Curva plana - Plane curve

Em matemática, uma curva plana é uma curva em um plano que pode ser um plano euclidiano , um plano afim ou um plano projetivo . Os casos mais frequentemente estudados são curvas planas suaves (incluindo curvas planas suaves por partes ) e curvas planas algébricas . As curvas planas também incluem as curvas de Jordan (curvas que abrangem uma região do plano, mas não precisam ser suaves) e os gráficos de funções contínuas .

Representação simbólica

Uma curva plana pode frequentemente ser representada em coordenadas cartesianas por uma equação implícita da forma de alguma função específica f . Se esta equação pode ser resolvida explicitamente para y ou x - isto é, reescrita como ou para funções específicas g ou h - então isso fornece uma forma alternativa e explícita da representação. Uma curva plana também pode frequentemente ser representada em coordenadas cartesianas por uma equação paramétrica da forma para funções específicas e${\ displaystyle f (x, y) = 0}$${\ displaystyle y = g (x)}$${\ displaystyle x = h (y)}$${\ displaystyle (x, y) = (x (t), y (t))}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t).}$

As curvas planas às vezes também podem ser representadas em sistemas de coordenadas alternativos , como coordenadas polares que expressam a localização de cada ponto em termos de um ângulo e uma distância da origem.

Curva plana suave

Uma curva plana lisa é uma curva em um plano euclidiano R ² real e é uma variedade lisa unidimensional . Isso significa que uma curva plana suave é uma curva plana que "localmente se parece com uma linha ", no sentido de que perto de cada ponto, ela pode ser mapeada para uma linha por uma função suave . De forma equivalente, uma curva plana suave pode ser dada localmente por uma equação f ( x , y ) = 0 , onde f  : R ² → R é uma função suave , e as derivadas parciais ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y são nunca 0 em um ponto da curva.

Curva do plano algébrico

Uma curva plana algébrica é uma curva em um plano afim ou projetivo dada por uma equação polinomial f ( x , y ) = 0 (ou F ( x , y , z ) = 0 , onde F é um polinômio homogêneo , no caso projetivo .)

As curvas algébricas foram estudadas extensivamente desde o século XVIII.

Cada curva plana algébrica tem um grau, o grau da equação definidora, que é igual, no caso de um campo algébricamente fechado , ao número de interseções da curva com uma linha na posição geral . Por exemplo, o círculo dado pela equação x ² + y ² = 1 tem grau 2.

As curvas algébricas do plano não singular de grau 2 são chamadas de seções cônicas , e sua conclusão projetiva são todas isomórficas à conclusão projetiva do círculo x ² + y ² = 1 (que é a curva projetiva da equação x ² + y ² - z ² = 0 ). As curvas planas de grau 3 são chamadas curvas de plano cúbico e, se não forem singulares, curvas elípticas . Aqueles de grau 4 são chamados de curvas de plano quártico .

Exemplos

Numerosos exemplos de curvas planas são mostrados na Galeria de curvas e listados em Lista de curvas . As curvas algébricas de grau 1 ou 2 são mostradas aqui (uma curva algébrica de grau menor que 3 está sempre contida em um plano):

Nome	Equação implícita	Equação paramétrica	Como uma função	gráfico
Linha reta	${\ displaystyle ax + by = c}$	${\ displaystyle (x, y) = (x_ {0} + \ alpha t, y_ {0} + \ beta t)}$	${\ displaystyle y = mx + c}$
Círculo	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${\ displaystyle (x, y) = (r \ cos t, r \ sin t)}$
Parábola	${\ displaystyle yx ^ {2} = 0}$	${\ displaystyle (x, y) = (t, t ^ {2})}$	${\ displaystyle y = x ^ {2}}$
Elipse	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle (x, y) = (a \ cos t, b \ sin t)}$
Hipérbole	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle (x, y) = (a \ cosh t, b \ sinh t)}$

Veja também

• Geometria diferencial
• Geometria algébrica
• Curva de Osgood
• Ajuste de curva plana
• Variedades projetivas

Referências

• Coolidge, JL (28 de abril de 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves , Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, RC (1952), Um manual sobre curvas e suas propriedades , JW Edwards, ASIN  B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves , Dover, ISBN 0-486-60288-5.

links externos

• Weisstein, Eric W. "Plane Curve" . MathWorld .