clássico.

Muitas das implicações da máquina matemática são facilmente verificadas experimentalmente. Na verdade, muitos dos experimentos podem ser realizados com lentes de óculos de sol polaróides .

A conexão com a mecânica quântica é feita através da identificação de um tamanho mínimo de pacote, denominado fóton , para energia no campo eletromagnético. A identificação é baseada nas teorias de Planck e na interpretação dessas teorias por Einstein . O princípio da correspondência permite então a identificação do momento e do momento angular (denominado spin ), bem como da energia, com o fóton.

Polarização de ondas eletromagnéticas clássicas

Estados de polarização

Polarização linear

Efeito de um polarizador na reflexão de planícies lamacentas. Na primeira foto, o polarizador é girado para minimizar o efeito; no segundo, ele é girado 90 ° para maximizá-lo: quase toda a luz solar refletida é eliminada.

A onda é linearmente polarizada (ou plana polarizada) quando os ângulos de fase são iguais , ${\ displaystyle \ alpha _ {x} ^ {}, \ alpha _ {y}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {x} = \ alpha _ {y} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ alpha.}$

Isso representa uma onda com fase polarizada em um ângulo em relação ao eixo x. Neste caso, o vetor Jones ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {x} \ right) \\\ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ { y} \ right) \ end {pmatrix}}}$

pode ser escrito com uma única fase:

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}} \ exp \ left (i \ alpha \ right).}$

Os vetores de estado para polarização linear em x ou y são casos especiais desse vetor de estado.

Se os vetores unitários são definidos de modo que

${\ displaystyle | x \ rangle \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$

e

${\ displaystyle | y \ rangle \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

então o estado de polarização linearmente polarizado pode ser escrito na "base xy" como

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha \ right) | x \ rangle + \ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha \ right) | y \ rangle = \ psi _ {x} | x \ rangle + \ psi _ {y} | y \ rangle.}$

Polarização circular

Se os ângulos de fase e diferirem exatamente e a amplitude x for igual à amplitude y, a onda será polarizada circularmente . O vetor Jones então se torna ${\ displaystyle \ alpha _ {x}}$${\ displaystyle \ alpha _ {y}}$${\ displaystyle \ pi / 2}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\\ pm i \ end {pmatrix}} \ exp \ left (i \ alpha _ {x} \ direita)}$

onde o sinal de mais indica polarização circular direita e o sinal de menos indica polarização circular esquerda. No caso de polarização circular, o vetor campo elétrico de magnitude constante gira no plano xy.

Se os vetores unitários são definidos de modo que

${\ displaystyle | \ mathrm {R} \ rangle \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {1 \ over {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ i \ fim {pmatrix}}}$

e

${\ displaystyle | \ mathrm {L} \ rangle \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {1 \ over {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ - i \ end {pmatrix}}}$

então, um estado de polarização arbitrária pode ser escrito na "base RL" como

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ psi _ {\ rm {R}} | \ mathrm {R} \ rangle + \ psi _ {\ rm {L}} | \ mathrm {L} \ rangle}$

Onde

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} = \ langle \ mathrm {R} | \ psi \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ cos \ theta \ exp (i \ alpha _ {x}) - i \ sin \ theta \ exp (i \ alpha _ {y}))}$

e

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} = \ langle \ mathrm {L} | \ psi \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ cos \ theta \ exp (i \ alpha _ {x}) + i \ sin \ theta \ exp (i \ alpha _ {y})).}$

Nós podemos ver isso

${\ displaystyle 1 = | \ psi _ {\ rm {R}} | ^ {2} + | \ psi _ {\ rm {L}} | ^ {2}.}$

Polarização elíptica

O caso geral em que o campo elétrico gira no plano xy e tem magnitude variável é denominado polarização elíptica . O vetor de estado é dado por

${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} \\\ psi _ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {x} \ right) \\\ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {y} \ right) \ end { pmatrix}}.}$

Visualização geométrica de um estado de polarização arbitrária

Para obter uma compreensão de como é um estado de polarização, pode-se observar a órbita que é feita se o estado de polarização for multiplicado por um fator de fase de e, em seguida, tendo as partes reais de seus componentes interpretadas como coordenadas xey, respectivamente. Isso é: ${\ displaystyle e ^ {i \ omega t}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ Re (e ^ {i \ omega t} \ psi _ {x}) \\\ Re (e ^ {i \ omega t} \ psi _ {y}) \ end {pmatriz}} = \ Re \ left [e ^ {i \ omega t} {\ begin {pmatriz} \ psi _ { x} \\\ psi _ {y} \ end {pmatrix}} \ right] = \ Re \ left (e ^ {i \ omega t} | \ psi \ rangle \ right).}$

Se apenas a forma traçada e a direção da rotação de ( x ( t ), y ( t )) forem consideradas ao interpretar o estado de polarização, ou seja, apenas

${\ displaystyle M (| \ psi \ rangle) = \ left. \ left \ {{\ Big (} x (t), \, y (t) {\ Big)} \, \ right | \, \ forall \ , t \ right \}}$

(em que X ( t ) e Y ( t ) são definidos como acima) e se ele é em geral mais circularmente à direita ou à esquerda de polarização circular (ou seja, se | ip _R |> | ip _L | , ou vice-versa), pode ser visto que a interpretação física será a mesma mesmo que o estado seja multiplicado por um fator de fase arbitrário, uma vez que

${\ displaystyle M (e ^ {i \ alpha} | \ psi \ rangle) = M (| \ psi \ rangle), \ \ alpha \ in \ mathbb {R}}$

e o sentido de rotação permanecerá o mesmo. Em outras palavras, não há diferença física entre dois estados de polarização e , entre os quais apenas um fator de fase difere. ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle e ^ {i \ alpha} | \ psi \ rangle}$

Pode-se observar que para um estado linearmente polarizado, M será uma reta no plano xy, com comprimento 2 e seu meio na origem, e cuja inclinação é igual a tan ( θ ) . Para um estado circularmente polarizado, M será um círculo com raio 1 / √ 2 e com o meio na origem.

Energia, momento e momento angular de uma onda eletromagnética clássica

Densidade de energia de ondas eletromagnéticas clássicas

Energia em uma onda plana

A energia por unidade de volume em campos eletromagnéticos clássicos é (unidades cgs) e também unidade de Planck

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {c} = {\ frac {1} {8 \ pi}} \ left [\ mathbf {E} ^ {2} (\ mathbf {r}, t) + \ mathbf {B} ^ {2} (\ mathbf {r}, t) \ right].}$

Para uma onda plana, isso se torna

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {c} = {\ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}} {8 \ pi}}}$

onde a média da energia foi calculada em um comprimento de onda da onda.

Fração de energia em cada componente

A fração de energia no componente x da onda plana é

${\ displaystyle f_ {x} = {\ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta} {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}}} = \ psi _ {x} ^ {*} \ psi _ {x} = \ cos ^ {2} \ theta}$

com uma expressão semelhante para o componente y resultando em . ${\ displaystyle f_ {y} = \ sin ^ {2} \ theta}$

A fração em ambos os componentes é

${\ displaystyle \ psi _ {x} ^ {*} \ psi _ {x} + \ psi _ {y} ^ {*} \ psi _ {y} = \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1.}$

Densidade de momento de ondas eletromagnéticas clássicas

A densidade do momento é dada pelo vetor de Poynting

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {P}}} = {1 \ over 4 \ pi c} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r }, t).}$

Para uma onda plana senoidal viajando na direção z, o momento está na direção z e está relacionado à densidade de energia:

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {z} c = {\ mathcal {E}} _ {c}.}$

A densidade do momento foi calculada em um comprimento de onda.

Densidade de momento angular de ondas eletromagnéticas clássicas

As ondas eletromagnéticas podem ter momento angular orbital e de rotação . A densidade de momento angular total é

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {L}}} = \ mathbf {r} \ times {\ boldsymbol {\ mathcal {P}}} = {1 \ over 4 \ pi c} \ mathbf {r} \ times \ left [\ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) \ times \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) \ right].}$

Para uma onda plana sinusoidal propagando-se ao longo do eixo, a densidade do momento angular orbital desaparece. A densidade do momento angular de rotação está na direção e é dada por ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {{\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}} \ over {8 \ pi \ omega}} \ left (\ mid \ langle \ mathrm {R} | \ psi \ rangle \ mid ^ {2} - \ mid \ langle \ mathrm {L} | \ psi \ rangle \ mid ^ {2} \ right) = {1 \ over \ omega} {\ mathcal {E}} _ {c} \ left (\ mid \ psi _ {\ rm {R}} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {\ rm {L}} \ mid ^ {2} \ right)}$

onde novamente a densidade é calculada em um comprimento de onda.

Filtros óticos e cristais

Passagem de uma onda clássica através de um filtro polaróide

Polarização linear

Um filtro linear transmite um componente de uma onda plana e absorve o componente perpendicular. Nesse caso, se o filtro for polarizado na direção x, a fração de energia que passa pelo filtro é

${\ displaystyle f_ {x} = \ psi _ {x} ^ {*} \ psi _ {x} = \ cos ^ {2} \ theta. \,}$

Exemplo de conservação de energia: passagem de uma onda clássica através de um cristal birrefringente

Um cristal birrefringente ideal transforma o estado de polarização de uma onda eletromagnética sem perda de energia da onda. Cristais birrefringentes, portanto, fornecem uma base de teste ideal para examinar a transformação conservadora dos estados de polarização. Embora esse tratamento ainda seja puramente clássico, ferramentas quânticas padrão, como operadores unitários e hermitianos, que evoluem o estado no tempo, surgem naturalmente.

Estados iniciais e finais

Um cristal birrefringente é um material que possui um eixo óptico com a propriedade de que a luz tem um índice de refração diferente para a luz polarizada paralela ao eixo do que para a luz polarizada perpendicularmente ao eixo. A luz polarizada paralelamente ao eixo são chamados de " raios extraordinários " ou " fótons extraordinários ", enquanto a luz polarizada perpendicularmente ao eixo são chamados de " raios comuns " ou " fótons comuns ". Se uma onda polarizada linearmente atingir o cristal, o componente extraordinário da onda emergirá do cristal com uma fase diferente do componente comum. Em linguagem matemática, se a onda incidente for linearmente polarizada em um ângulo em relação ao eixo óptico, o vetor de estado incidente pode ser escrito ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}}}$

e o vetor de estado para a onda emergente pode ser escrito

${\ displaystyle | \ psi '\ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {x} \ right) \\\ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {y} \ right) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ exp \ left (i \ alpha _ {x} \ right) & 0 \\ 0 & \ exp \ left (i \ alpha _ {y} \ right) \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ hat {U}} | \ psi \ rangle.}$

Enquanto o estado inicial foi polarizado linearmente, o estado final é polarizado elipticamente. O cristal birrefringente altera o caráter da polarização.

Dual do estado final

Um cristal de calcita colocado sobre um papel com algumas letras mostrando a refração dupla

O estado de polarização inicial é transformado no estado final com o operador U. O dual do estado final é dado por

${\ displaystyle \ langle \ psi '| = \ langle \ psi | {\ hat {U}} ^ {\ dagger}}$

onde é o adjunto de U, o conjugado complexo transposto da matriz. ${\ displaystyle U ^ {\ dagger}}$

Operadores unitários e conservação de energia

A fração de energia que emerge do cristal é

${\ displaystyle \ langle \ psi '| \ psi' \ rangle = \ langle \ psi | {\ hat {U}} ^ {\ dagger} {\ hat {U}} | \ psi \ rangle = \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1.}$

Nesse caso ideal, toda a energia que incide sobre o cristal emerge do cristal. Um operador U com a propriedade que

${\ displaystyle {\ hat {U}} ^ {\ dagger} {\ hat {U}} = I,}$

onde I é o operador de identidade e U é chamado de operador unitário . A propriedade unitária é necessária para garantir a conservação de energia nas transformações de estado.

Operadores hermitianos e conservação de energia

Calcita de refração dupla da reivindicação Iceberg, Dixon, Novo México. Este cristal de 35 libras (16 kg), em exibição no Museu Nacional de História Natural , é um dos maiores cristais individuais dos Estados Unidos.

Se o cristal for muito fino, o estado final será apenas ligeiramente diferente do estado inicial. O operador unitário estará próximo ao operador de identidade. Podemos definir o operador H por

${\ displaystyle {\ hat {U}} \ approx I + i {\ hat {H}}}$

e o anexo por

${\ displaystyle {\ hat {U}} ^ {\ dagger} \ approx Ii {\ hat {H}} ^ {\ dagger}.}$

A conservação de energia então requer

${\ displaystyle I = {\ hat {U}} ^ {\ dagger} {\ hat {U}} \ approx \ left (Ii {\ hat {H}} ^ {\ dagger} \ right) \ left (I + i {\ hat {H}} \ right) \ approx Ii {\ hat {H}} ^ {\ dagger} + i {\ hat {H}}.}$

Isso requer que

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} ^ {\ dagger}.}$

Operadores como este que são iguais aos seus adjuntos são chamados de hermitianos ou auto-adjuntos.

A transição infinitesimal do estado de polarização é

${\ displaystyle | \ psi '\ rangle - | \ psi \ rangle = i {\ hat {H}} | \ psi \ rangle.}$

Assim, a conservação de energia requer que as transformações infinitesimais de um estado de polarização ocorram por meio da ação de um operador Hermitiano.

Fótons: a conexão com a mecânica quântica

Energia, momento e momento angular dos fótons

Energia

O tratamento até este ponto tem sido clássico . É uma prova da generalidade das equações de Maxwell para a eletrodinâmica que o tratamento pode ser feito de mecânica quântica com apenas uma reinterpretação das grandezas clássicas. A reinterpretação é baseada nas teorias de Max Planck e na interpretação por Albert Einstein dessas teorias e de outros experimentos.

A conclusão de Einstein a partir dos primeiros experimentos sobre o efeito fotoelétrico é que a radiação eletromagnética é composta de pacotes irredutíveis de energia, conhecidos como fótons . A energia de cada pacote está relacionada com a frequência angular da onda pela relação

${\ displaystyle \ epsilon = \ hbar \ omega}$

onde é uma quantidade determinada experimentalmente conhecida como constante de Planck . Se houver fótons em uma caixa de volume , a energia no campo eletromagnético é ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle N \ hbar \ omega}$

e a densidade de energia é

${\ displaystyle {N \ hbar \ omega \ over V}}$

A energia do fóton pode ser relacionada aos campos clássicos por meio do princípio de correspondência que afirma que, para um grande número de fótons, os tratamentos quântico e clássico devem concordar. Assim, para muito grande , a densidade de energia quântica deve ser a mesma que a densidade de energia clássica ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {N \ hbar \ omega \ over V} = {\ mathcal {E}} _ {c} = {\ frac {\ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}} {8 \ pi}} .}$

O número de fótons na caixa é então

${\ displaystyle N = {\ frac {V} {8 \ pi \ hbar \ omega}} \ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2}.}$

Momentum

O princípio da correspondência também determina o momento e o momento angular do fóton. Para momentum

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {z} = {N \ hbar \ omega \ over cV} = {N \ hbar k_ {z} \ over V}}$

onde está o número da onda. Isso implica que o momento de um fóton é ${\ displaystyle k_ {z}}$

${\ displaystyle p_ {z} = \ hbar k_ {z}. \,}$

Momento angular e rotação

Da mesma forma para o momento angular de rotação

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ over \ omega} {\ mathcal {E}} _ {c} \ left (\ mid \ psi _ {\ rm {R}} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {\ rm {L}} \ mid ^ {2} \ right) = {N \ hbar \ over V} \ left (\ mid \ psi _ {\ rm {R}} \ mid ^ { 2} - \ mid \ psi _ {\ rm {L}} \ mid ^ {2} \ right)}$

onde está a força do campo. Isso implica que o momento angular de rotação do fóton é ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {c}}$

${\ displaystyle l_ {z} = \ hbar \ left (\ mid \ psi _ {\ rm {R}} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {\ rm {L}} \ mid ^ {2} \direito).}$

a interpretação quântica desta expressão é que o fóton tem uma probabilidade de ter um momento angular de spin de e uma probabilidade de ter um momento angular de spin de . Podemos, portanto, pensar no momento angular de rotação do fóton sendo quantizado, bem como na energia. O momento angular da luz clássica foi verificado. Um fóton que é polarizado linearmente (polarizado plano) está em uma superposição de quantidades iguais dos estados da mão esquerda e da mão direita. ${\ displaystyle \ mid \ psi _ {\ rm {R}} \ mid ^ {2}}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ mid \ psi _ {\ rm {L}} \ mid ^ {2}}$${\ displaystyle - \ hbar}$

Operador de rotação

O spin do fóton é definido como o coeficiente de no cálculo do momento angular de spin. Um fóton tem spin 1 se estiver no estado e -1 se estiver no estado. O operador de rotação é definido como o produto externo${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle | R \ rangle}$${\ displaystyle | L \ rangle}$

${\ displaystyle {\ hat {S}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ | \ mathrm {R} \ rangle \ langle \ mathrm {R} | - | \ mathrm {L} \ rangle \ langle \ mathrm {L} | = {\ begin {pmatriz} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatriz}}.}$

Os autovetores do operador de spin são e com autovalores 1 e -1, respectivamente. ${\ displaystyle | \ mathrm {R} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {L} \ rangle}$

O valor esperado de uma medição de spin em um fóton é então

${\ displaystyle \ langle \ psi | {\ hat {S}} | \ psi \ rangle = \ mid \ psi _ {\ rm {R}} \ mid ^ {2} - \ mid \ psi _ {\ rm {L }} \ mid ^ {2}.}$

Um operador S foi associado a uma quantidade observável, o momento angular de rotação. Os valores próprios do operador são os valores observáveis ​​permitidos. Isso foi demonstrado para o momento angular de rotação, mas em geral é verdadeiro para qualquer quantidade observável.

Estados de rotação

Podemos escrever os estados polarizados circularmente como

${\ displaystyle | s \ rangle}$

onde s = 1 para e s = -1 para . Um estado arbitrário pode ser escrito ${\ displaystyle | \ mathrm {R} \ rangle}$${\ displaystyle | \ mathrm {L} \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {s = -1,1} a_ {s} \ exp \ left (i \ alpha _ {x} -is \ theta \ right) | s \ rangle}$

onde e são ângulos de fase, θ é o ângulo pelo qual o quadro de referência é girado, e ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {- 1}}$

${\ displaystyle \ sum _ {s = -1,1} \ mid a_ {s} \ mid ^ {2} = 1.}$

Operadores de spin e momento angular em forma diferencial

Quando o estado é escrito em notação de spin, o operador de spin pode ser escrito

${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {d} \ rightarrow i {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta}}$

${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {d} ^ {\ dagger} \ rightarrow -i {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta}.}$

Os autovetores do operador diferencial de spin são

${\ displaystyle \ exp \ left (i \ alpha _ {x} -é \ theta \ right) | s \ rangle.}$

Para ver esta nota

${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {d} \ exp \ left (i \ alpha _ {x} -é \ theta \ right) | s \ rangle \ rightarrow i {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta} \ exp \ left (i \ alpha _ {x} -é \ theta \ right) | s \ rangle = s \ left [\ exp \ left (i \ alpha _ {x} -é \ theta \ right) | s \ rangle \ right].}$

O operador de momento angular de rotação é

${\ displaystyle {\ hat {l}} _ {z} = \ hbar {\ hat {S}} _ {d}.}$

A natureza da probabilidade na mecânica quântica

Probabilidade para um único fóton

Existem duas maneiras pelas quais a probabilidade pode ser aplicada ao comportamento dos fótons; a probabilidade pode ser usada para calcular o número provável de fótons em um determinado estado, ou a probabilidade pode ser usada para calcular a probabilidade de um único fóton estar em um determinado estado. A primeira interpretação viola a conservação de energia. A última interpretação é a opção viável, embora não intuitiva. Dirac explica isso no contexto do experimento de dupla fenda :

Algum tempo antes da descoberta da mecânica quântica, as pessoas perceberam que a conexão entre as ondas de luz e os fótons deve ter um caráter estatístico. O que eles não perceberam claramente, no entanto, foi que a função de onda fornece informações sobre a probabilidade de um fóton estar em um determinado lugar e não o número provável de fótons naquele lugar. A importância da distinção pode ser esclarecida da seguinte maneira. Suponha que temos um feixe de luz consistindo de um grande número de fótons dividido em dois componentes de igual intensidade. Supondo que o feixe esteja conectado com o número provável de fótons nele, devemos ter metade do número total entrando em cada componente. Se os dois componentes são feitos para interferir, devemos exigir um fóton em um componente para poder interferir com um no outro. Às vezes, esses dois fótons teriam que se aniquilar um ao outro e, outras vezes, teriam que produzir quatro fótons. Isso contradiz a conservação de energia. A nova teoria, que conecta a função de onda com probabilidades de um fóton, supera a dificuldade fazendo com que cada fóton vá parcialmente para cada um dos dois componentes. Cada fóton então interfere apenas consigo mesmo. A interferência entre dois fótons diferentes nunca ocorre.
—Paul Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 1930, Capítulo 1

Amplitudes de probabilidade

A probabilidade de um fóton estar em um determinado estado de polarização depende dos campos calculados pelas equações clássicas de Maxwell. O estado de polarização do fóton é proporcional ao campo. A própria probabilidade é quadrática nos campos e, conseqüentemente, também é quadrática no estado quântico de polarização. Na mecânica quântica, portanto, o estado ou amplitude de probabilidade contém as informações básicas de probabilidade. Em geral, as regras para combinar amplitudes de probabilidade se parecem muito com as regras clássicas para composição de probabilidades: [A citação a seguir é de Baym, Capítulo 1]

1. A amplitude de probabilidade para duas probabilidades sucessivas é o produto das amplitudes para as possibilidades individuais. Por exemplo, a amplitude para o fóton polarizado x ser polarizado circularmente e para o fóton polarizado circularmente passar pelo polaroide y é o produto das amplitudes individuais.${\ displaystyle \ langle R | x \ rangle \ langle y | R \ rangle,}$
2. A amplitude de um processo que pode ocorrer de uma das várias maneiras indistinguíveis é a soma das amplitudes para cada uma das maneiras individuais. Por exemplo, a amplitude total para o fóton x polarizado passar pelo polaroide y é a soma das amplitudes para ele passar como um fóton polarizado circularmente à direita, mais a amplitude para ele passar como um fóton polarizado circularmente à esquerda,${\ displaystyle \ langle y | R \ rangle \ langle R | x \ rangle,}$${\ displaystyle \ langle y | L \ rangle \ langle L | x \ rangle \ dots}$
3. A probabilidade total de o processo ocorrer é o valor absoluto ao quadrado da amplitude total calculada por 1 e 2.

Princípio da incerteza

Desigualdade de Cauchy-Schwarz no espaço euclidiano. Isso implica${\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {W} = \ | \ mathbf {V} \ | \ | \ mathbf {W} \ | \ cos a.}$${\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {W} \ leq \ | \ mathbf {V} \ | \ | \ mathbf {W} \ |.}$

Preparação matemática

Para quaisquer operadores legais, a seguinte desigualdade, uma consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz , é verdadeira.

${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} | \ langle ({\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}}) x | x \ rangle | ^ {2} \ leq \ | {\ hat {A}} x \ | ^ {2} \ | {\ hat {B}} x \ | ^ {2}.}$

Se BA ψ e AB ψ são definidos, então, subtraindo as médias e reinserindo na fórmula acima, deduzimos

${\ displaystyle \ Delta _ {\ psi} {\ hat {A}} \, \ Delta _ {\ psi} {\ hat {B}} \ geq {\ frac {1} {2}} \ left | \ left \ langle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ right \ rangle _ {\ psi} \ right |}$

Onde

${\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {X}} \ right \ rangle _ {\ psi} = \ left \ langle \ psi | {\ hat {X}} | \ psi \ right \ rangle}$

é a média do operador do observável X no estado do sistema ψ e

${\ displaystyle \ Delta _ {\ psi} {\ hat {X}} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {X}} ^ {2} \ rangle _ {\ psi} - \ langle {\ hat {X }} \ rangle _ {\ psi} ^ {2}}}.}$

Aqui

${\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}}}$

é chamado de comutador de A e B.

Este é um resultado puramente matemático. Nenhuma referência foi feita a qualquer quantidade física ou princípio. Ele simplesmente afirma que a incerteza de um operador vezes a incerteza de outro operador tem um limite inferior.

Aplicação ao momento angular

A conexão com a física pode ser feita se identificarmos os operadores com operadores físicos, como o momento angular e o ângulo de polarização. Nós temos então

${\ displaystyle \ Delta _ {\ psi} {\ hat {l}} _ {z} \, \ Delta _ {\ psi} {\ theta} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}},}$

o que significa que o momento angular e o ângulo de polarização não podem ser medidos simultaneamente com precisão infinita. (O ângulo de polarização pode ser medido verificando se o fóton pode passar por um filtro de polarização orientado em um ângulo específico, ou um divisor de feixe de polarização . Isso resulta em uma resposta sim / não que, se o fóton foi polarizado no plano em algum outro ângulo, depende da diferença entre os dois ângulos.)

Estados, amplitudes de probabilidade, operadores unitários e hermitianos e vetores próprios

Muito do aparato matemático da mecânica quântica aparece na descrição clássica de uma onda eletromagnética senoidal polarizada. O vetor de Jones para uma onda clássica, por exemplo, é idêntico ao vetor de estado de polarização quântica para um fóton. Os componentes circulares direito e esquerdo do vetor de Jones podem ser interpretados como amplitudes de probabilidade dos estados de spin do fóton. A conservação de energia requer que os estados sejam transformados com uma operação unitária. Isso implica que as transformações infinitesimais são transformadas com um operador Hermitiano. Essas conclusões são uma consequência natural da estrutura das equações de Maxwell para ondas clássicas.

A mecânica quântica entra em cena quando as quantidades observadas são medidas e consideradas discretas em vez de contínuas. Os valores observáveis ​​permitidos são determinados pelos valores próprios dos operadores associados ao observável. No caso do momento angular, por exemplo, os valores observáveis ​​permitidos são os autovalores do operador de spin.

Esses conceitos surgiram naturalmente das equações de Maxwell e das teorias de Planck e Einstein. Eles foram considerados verdadeiros para muitos outros sistemas físicos. Na verdade, o programa típico é assumir os conceitos desta seção e então inferir a dinâmica desconhecida de um sistema físico. Isso foi feito, por exemplo, com a dinâmica dos elétrons. Nesse caso, trabalhando a partir dos princípios desta seção, a dinâmica quântica das partículas foi inferida, levando à equação de Schrödinger , um afastamento da mecânica newtoniana . A solução dessa equação para os átomos levou à explicação da série de Balmer para os espectros atômicos e, conseqüentemente, formou uma base para toda a física e química atômica.

Esta não é a única ocasião em que as equações de Maxwell forçaram uma reestruturação da mecânica newtoniana. As equações de Maxwell são relativisticamente consistentes. A relatividade especial resultou de tentativas de tornar a mecânica clássica consistente com as equações de Maxwell (ver, por exemplo, Magneto em movimento e problema do condutor ).

Veja também

• Momento angular de luz
  • Momento angular de rotação da luz
  • Momento angular orbital de luz
• Decoerência quântica
• Experiência Stern-Gerlach
• Dualidade onda-partícula
• Experiência de dupla fenda
• Justificativa teórica e experimental para a equação de Schrödinger
• Polarização de spin

Referências

Leitura adicional

• Jackson, John D. (1998). Eletrodinâmica Clássica (3ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Baym, Gordon (1969). Aulas de Mecânica Quântica . WA Benjamin. ISBN 0-8053-0667-6.
• Dirac, PAM (1958). The Principles of Quantum Mechanics (Quarta ed.). Oxford. ISBN 0-19-851208-2.