Teorema de Pick - Pick's theorem

Em geometria , o teorema de Pick fornece uma fórmula para a área de um polígono simples com coordenadas de vértice inteiras , em termos do número de pontos inteiros dentro dele e em seu limite. O resultado foi descrito pela primeira vez por Georg Alexander Pick em 1899. Ele foi popularizado em inglês por Hugo Steinhaus na edição de 1950 de seu livro Mathematical Snapshots . Ele tem várias provas e pode ser generalizado para fórmulas para certos tipos de polígonos não simples.

Fórmula

Suponha que um polígono tenha coordenadas inteiras para todos os seus vértices. Let Ser o número de pontos inteiros que são internos ao polígono, e deixe ser o número de pontos inteiros em seu limite (incluindo vértices, bem como pontos ao longo dos lados do polígono). Então, a área deste polígono é: ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle A}$

O exemplo mostrado tem pontos internos e pontos de limite, portanto, sua área é unidades quadradas. ${\ displaystyle i = 7}$${\ displaystyle b = 8}$${\ displaystyle A = 7 + {\ tfrac {8} {2}} - 1 = 10}$

Provas

Via fórmula de Euler

Uma prova desse teorema envolve a subdivisão do polígono em triângulos com três vértices inteiros e nenhum outro ponto inteiro. Pode-se então provar que cada triângulo subdividido tem área exata . Portanto, a área de todo o polígono é igual a metade do número de triângulos na subdivisão. Depois de relacionar a área ao número de triângulos dessa maneira, a prova conclui usando a fórmula poliédrica de Euler para relacionar o número de triângulos ao número de pontos de grade no polígono. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

A primeira parte desta prova mostra que um triângulo com três vértices inteiros e nenhum outro ponto inteiro tem área exatamente , como afirma a fórmula de Pick. A prova usa o fato de que todos os triângulos lado a lado o plano , com triângulos adjacentes girados 180 ° um do outro em torno de sua borda compartilhada. Para tilings por um triângulo com três vértices inteiros e nenhum outro ponto inteiro, cada ponto da grade inteira é um vértice de seis tiles. Como o número de triângulos por ponto da grade (seis) é duas vezes o número de pontos da grade por triângulo (três), os triângulos são duas vezes mais densos no plano do que os pontos da grade. Qualquer região escalonada do plano contém duas vezes mais triângulos (no limite quando o fator de escala vai ao infinito) do que o número de pontos de grade que contém. Portanto, cada triângulo possui área , conforme necessário para a prova. Uma prova diferente de que esses triângulos têm área é baseada no uso do teorema de Minkowski sobre pontos da rede em conjuntos convexos simétricos. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Isso já prova a fórmula de Pick para um polígono que é um desses triângulos especiais. Qualquer outro polígono pode ser subdividido em triângulos especiais. Para fazer isso, adicione segmentos de linha sem cruzamento dentro do polígono entre pares de pontos de grade até que nenhum outro segmento de linha possa ser adicionado. Os únicos polígonos que não podem ser subdivididos em formas menores dessa forma são os triângulos especiais considerados acima. Portanto, apenas triângulos especiais podem aparecer na subdivisão resultante. Como cada triângulo especial tem área , um polígono de área será subdividido em triângulos especiais. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 2A}$

A subdivisão do polígono em triângulos forma um gráfico plano , e a fórmula de Euler fornece uma equação que se aplica ao número de vértices, arestas e faces de qualquer gráfico plano. Os vértices são apenas os pontos da grade do polígono; existem deles. As faces são os triângulos da subdivisão e a única região do plano fora do polígono. O número de triângulos é , portanto, ao todo, são rostos. Para contar as arestas, observe que existem lados de triângulos na subdivisão. Cada aresta no interior do polígono é o lado de dois triângulos. No entanto, existem arestas de triângulos que se encontram ao longo do limite do polígono e fazem parte de apenas um triângulo. Portanto, o número de lados dos triângulos obedece a uma equação a partir da qual se pode resolver o número de arestas ,. Conectando esses valores para , e na fórmula de Euler dá ${\ displaystyle V-E + F = 2}$${\ displaystyle V = i + b}$${\ displaystyle 2A}$${\ displaystyle F = 2A + 1}$${\ displaystyle 6A}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle 6A = 2E-b}$${\ displaystyle E = {\ tfrac {6A + b} {2}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle V-E + F = 2}$

A fórmula de Pick pode ser obtida simplificando esta equação linear e resolvendo . Um cálculo alternativo nas mesmas linhas envolve provar que o número de arestas da mesma subdivisão é , levando ao mesmo resultado. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E = 3i + 2b-3}$

Também é possível ir na outra direção, usando o teorema de Pick (provado de uma maneira diferente) como base para uma demonstração da fórmula de Euler.

Outras provas

Provas alternativas do teorema de Pick que não usam a fórmula de Euler incluem o seguinte.

• Pode-se decompor recursivamente o polígono dado em triângulos, permitindo que alguns triângulos da subdivisão tenham uma área maior que 1/2. Tanto a área quanto as contagens de pontos usadas na fórmula de Pick somam-se da mesma maneira, de modo que a verdade da fórmula de Pick para polígonos gerais segue de sua verdade para triângulos. Qualquer triângulo subdivide sua caixa delimitadora no próprio triângulo e em triângulos retângulos adicionais , e as áreas da caixa delimitadora e dos triângulos retângulos são fáceis de calcular. A combinação desses cálculos de área fornece a fórmula de Pick para triângulos e a combinação de triângulos fornece a fórmula de Pick para polígonos arbitrários.
• O diagrama de Voronoi da grade inteira subdivide o plano em quadrados, centralizados em torno de cada ponto da grade. Pode-se calcular a área de qualquer polígono como a soma de suas áreas dentro de cada célula deste diagrama. Para cada ponto de grade interno do polígono, toda a célula de Voronoi é coberta pelo polígono. Os pontos de grade em uma borda do polígono têm metade de sua célula de Voronoi coberta. As células de Voronoi dos pontos de canto são cobertas por valores cujas diferenças de meio quadrado (usando um argumento baseado no número de giro ) totalizam o termo de correção na fórmula de Pick.${\ displaystyle -1}$
• Alternativamente, em vez de usar quadrados de grade centralizados nos pontos de grade, é possível usar quadrados de grade com seus vértices nos pontos de grade. Esses quadrados de grade cortam o polígono dado em pedaços, que podem ser reorganizados (combinando pares de quadrados ao longo de cada aresta do polígono) em um polominó com a mesma área.
• O teorema de Pick também pode ser provado com base na integração complexa de uma função duplamente periódica relacionada às funções elípticas de Weierstrass .
• Aplicar a fórmula da soma de Poisson à função característica do polígono leva a outra prova.

O teorema de Pick foi incluído em uma lista dos "100 principais teoremas matemáticos", datada de 1999, que mais tarde foi usada por Freek Wiedijk como um conjunto de referência para testar o poder de diferentes assistentes de prova . Em 2021, uma prova do teorema de Pick foi formalizada em apenas um dos dez assistentes de prova registrados por Wiedijk.

Generalizações

Generalizações para o teorema de Pick para polígonos não simples são possíveis, mas são mais complicadas e requerem mais informações do que apenas o número de vértices internos e de limite. Por exemplo, um polígono com buracos delimitados por polígonos inteiros simples, separados uns dos outros e do limite, tem área ${\ displaystyle h}$

Também é possível generalizar o teorema de Pick para regiões delimitadas por gráficos de linha reta planares mais complexos com coordenadas de vértice inteiras, usando termos adicionais definidos usando a característica de Euler da região e seu limite, ou para polígonos com um único polígono de limite que pode cruzar em si, usando uma fórmula envolvendo o número de enrolamento do polígono em torno de cada ponto inteiro, bem como seu número de enrolamento total.

Os tetraedros de Reeve em três dimensões têm quatro pontos inteiros como vértices e não contêm outros pontos inteiros. No entanto, nem todos têm o mesmo volume. Portanto, não pode haver um análogo do teorema de Pick em três dimensões que expresse o volume de um politopo como uma função apenas de seus números de pontos interiores e limites. No entanto, esses volumes podem ser expressos usando polinômios de Ehrhart .

tópicos relacionados

Vários outros tópicos da matemática relacionam as áreas das regiões aos números dos pontos da grade. Entre eles, o teorema de Blichfeldt afirma que cada forma pode ser traduzida para conter pelo menos sua área em pontos de grade. O problema do círculo de Gauss diz respeito a limitar o erro entre as áreas e os números de pontos de grade em círculos. O problema de contagem de pontos inteiros em poliedros convexos surge em várias áreas da matemática e da ciência da computação. Em áreas de aplicação, o planímetro de pontos é um dispositivo baseado em transparência para estimar a área de uma forma contando os pontos de grade que ela contém. A sequência de Farey é uma sequência ordenada de números racionais com denominadores limitados, cuja análise envolve o teorema de Pick.

Outro método simples para calcular a área de um polígono é a fórmula do

cadarço . Ele fornece a área de qualquer polígono simples como uma soma de termos calculados a partir das coordenadas de pares consecutivos de vértices do polígono. Ao contrário do teorema de Pick, ele não exige que os vértices tenham coordenadas inteiras.

Referências

links externos

• Pick Teorema por Ed Pegg, Jr. , o Wolfram Demonstrations Project .
• Pi usando o teorema de Pick de Mark Dabbs, GeoGebra